Suntem Universul care se observă pe el însuşi şi se străduieşte să se cunoască şi să se înţeleagă pe el însuşi. A admira Universul este ca şi cum am privi într-o oglindă şi ne-am uita la propria reflexie. Este Universul minunat? Ce este frumuseţea?

Frumuseţea este exterioară  simetrii geometrice (spaţio-temporală) interioară  simetrii interne (ale câmpurilor, interacţiunilor) simetrii geometrice: ale n-gonului Cn,Dn, ale poliedrelor regulate ale ecuaţiilor de grad n Utilitatea grupului de simetrie: ecuaţiile de grad n≥5 nu sunt solvabile prin radicali (teoria Galois) există o legătură strânsă între grupurile geometrice şi grupurile ecuaţiilor de grad n (Klein) Évariste Galois (1811–1832) Felix Klein (1849-1925)

Grupul Galois grupul simetriilor soluţiilor Grupul Klein grupul simetriilor dreptunghiului Reflexiile a,b Rotaţia c cu 180 grade c=ab 24 de permutări ale celor 4 soluţii A,B,C,D Nu toate respectă simetria deoarece avem constrângeri: Elementele grupului Galois al ec. precedente verifică aceleaşi relaţii  este izomorf (are aceeaşi structură) cu grupul Klein al simetriilor drepunghiului Numai permutările care respectă relaţiile: Acestea sunt patru şi formează grupul Galois: 1: (A, B, C, D) → (A, B, C, D) a: (A, B, C, D) → (B, A, D, C) b: (A, B, C, D) → (C, D, A, B) ab: (A, B, C, D) → (D, C, B, A)

Teoria grupurilor din sec Teoria grupurilor din sec. XIX –simetria geometrică a cristalelor - Cristalografia Istoric: Frankenheim,Hessel -1830 -32 grupuri punctuale în 3 dimensiuni, A.Bravais - 1850 -14 clase de reţele în 3 dimensiuni C. Jordan - rolul grupurilor în cristalografie Schonflies, Fedorov, Barlow (1891–94) -230 grupuri spaţiale în 3 dimensiuni A. Bravais (1811-1863)

Geometria 1D - 2 Grupuri punctuale Alfabetul Morse 2 Grupuri punctuale 1D: C∞,D∞ C∞ repetarea periodică a oricărei litere AAAA ._._._._._ D∞ repetarea a două litere legate prin reflexie ANAN ._ _.._ _.._ BVBV, DUDU, FLFL, GWGW, QYQY,

Geometria 1D 7 grupuri spaţiale 1D bbbbbbbbb HOP bdbdbdbdb SIDLE bpbpbpbpb STEP bbbbbbbbb JUMP ppppppppp bqbqbqbqb SPINNING HOP bqpdbqpdb SPINNING SIDLE bdbdbdbdb SPINNING pqpqpqpqp JUMP

Geometria 2D 5 reţele Bravais

Geometria 2D 5 reţele Bravais 10 grupuri punctuale C1,C2,C3,C4,C6, D1,D2,D3,D4,D6 17 tipuri de grupuri spaţiale conţin translaţii pe două direcţii Rotaţiile sunt de ordinul 1,2,3,4,6 Reţea oblică – 2 grupuri spaţiale Reţea dreptunghiulară –7 grupuri spaţiale Reţea pătrată – 3 grupuri spaţiale Reţea hexagonală – 5 grupuri spaţiale C2 D2 C3 D3 C4 D4 C6 D6 Oblică dreptunghiulară rombică Hexagonală pătratică

Geometria 2D

P Triclinică P Monoclinică simplă C Monoclinică cu baza centrată MBC P Ortorombică simplă C Ortorombică cu baza centrată OBC I Ortorombică cu volum centrat OVC F Ortorombică cu feţe centrate OFC P Tetragonală simplă I Tetragonală cu volum centrat P Romboedrală P Hexagonală P Cubică simplă I Cubică cu volum centrat CVC F Cubică cu feţe centrate CFC Geometria 3D -14 reţele Bravais Avem 7 reţele “goale” – singonii Simetria creşte de sus în jos La acestea se adaugă puncte suplimentare P –reţea primitivă cu puncte numai în vârfuri I-centrată în volum F-centrată pe feţe C – centrată pe două feţe opuse

Geometria 3D Cs=C1h Avem 32 grupuri de simetrie punctuale +27 legate de n-goane planare (35 -4 identice şi -4 interzise (gri) deoarece conţin rotaţii improprii de grad 8 şi 12 ) +5 legate de poliedrele regulate T, Td, Th, O, Oh Ci=S2

Începutul sec.XX. Teoria relativităţii restrânse, grupul Lorentz Apariţia teoriei grupurilor Lie în fizică H.A.Lorentz (1892-1904) transformări Lorentz Poincare (1905) -stabileşte covarianţa ecuaţiilor Maxwell la transformările Lorentz - observă că transf. Lorentz formează un grup şi lasă invariantă forma Einstein (1905) - Construieşte teoria relativităţii restrânse bazată pe 2 principii (i) principiul relativităţii: legile fizice nu depinde de SRI (ii) în orice SRI viteza luminii c este constantă -construieşte transf. Lorentz şi arată că formează un grup -arată că ec. Maxwell sunt invariante la grupul Lorentz Minkowski (1908) introduce “spaţiul-timp” -identifică grupul Lorentz ca fiind grupul de simetrie care lasă metrica neschimbată -utilizează 4-vectorii şi tensorii şi scrie într-un mod covariant ecuaţiile Maxwell

Grupuri discrete şi grupuri continue Toate rotaţiile 2D formează grupul continuu SO(2) Dacă theta=180/n, n=2,3,4,6 Obţinem subgrupurile discrete C2,C3,C4,C6 Toate rotaţiile 3D formează grupul SO(3) orice rotaţie 3D se poate scrie ca un produs de rotaţii elementare Subgrupurile discrete ale lui SO(3) sunt grupurile poliedrelor regulate Grupul SO(n) Matrici ortogonale cu determinant=1 Cubul lui Rubik (Bűvös kocka – cubul magic)

Cubul lui Rubik 2x2x2 are un grup discret de ordin 3.674.160: F=(9,10,12,11)(3,13,22,8)(4,15,21,6) B=(17,18,20,19)(1,7,24,14)(2,5,23,16) Aceşti generatori R, U, F sunt rotaţiile 3D: Rx(90), Ry(90), Rz(90) a=R, b=U, c=F < a,b,c | a^4 = b^4 = c^4 = 1, ababa = babab, bcbcb = cbcbc, abcba = bcbac, bcacb = cacba, cabac = abacb, (ac)^2 (ab)^3 (cb)^2 = 1 >

Presupunem că avem numai 2 feţe colorate Simetria acestui cub este dată de grupul permutărilor a 8 vârfuri S8. Presupunem că avem feţele opuse colorate la fel Simetria acestui cub este dată de grupul S4xS4 Cubul este colorat cu 2 feţe colorate la fel şi restul ca la şah. Următoarele operaţii sunt ca şi cvaternionii i,j,k care formează grupul cvaternionilor Q8. i j k

Quark şi grupul Rubik Quark-urile sunt confinate în mezoni (formaţi din quark-antiquark) şi barioni (3 quark-uri) şi nu există sub formă liberă. Sunt o reprezentare a grupului SU(3). O rotaţie de 120 grade în jurul unei diagonale a cubului lui Rubik –quark O rotaţie de -120 grade în jurul unei diagonale a cubului lui Rubik –antiquark Fără a dezansambla cubul Rubik nu putem produce din starea iniţială doar prin rotaţii obişnuite un quark sau un antiquark. Este posibil să producem o pereche quark-antiquark (mezon) adică să rotim un vârf cu 120 şi oricare alt vârf cu -120 grade Este posibil să producem o pereche de 3 quark-uri (barion), adică să rotim 3 vârfuri cu 120 grade. Regula este că avem o constrângere asupra stărilor ce le putem produce şi anume că suma rotaţiilor tuturor vârfurilor trebuie să fie 360n şi aceeaşi regulă se impune combinaţiilor de quark-uri (avem numai qa,qqq, qqqqq) Putem introduce quark-uri colorate cu trei culori roşu R, albastru B, verde V şi antiquark-urile cu trei anticulori antiroşu (galben), antialbastru (portocaliu), antiverde (alb). Sistemele de cuarci au întotdeauna o culoare neutră (sunt fără culoare): mezonii quark-antiquark (culoare-anticuloare), barionii 3 quark-uri (3culori RVB). Analog rotaţiile cubului Rubik nu vor modifica culoarea netă neutră a vârfurilor.

Q-quark Q*-antiquark

Aplicaţii în fizica moleculară şi chimie: Clasificarea structurii moleculelor se face după grupurile punctuale de simetrie

Grupurile Cn – rotaţii cu 360/n grade Cnv adăugăm reflexii faţă de planul vertical x  -x Cnh adăugăm reflexii faţă de planul orizontal z -z Ci adăugăm inversii x,y,z  -x,-y,-z C∞ este o rotaţie cu 360/∞ grade pe un cerc de rază infinită (apare la moleculele liniare)

Grupurile Dn – rotaţii cu 360/n grade + reflexiile a n vârfuri într-un n-gon Dnd adăugăm reflexii faţă de planul diagonal Dnh adăugăm reflexii faţă de planul orizontal z -z D∞ este o rotaţie cu 360/∞ grade pe un cerc de rază infinită (apare la moleculele liniare) + reflexii

Grupurile de simetrie ale poliedrelor regulate: T Tetraedru O Octaedru sau cub I Icosaedru sau dodecaedru (se întâlneşte şi la viruşi)

Concluzie: Avem 5 tipuri de tranformări spaţiale de simetrie care lasă un punct fixat Acestea formează grupuri de simetrie punctuale

Cs=C1h Avem 32 grupuri de simetrie punctuale +27 legate de n-goane planare (35 -4 identice şi -4 interzise (gri) deoarece conţin rotaţii improprii de grad 8 şi 12 ) +5 legate de poliedrele regulate T, Td, Th, O, Oh Ci=S2

Alfabetul Morse 2 Grupuri punctuale 1D: C∞,D∞ C∞ repetarea periodică a oricărei litere AAAA ._._._._._ D∞ repetarea a două litere legate prin reflexie ANAN ._ _.._ _.._ BVBV, DUDU, FLFL, GWGW, QYQY,

7 grupuri spaţiale 1D bbbbbbbbb HOP bdbdbdbdb SIDLE bpbpbpbpb STEP bbbbbbbbb JUMP ppppppppp bqbqbqbqb SPINNING HOP bqpdbqpdb SPINNING SIDLE bdbdbdbdb SPINNING pqpqpqpqp JUMP

Proprietăţile fizice şi chimice macroscopice ale substanţelor sunt determinate de grupul de simetrie a moleculelor constituiente Interacţiunile intra şi inter-moleculare determină grupul de simetrie Analogie mecanică: Cinematică ----- Dinamică Observând mişcarea şi orbitele corpurilor (sau simetria oribelor) putem deduce tipul de forţe care acţionează asupra lor

Proprietăţi fizice: hidrocarburi-alcani Formula Punct de fierbere [°C] Punct de topire [°C] Densitate [g·cm−3] ( 20 °C) Metan CH4 -162 -182 Gaz Etan C2H6 -89 -183 Propan C3H8 -42 -188 Butan C4H10 -138 Pentan C5H12 36 -130 0.626 (lichid) Hexan C6H14 69 -95 0.659 (lichid) Heptan C7H16 98 -91 0.684 (lichid) Octan C8H18 126 -57 0.703 (lichid) Nonan C9H20 151 -54 0.718 (lichid) Decan C10H22 174 -30 0.730 (lichid) Undecan C11H24 196 -26 0.740 (lichid) Dodecan C12H26 216 -10 0.749 (lichid) Hexadecan C16H34 287 18 0.773 Icosan C20H42 343 37 solid Triacontan C30H62 450 66 Tetracontan C40H82 525 82 Pentacontan C50H102 575 91 Hexacontan C60H122 625 100 Starea de agregare se modifică cu creşterea masei moleculare: n între 1-4 gaz n între 5-12 lichid n între 13-60 solid

Proprietăţi fizice: Alcani – punct de topire şi fierbere Creşterea masei moleculare  Creşterea numărului de electroni per moleculă Creşterea suprafeţei moleculei Modificarea interacţiunilor intermoleculare (forţe van der Waals) schimbări structurale (grupul de simetrie se modifică)

Fuel Cifra Octanica metan 120 Etan 108 propan 112 n-butan 94 i-butan 102 n-pentan 62 n-hexan 25 n-heptan (CO =0 prin definitie ) n-octan −10 "isooctan" (CO = 100 prin definitie) 100 Iso-octan şi n-heptan Cifra octanica nu e un indice de performanta, ci este un indice al numarului legaturilor de carbon din molecula, care determina rezistenta la detonatie. Daca pui benzină de 95 într-un motor la care se recomanda benzină de 98, poate aparea fenomenul de predetonatie, adica amestecul combustibil din cilindru se aprinde inainte sa dea bujia scanteie, sistemul piston-arbore fiind supus unor forte foarte mari care pot in timp afecta buna lor functionare. Toate motoarele moderne au un senzor de detonatie, si daca are loc acest fenomen, se regleaza injectia si aprinderea astfel incat sa fie evitat acest fenomen distructiv. Benzina cu cifra octanica peste 95 se foloseste la motoare mai performante unde compresia este de peste 1:10 de regula, pentru ca cea de 95 s-ar autodetona inainte de momentul optim, scazand astfel performanta si eficienta motorului, inclusiv crescand consumul.

Legături sigma Hibridizarea sp3 a orbitalilor s şi p în gazul metan CH4. Legătura covalentă C-H are un caracter de 25% s şi 75% p Mecanica cuantică afirmă că funcţia de undă a orbitalului sp3 este: N(s + √3pσ) Avem 4 legături covalente C-H în CH4 care formează 4 orbitali s în cei 4 atomi H şi 4 legături pσ de aceeaşi tărie şi lungime Grupul de simetrie este cel al tetraedrului  Unghiul H-C-H este de 109.5 grade Concluzia importantă: tipul de interacţiune determină grupul de simetrie

Legături pi Hibridizarea sp2 a orbitalilor s şi p în etenă CH2-CH2. Legătura covalentă C-H are un caracter de 33.3% s şi 66.7% p Mecanica cuantică afirmă că funcţia de undă a orbitalului sp2 este: N(s + √3pσ) În CH2-CH2 avem 3 orbitali sp2 de aceeaşi tărie şi lungime în jurul fiecărui atom C. Cei doi orbitali p rămaşi formează o legătură π. Grupul de simetrie în jurul unui carbon este cel al triunghiului  Unghiul H-C-H este de 120 grade Concluzia importantă: tipul de interacţiune determină grupul de simetrie

benzen fulerena

Grafene

Septembrie 2013 primul calculator cu nanotuburi de carbon - 142 de tranzistori

Grupul de simetrie şi structura determină funcţionalitatea moleculei Exemplu - Boala Alzheimer Neuronii au un citoschelet construit cu microtubuli care sunt stabilizaţi de o tau proteină. Boala determină modificări chimice ale proteinei tau şi microtubulii se dezintegrează şi distrug neuronii.

Tau proteina se leagă în regiunea VQIINK prin patru atomi de fosfor (fosforilare) de 4 monomeri din microtubuli asigurând stabilitatea microtubulilor. În indivizi sănătoşi proteinele tau se resping Boala determină apariţia unor situri suplimentare cu fosfor (hiperfosforilare)  proteinele tau îşi pierd funcţionalitatea biologică  Tau proteinele se atrag şi formează clusteri

Împachetarea greşită a proteinei precursoare ameloide APP într-o regiune (galbennă) care este tăiată de enzime într-o proteină numită beta amiloidă (formată din 40-42 aminoacizi), care apoi se adună în clusteri – plăcile senile.

Măsurarea timpului Christiaan Huygens (1629-1695)

Ceasul lui Huygens 1656

Ciclul circardian în cianobacterii cu trei proteine KaiA, KaiB, KaiC

Ciclul circardian in vitro 2007

Cea mai importantă problemă în biofizică: Determinarea împachetării proteinelor pornind de la cunoaşterea structurii primare a proteinei