Matematika pre prvý semester Mechaniky V tejto prezentáciii sú sústredené požiadavky z matematiky potrebné pre zvládnutie prvého semestra mechaniky. Myslí sa to tak, že všetko, čo tu je by mal študent bravúrne ovládať. Je to uvedené zhruba v poradí, ako to bude počas semestra potrebné. Toto nie je učebný text pre samoštúdium, naučiť sa to treba na predmetoch Matematika a Matematika pre fyzikov. Tu je to len stručne zhrnuté, i keď je často uvedená aj nejaká argumentácia a „dôkazy“. Myslí sa to tak, že študent má ovládať nielen „vzorec“ ale aj logiku za ním. Nevylučujem, že na oficiálnych predmetoch sú veci vysvetľované a dokazované mierne inými pohľadmi do vecí. Neznamená to, že tam je to zle a tu dobre alebo naopak. Nie je na škodu vidieť do vecí z rôznych uhlov pohľadu. Ale aspoň jeden uhol pohľadu (nie nevyhnutne tu uvedený) treba naozaj zvládnuť. Táto škola nie je pre tých, ktorí látku tu uvedenú nezvládnu alebo jej naozaj nerozumejú. Toto sa nenaučíte týždeň pred skúškou! Určite sú tu aj chyby a preklepy, budem vďačný za upozornenie. Ale študenta neospravedlňuje, že „tak to bolo napísané“ ak je to zle. Ani most nesmie spadnúť v dôsledku preklepu v skriptách!

Meranie uhlov v radiánoch

Sínus a kosínus pre malé uhly (v radiálnoch) protiľahlá k prepone pre malé 𝜑: kosínus priľahlá k prepone pre malé 𝜑:

Derivácia: smernica (strmosť) dotyčnice Začneme sečnicou: f(x+dx) f(x+dx)-f(x) α f(x) dx tan 𝛼= 𝑓 𝑥+𝑑𝑥 −𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 x x+dx

f(x) tan 𝛼= lim 𝑑𝑥→0 𝑓 𝑥+𝑑𝑥 −𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 α x

(pre malé uhly)

„Grafické derivovanie“

Taylorov rad (v bode x=0)

Taylorov rad (v bode x=a)

Prečo práve takto? Hľadám funkciu, aby platilo, teda aby bola deriváciou samej seba

Prečo sa 𝑒 𝑥 volá 𝑒 𝑥 ? Pomenovanie je rozumné, ak platí 𝑒 𝑥+𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 urobme Taylorov rad v premennej 𝑦 pri konštantnom 𝑥 Všade do derivácií dosadíme y=0 a dostaneme

Komplexné čísla komplexné združenie Reálna a imaginárna časť V elektroinžinierskej praxi sa často používa označenie 𝑗 namiesto 𝑖 teda

Delenie komplexných čísel

Znázornenie komplexných čísel v rovine

Eulerov vzťah

Pomocou Eulerovho vzorca sa dobre odvodzujú goniometrické vzťahy

Nájdime δ

atan2 je programátorské značenie, ktoré matematici nepoznajú, obor hodnôt funkcie atan2 je totiž (-π, π), kým obor hodnôt inverznej funkcie k tangensu, arctan() je (-π/2, π/2) Funkcia atan2 je totiž definovaná nie ako inverzná funkcia k tangensu ale ako polárny uhol ϕ bodu s kartézskymi súradnicami (x,y), teda taký uhol, že platí Nájdime δ

atan2 je programátorské značenie, ktoré matematici nepoznajú, obor hodnôt funkcie atan2 je totiž (-π, π), kým obor hodnôt inverznej funkcie k tangensu, arctan() je (-π/2, π/2) Funkcia atan2 je totiž definovaná nie ako inverzná funkcia k tangensu ale ako polárny uhol 𝛿

Integrály Príklad: plocha pod krivkou Ako sa to robí? Integrál je vždy súčet nekonečného počtu nekonečne malých čísel. Niekedy sa stane, že sa dá vypočítať "ako opak derivácie" Príklad: plocha pod krivkou Ako sa to robí?

rozseká sa to na "obdĺžničky" rozseká sa to na "obdĺžničky". Nie sú to celkom obdĺžničky, lebo hornú stranu majú krivú. Šírka tých obdĺžničkov sa urobí rovnaká, rovná 𝑑𝑥 každý obdĺžniček "dostane meno". Meno bude súradnica ľavého dolného rohu. obdĺžničku s menom 𝑥 priradím plochu 𝑑𝑆 = f(x)dx.

rozseká sa to na "obdĺžničky" rozseká sa to na "obdĺžničky". Nie sú to celkom obdĺžničky, lebo hornú stranu majú krivú. Šírka tých obdĺžničkov sa urobí rovnaká, rovná 𝑑𝑥 každý obdĺžniček "dostane meno". Meno bude súradnica ľavého dolného rohu. obdĺžničku s menom 𝑥 priradím plochu 𝑑𝑆=𝑓 𝑥 𝑑𝑥. To nie je plocha krivého obdĺžnička ale rovného obdĺžnička, ktorý je trochu menší (v tomto prípade). Plochu pod krivkou spočítam ako

Tento symbolický výraz znamená toto Tento symbolický výraz znamená toto. Urobím sumu "cez všetky pomenované obdĺžničky. Ich mená sú "x", preto je tam že cez všetky "x". Za každý obdĺžniček zapíšem sčítanec 𝑑𝑆=𝑓 𝑥 𝑑𝑥 . Dostanem nejaké číslo. Overím si (alebo to nechám overiť múdrych matematikov), že keď to budem rozsekávať na stále viac obdĺžničkov, tak tie čísla budú konvergovať k nejakému konkrétnemu číslu 𝑆. Toto číslo nazvem plocha pod krivkou.

Takže prerobte si hlavu! Nemusíte zavádzať pre plochu pod krivkou nový hieroglyf typu spokojne používajte starý hieroglyf Ale ten hieroglyf nech pre vás neznamená "opak derivácie" ale sumu! Ktorá, ako ste sa učili, sa (v tomto prípade náhodou) dá šikovne spočítať pomocou opaku derivácie.

Ak som nechodil na kurz analýzy, stále neviem, ako sa to prakticky spočíta. Teda neviem to urobiť analyticky. Ale ak som IT-človek, nemám problém. Naprogramujem to. Na to nepotrebujem žiadne špeciálne vedomosti. Rozsekám na 1000 kúskov a spočítam. Potom rozsekám na 10000 a zase spočítam. Ak dostanem takmer to isté, fajn. Ak nie, skúsim 1000000 kúskov a 10000000. Ak ani to nie, začnem rozmýšľať, čo sa deje.

Príklad zradnej situácie

Integrály Príklad: plocha pod krivkou Integrál je vždy súčet nekonečného počtu nekonečne malých čísel. Niekedy sa stane, že sa dá vypočítať "ako opak derivácie" Príklad: plocha pod krivkou Ako sa to robí "ako opak derivácie"?

Integrály Príklad: plocha pod krivkou Integrál je vždy súčet nekonečného počtu nekonečne malých čísel. Niekedy sa stane, že sa dá vypočítať "ako opak derivácie" Príklad: plocha pod krivkou Tak že vyriešim všeobecnejšiu úlohu, nie "od a po b" ale od a po ľubovoľné x"!

Hľadám teda nie jedno číslo S definované ako "plocha od a po b" ale funkciu S(x), definovanú ako "plocha od a po x". Teraz si stačí uvedomiť že zjavne (približne) platí a platí to tým presnejšie, čím menšie je 𝑑𝑥.

Hľadám teda funkciu 𝑆(𝑥), ktorej deriváciou je zadaná funkcia 𝑓(𝑥). Počítam teda "opak derivácie". Ak opak derivácie nájdem, potom je to ľahké, plocha pod krivkou je 𝑆=𝑆 𝑏 −𝑆(𝑎).

Iný typ integrálu: integrál cez objem Mám čosi ako zemiak. Teleso v priestore. každý jeho bod má tri súradnice (𝑥,𝑦,𝑧). Zemiak nie je homogénny, teda nemá všade rovnakú hustotu. Lokálna hustota sa dá chápať ako funkcia troch premenných 𝜌(𝑥,𝑦,𝑧). Mám vypočítať hmotnosť zemiaka. Rozdelím celý zemiak na malé kocky (ako keby som spravil Lego-model). Každá kocka dostane meno skladajúce sa z troch čísel (ako Rusi: trojica mien reprezetntuje jediného človeka). Kocka sa "bode volať" 𝑥,𝑦,𝑧 podľa súradníc svojho ľavého dolného predného vrcholu. Hmotnosť zemiaka je potom zrejme , keď sčítanie sa myslí "cez všetky kocky"

Toto zjavne nie je jednoduchý "opak derivácie" Toto zjavne nie je jednoduchý "opak derivácie". Hoci nejakými trikmi sa to dá transformovať (aspoň v princípe) na niekoľkonásobné a kombinované inteligentné použitie opakov derivácie. Pre zemiak s komplikovaným povrchom zaručene analyticky aj tak nespočítateľné. IT človeka môže osloviť kamarát, že také potrebuje spočítať na počítači. Nie ťažká vec. skúste podumať, akú špecifikáciu zadania od neho budete chcieť, a potom podumať ako by ste to robili. Na cvičeniach si urobíme niečo jednoduchšie v rovine.

Dĺžka štvrťkruhu s je súčet veľkého množstva maličkých sčítancov, hovorí sa tomu krivkový integrál, ale nie je to opak žiadnej derivácie (teda aspoň viditeľne priamo nie je)

S istou námahou a inteligenciou sa to dá prerobiť na „opak derivácie“

Sústavy lineárnych rovníc Typický príklad: Všeobecnejšie: Maticový zápis:

Majme teda výraz typu Treba to vnímať takto. Na vstupe (na pravej strane) je vektor 𝑎 a pomocou matice 𝐴 𝑖𝑗 z neho vyrobíme nový vektor 𝑏 . Hovoríme, že matica 𝐴 𝑖𝑗 transformuje vektor 𝑎 na vektor 𝑏 . Rozpíšme pre istotu ako vypočítame prvú zložku vektora 𝑏 : Zapíšme teraz všetko v maticovom (tabuľkovom) tvare V zápise sme použili akoby znamienko súčinu, bodku. Tým sme akoby definovali „ako sa násobia matice“. Všimnite si ukazováky na obrázku. Ukazujú ako vznikne prvý riadok výsledného vektora. Môžem si to predstaviť tak, že ukazovákom ľavej ruky postupne ukazujem prvky v prvom riadku matice a ukazovákom pravej ruky postupne prvky vektorového stĺpca tak že ukazováky posúvam synchrónne. Červená ruka ukazuje prvú synchrónnu polohu, modrá druhú a zelená tretiu. Vynásobím vždy prvoky, na ktoré ukazujú synchronizované prstu a vzniknuté súčiny sčítam.

Techniku maticového násobenia sa nabifľujte! Druhý riadok výsledného vektora je už analogický Keby som vypísal ešte aj tretí riadok, už by som vás urazil. Techniku maticového násobenia sa nabifľujte! Toto bola ukážka násobenia vektora (teda jednostĺpcovej matice) štvorcovou maticou. Na ďalšom slajde je ukážka násobenie dvoch štvorcových matíc

Všimnime si štruktúru výrazu Všimnime si štruktúru výrazu. Na ľavej strane je dvojindexová matica, teda vlastne je to 9 rovníc, každá pre nejakú kombináciu hodnôt indexov ij. V súčte je jeden nemý index, teda je to súčet troch súčinov. V súčinoch sú prvky z dvoch matíc, pričom sa sčíta tak že druhý index (stĺpcový) prvku prvej matice je rovnaký ako prvý index (riadkový) prvku druhej matice. V maticovom zápise je to Na obrázku konkrétne vidíme, ako sa vypočíta prvok 𝑅 23 ′ . Ukazujeme synchrónne ukazovákom ľavej ruky prvky v druhom riadku ľavej matice a ukazovákom pravej ruky prvky v treťom stĺpci pravej matice. Analogicky získame všetkých 9 prvkov výslednej matice. Spoľahlivo si nacvičte techniku násobenia dvoch matíc!

Násobenie dvoch štvorcových matíc je dobré vtedy, ak máme na vektor (jednostĺpcovú maticu) aplikovať najprv jednu štvorcovú maticu a na výsledok (ktorým je jednostĺpcová matica) potom ďalšiu štvorcovú maticu. Dá sa to urobiť naraz jednou výslednou štvorcovou maticou, ktorú získame násobením tých dvoch (postupne pôsobiacich) štvorcových matíc. Teda je to isté ako Rozpíšte si toto tvrdenie po indexoch a zistíte, že je to pravda! Matice môžu mať aj iný počet stĺpcov a riadkov ako 3. A nemusia byť štvorcové. Napríklad vektor je jednostĺpcová matica s viacerými riadkami. Ak chcem násobiť dve neštvorcové matice, potom počet stĺpcov prvej matice musí byť rovnaký ako počet riadkov druhej matice, inak sa nedá aplikovať pravidlo o násobení (pozri si „ručičky“ pri vysvetľovaní procesu násobenia).

Špeciálne matice Matica sa volá diagonálna, ak jej nediagonálne elementy sú nulové, teda ak 𝐴 𝑖𝑗 =0 pre 𝑖≠𝑗. Diagonálna matica sa volá jednotková, ak na diagonále má všetko jednotky. Značí sa často ako 1 , alebo 𝛿 . Vtedy sa jej hovorí aj „Kroneckerovo delta“: V tomto kontexte treba spomenúť špeciálny úplne antisymetrický symbol 𝜀 . Nie je to matica, ale viacindexový symbol, ktorý má toľko indexov, v koľko rozmernom priestore „žije“. V trojrozmernom priestore má teda tri indexy

Levi-Civitov symbol v 𝑛-rozmernom priestore Vyskytuje sa tam pojem párna (even) alebo nepárna (odd) permutácia. Názov permutácie je odvodený od toho, že každú permutáciu čísel 1,2,...,n možno priviesť do štandardného poradia 1,2,...,n postupnými výmenami poradia dvoch vždy dvoch susedných čísel. Počet potrebných výmen je buď párne číslo, vtedy sa permutácia volá párna, alebo nepárne číslo, vtedy sa permutácia volá nepárna. Napríklad permutácia 2,4,1,3 je párna, lebo sa dá usporiadať takto 2,4,1,3 -> 2,1,4,3-> 1,2,4,3->1,2,3,4

Transponovaná matica Transponovaná matica 𝐴 𝑇 vznikne s pôvodnej matice 𝐴 tak, že vymeníme riadky za stĺpce, teda 𝐴 𝑖𝑗 𝑇 = 𝐴 𝑗𝑖 . Napríklad

Inverzná matica štvorcová matica 𝐴 −1 sa volá inverzná matica k štvorcovej matici 𝐴 , ak platí 𝐴 −1 . 𝐴 = 𝐴 . 𝐴 −1 = 1 teda vynásobenie matice s jej inverznou dá jednotkovú maticu. Napríklad v dvojrozmernom prípade (skúste si tie matice vynásobiť) Upozornime, že inverzná matica k nejakej danej matici nemusí existovať. Postup, ako vypočítať inverznú maticu k danej matici, sa učí na lineárnej algebre a na numerickej matematike. Bol som lenivý, a aj túto malú inverznú maticu som si našiel jednoduchým programom v Pythone. Trošku to prekračuje úroveň skrípt „Python pre škôlkarov“, lebo tam potrebujeme dvojrozmerné polia, ale pre zdatného googlistu to nie je problém. Všimnite si v programe, že matica sa zadáva „po stĺpcoch“, to je niekedy pasca na programátora.

Inverzná matica a riešenie lineárnych rovníc Inverzná matica je užitočná vec pre riešenie sústav lineárnych rovníc. Napríklad Maticový zápis: Inverzná matica k matici koeficientov existuje (našiel ju Python), vynásobme ňou celú rovnicu: Overte si, že je to riešenie danej sústavy rovníc.

Inverzná matica a riešenie lineárnych rovníc Ak existuje inverzná matica 𝐴 −1 , potom Prípadom, keď neexistuje inverzná matica sa tu zaoberať nebudeme.

Narábanie s vektormi ako s maticami Často je užitočné predstaviť si vektor ako jednostĺpcovú maticu Potom skalárny súčin s iným vektorom 𝑏 = 1,2,−3 je možné písať ako maticové násobenie s transponovanou maticou 𝑏 𝑇 . A bude to fungovať vždy lebo

Matica ako operátor všeobecnej lineárnej transformácie vektora Všimnime si, že vynásobením vektora nejakou maticou dostaneme nejaký nový vektor Hovoríme, že matica transformuje vektor 𝑎 na vektor 𝑏 , teda že matica je operátor transformácie vektora. Je to pritom lineárne transformácia, čo znamená že „superpozícii“ (váženému súčtu) dvoch vektorov priradí rovnakú superpozíciu ich transformovaných vektorov. Formálne Na čo je to dobré? Vo fyzike máme veľa „lineárnych zákonov“. Vari najznámejší je Ohmov zákon: „prúd odporom rastie lineárne s priloženým napätím“, teda (koeficient úmernosti je 1/𝑅).

Matica ako operátor všeobecnej lineárnej transformácie vektora Ohmov zákon neplatí úplne presne, ale v nie príliš veľkom rozsahu napätí a prúdov je pre danú súčiastku (rezistor) prakticky vyhovujúci. Ohmov zákon je dôsledkom inej pozorovanej lineárnej závislosti, a to, že ak vnútri vodiča je na nejakom mieste elektrické pole intenzity 𝐸 , potom v tom mieste tečie elektrický prúd s hustotou 𝑗=𝜎 𝐸 . Hustota elektrického prúdu sa vyjadruje v Ampéroch na plošnú jednotku, 𝜎 je materiálová konštanta zvaná vodivosť materiálu. Hustota prúdu je teda úmerná elektrickému poľu a má jeho smer. Takto to ale platí iba v izotropných materiáloch, teda takých, ktorých vlastnosti sú v každom smere rovnaké. Poznáme ale aj anizotropné materiály, napríklad kryštály. Tie nemajú v každom smere rovnaké vlastnosti. Teda napríklad v istom smere môžu mať väčšiu vodivosť ako v inom smere. Výsledkom to je, že hustota elektrického prúdu nemá smer intenzity elektrického poľa. (Zložka hustoty prúdu v smere väčšej vodivosti je väčšia, než by prislúchalo jednoduchej priamej úmernosti.) Ohmov zákon sa potom vyjadruje maticovým vzťahom Takýto vzťah môžem napísať ako najvšeobecnejší zápis lineárnej závislosti medzi vektormi 𝑗 a 𝐸 , a koeficienty tzv. tenzora vodivosti 𝜎 𝑖𝑘 zavediem ako (zatiaľ) neznáme materiálové parametre, ktoré potom experimentálne zistím.

Transponovanie transformovaného vektora Uvžujme vektor 𝑏 , ktorý vznikne transformáciou vektora 𝑎 . Skrátene 𝑏 = 𝐴 . 𝑎 Ak potrebujeme vyjadriť vektor 𝑏 𝑇 , môžeme tak urobiť priamo transformáciou transponovaného vektora 𝑎 𝑇 takto 𝑏 𝑇 = 𝑎 𝑇 . 𝐴 𝑇 Všimnite si zámenu poradia pri transponovaní ! Overme to po zložkách: Poslednú sumu môžeme naozaj zapísať ako 𝑏 𝑇 = 𝑎 𝑇 . 𝐴 𝑇 , takže dostaneme Zelená matica je 𝐴 𝑇 ! Overte si maticovým násobením, že všetko je pravda.

Ortogonálne matice Štvorcová matica 𝐴 sa nazýva ortogonálna ak k nej existuje inverzná a platí 𝐴 −1 = 𝐴 𝑇 Platí dôležitá veta: pri transformovaní vektorov ortogonálnou maticou sa zachováva ich skalárny súčin Dôkaz. Majme ortogonálnu maticu 𝐴 a dva ľubovoľné vektory 𝑎 , 𝑏 . Transformujme oba tie vektory Vypočítajme skalárny súčin transformovaných vektorov: Naozaj, skalárny súčin transformovaných vektorov je rovnaký ako skalárny súčin pôvodných vektorov. Keďže veľkosť vektora sa dá počítať ako 𝑎 . 𝑎 , znamená to, že veľkosť vektora sa pri transformácii ortogonálnou maticou nemení.