Teorija betonskih konstrukcija 2 Univerzitet u Beogradu Građevinski fakultet VI Semestar Teorija betonskih konstrukcija 2 Primer – deo 2. Doc. dr Nenad Pecić, dipl. građ. inž. Doc. dr Nikola Tanasić, dipl. građ. inž. Beograd, 2017.

POS 3 – AB GREDA 1. Statički sistem

POS 3 – AB GREDA Pojednostavljen statički sistem za POS3 („ručni“ proračun) Napomena: Raspon grede je (2) 7.50 metara. Dispozicija je data uz proracun ploče POS 1 Šeme opterećenja: A gst+Dg stalno B q2 sneg q1 C C.1 parking

2. Analiza opterećenja Stalna dejstva : sopstvena težina gst = 0.3x0.6x25= 4.50 kN/m sa ploče POS 1 gPOS1 + DgPOS1 = 33.26 kN/m UKUPNO stalno dejstvo („A“) g = 37.76 kN/m POS1 – reakcije za uticaje g+Dg R1 =12.11 R4=12.11 R2 =33.26 R3 =33.26

2. Analiza opterećenja Promenljiva dejstva: promenljivo sa POS 1 („C“) q1 = 15.12 kN/m sneg sa POS 1 („B“) q2 = 6.05 kN/m POS1 – reakcije za promenljivo opterećenje i sneg R1 =5.50 R4=5.50 R2 =15.12 R3 =15.12 R1 =2.20 R4=2.20 R2 =6.05 R3 =6.05

Korisno opterećenje kategorije F Granično stanje nosivosti (ULS) {10} {11} {12} Kombinacija dejstava za “stalnu” proračunsku situaciju: Parcijalni koeficijenti sigurnosti  za dejstva Stalno dejstvo (G) Promenljivo dejstvo (Q) Povoljan efekat Nepovoljan efekat 1.0 1.35 1.50 Statistički  faktori (EN 1990: A1.2.2(1) – Tabela A1.1) Opterećenje Y 0 y 1 Y 2 Korisno opterećenje kategorije F 0.7 0.6 Sneg 0.5 0.2

“STALNA” PRORAČUNSKA KOMBINACIJA {10} {11} {12} (EN 1990: A1.3.1 – Tabela A1.2(B)) “STALNA” PRORAČUNSKA KOMBINACIJA Stalna dejstva Promenljiva dejstva povoljna nepovoljna ”Dominantno” promeljivo dejstvo Ostala promenljiva dejstva 1.0  g 1.5  q1 (1.5 ili 0)  0.5  q2 1.5  q2 (1.5 ili 0)  0.7  q1 1.35  g Jednačina (6.10) EN 1990

KOMBINACIJE - “STALNA” PRORAČUNSKA SITUACIJA: {12} KOMBINACIJE - “STALNA” PRORAČUNSKA SITUACIJA: 1. 1,35  A + 1,5  B + 1,5  0,7  C 2. 1,35  A + 1,5  C + 1,5  0,5  B

Kontrola prslina, kontrola ugiba (SLS): {13} Kontrola prslina, kontrola ugiba (SLS): Kvazi-stalna kombinacija Statistički  faktori (EN 1990: A1.2.2 – Tabela A1.1) Opterećenje Y 0 Y 1 Y 2 Korisno opterećenje kategorije F 0,7 0,6 Sneg 0,5 0,2 (EN 1990: A1.4.1 – Tabela A1.4) Kvazi – stalna kombinacija Stalna dejstva Promenljiva dejstva Korisno kategorije F sneg 1,0  g 0,6  q1 0  q2

- Kvazi-stalna kombinacija (vidi napred), i {13} Kontrola napona (SLS) - Kvazi-stalna kombinacija (vidi napred), i - Karakteristična kombinacija Statistički  faktori (EN 1990: A1.2.2 – Tabela A1.1) Opterećenje Y 0 Y 1 Y 2 Korisno opterećenje kategorije F 0,7 0,6 Sneg 0,5 0,2 (EN 1990: A1.4.1 – Tabela A1.4) Karakteristična kombinacija Stalna dejstva Promenljiva dejstva “dominantno” ostala 1,0  g 1,0  q1 0,5  q2 1,0  q2 0,7  q1

KOMBINACIJE ZA PRORAČUN SLS {14} KVAZI - STALNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: A + 0.6  C + 0  B KARAKTERISTIČNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: A + C + 0.5  B A + 0.7  C + B

3. Statički uticaji - ULS MEd VEd [kNm] [kN] 549.33 310.10 310.10 343.34 206.46 VEd [kN] -206.46 -343.34

3. Statički uticaji - SLS M M KVAZI - STALNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA [kNm] 185.72 -327.96 KARAKTERISTIČNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA -391.49 M [kNm] 221.70 221.70

4. Proračun - ULS 1. Savijanje {15} Zaštitni sloj: Usvojiće se veća vrednost od dve: Vrednosti koja odgovara uzengiji i Vrednosti koja odgovara armaturi za savijanje Time se postiže istovremeno zadovoljenje uslova zaštite armature od korozije (koji ne zavisi od dimenzija armature) i uslova prianjanja armature. Tako se, načelno, može postići racionalnije rešenje jer je sloj koji obuhvata armaturu za savijanje veći od sloja koji pokriva uzengiju za njen prečnik.

Zaštitni sloj (prema uzengiji): {15} Donja zona grede cnom=cmin+cdev (4.1) 4.4.1.1 cmin,b cmin  cmin,dur + cdur,g - cdur,st - cdur,add 10 mm 4.4.1.2 cmin,b  = 10 mm (očekivani max u)  - prečnik pojedinačne šipke n - prečnik šipke u svežnju 4.4.1.2(3) (tabela 4.2)

cmin  cmin,dur + cdur,g - cdur,st - cdur,add 10 mm cmin  cmin,dur + cdur,g - cdur,st - cdur,add cmin,dur : Modifikacija klase konstrukcije prema 4.4.1.2(5) - Tabela 4.3N: Klasa S4 ostaje nepromenjena {16} Iz 4.4.1.2(5) - Tabela 4.4N: cmin, dur = 45 mm {17} Korekcije cmin,dur (NA): cdur,g = cdur,st = cdur,add = 0 4.4.1.2(6),(7),(8) 10 mm cmin  45+0+0+0 = 45 mm = 45 mm

cnom= cmin+cdev = 45 + 10 = 55 mm {18} cnom=cmin + cdev (4.1) Vrednost cdev definiše se u NA. Vrednost (4.4.1.3(1)) je 10 mm. Usvojeno: cdev = 10 mm Potreban zaštitni sloj prema uzengiji: cnom= cmin+cdev = 45 + 10 = 55 mm Zaštitni sloj od 55 mm obezbeđuje 55+10=65 mm zaštitnog sloja za glavnu armaturu.

Zaštitni sloj (prema armaturi za savijanje): {15} Donja zona grede cnom=cmin+cdev (4.1) 4.4.1.1 cmin,b cmin  cmin,dur + cdur,g - cdur,st - cdur,add 10 mm 4.4.1.2 cmin,b  = 25 mm (očekivani max  )  - prečnik pojedinačne šipke n - prečnik šipke u svežnju 4.4.1.2(3) (tabela 4.2)

cmin  cmin,dur + cdur,g - cdur,st - cdur,add 10 mm Modifikacija klase konstrukcije prema 4.4.1.2(5) - Tabela 4.3N: Klasa S4 ostaje nepromenjena {16} Iz 4.4.1.2(5) - Tabela 4.4N: cmin, dur = 45 mm {17} Korekcije cmin,dur (NA): cdur,g = cdur,st = cdur,add = 0 4.4.1.2(6),(7),(8) 25 mm cmin  45+0+0+0 = 25 mm = 45 mm 10 mm

cnom= cmin+cdev = 45 + 10 = 55 mm {18} cnom=cmin + cdev (4.1) Vrednost cdev definiše se u NA. Vrednost (4.4.1.3(1)) je 10 mm. Usvojeno: cdev = 10 mm Potreban zaštitni sloj do armature za savijanje: cnom= cmin+cdev = 45 + 10 = 55 mm Merodavan je zaštitni sloj sračunat prema uzengiji i iznosi 55 mm. On obezbeđuje armaturi za savijanje 65 mm zaštitnog sloja što je više od potrebnih 55 mm. cnom= 55 mm Čist zaštitni sloj do uzengije

Dimenzionisanje grede POS 3: {19} Materijali: beton C35/45: fck = 35 MPa fcd = accfck/gc acc=0.85: fcd = 0.85  35/1.5= 19.83 MPa armatura B 500: fyk = 500 Mpa fyd = fyk/gs= 500/1.15= 434.8 MPa {20} Geometrijske karakteristike: h = 60.0 cm bw = 30.0 cm

{35} Efektivna širina pritisnutih flanši (napomena: sračunato sa rasponom od 8.0 m, umesto 7.5, koliko bi trebalo): 5.3.2.1(3) (u polju)

Efektivna širina zategnutih flanši (napomena: sračunato sa rasponom od 8.0 m, umesto 7.5, koliko bi trebalo): {35} 5.3.2.1(3) (nad osloncem)

Minimalne i maksimalne površine armature za savijanje u polju: {21} 9.2.1.1(1) {31} 7.3.2(2) NA 2.76 C35/45: fctm = 3.2 MPa (tabela 3.1) (u polju !)

Minimalne i maksimalne površine armature za savijanje nad osloncem: {21} 9.2.1.1(1) {31} 7.3.2(2) NA 2.76 C35/45: fctm = 3.2 MPa (tabela 3.1) (nad osloncem!)

Dimenzionisanje: U polju: Nad osloncem: pretpostavljeno: d1 = 7.8cm

polje: MEd = 310.10 kNm Tablice {23} pp. d1 = 7.8 cm d = 60 - 7.8 = 52.2 cm b = beff = 270 cm (“T” presek) ξ = 0.027 x = 0.027·52.2 = 1.4 cm < 18.0 cm (= hf) Tablice {23} Usvojeno: 2  20 + 2  25 (16.10 cm2)

Srednji oslonac: MEd = 549.33 kNm pp. d1 = 7.8 cm d= 60 - 7.8 = 52.2 cm Usvojeno: gornja zona 3  20 + 4  20 + 3  20 (31.42 cm2)

VRd,c = CRd,c  k (100  l  fck)1/3 + k1  cp  bw  d (6.2a) 2. Kontrola smicanja Kontrola da li je potrebna armatura za smicanje {25} VEd< VRd,c 6.2.1(3) VRd,c = CRd,c  k (100  l  fck)1/3 + k1  cp  bw  d (6.2a) ali ne manje od: VRd,c = (vmin + k1  cp)  bw  d (6.2b)

Krajnji oslonac: d = 52.2 cm 2R20: As1 = 6.28 cm2 vmin = 0.035 k 3/2 · fck1/2 = 0.0351.62 3/2 · 351/2 = 0.427 CRd,c = 0.18/C=0.18/1.5=0.12 k1= 0.15 cp= NEd /Ac =0 (zanemarene normalne sile zbog male vrednosti) VRd,c = 0.12 1.62 (100  0.0040  35)1/3 + 0.15  0 300  522  10-3= 73.4 kN ali ne manje od: VRd,c = (0.427 + 0.15  0) 300  522  10-3 = 66.9 kN VRd,c = 73.4 kN

Potrebna je proračunska armatura za smicanje Krajnji oslonac: VEd = 206.5 kN > VRd,c=73.4 kN Potrebna je proračunska armatura za smicanje

Srednji oslonac: d=52.20 cm 1020: As1=31.42 cm2 vmin = 0.035 k 3/2 · fck1/2 = 0.0351.62 3/2 · 351/2 = 0.427 CRd,c = 0.18/C=0.18/1.5 = 0.12 k1= 0.15 cp= NEd /Ac =0 (zanemarene normalne sile zbog male vrednosti) VRd,c = 0.12 1.62 (100  0.02  35)1/3 + 0.15  0 300  522  10-3 = 125.5 kN ali ne manje od: VRd,c = (0.427 + 0.15  0) 300  522  10-3 = 66.9 kN VRd,c = 125.5 kN

Potrebna je proračunska armatura za smicanje Srednji oslonac: VEd = 343.3 kN > VRd,c=125.5 kN Potrebna je proračunska armatura za smicanje Maksimalna nosivost na smicanje {26}   6.2.3(3) (fck u MPa) (6.6N) 6.2.2(6) VRd,max = 1 30  0.9  52.2  0.6 (1 - 35/250)  1.98/2 = 720 kN VEd, max = 343.3 ≤ VRd,max = 720 kN

Proračun vertikalne armature za prijem smicanja: 6.2.3(3) {27} fyw= 500 MPa fywd= 434.8 fck= 35 fcd= 19.43 bw= 30 cm d= 52.2 z= 47.0 Za VEd = 206.5 kN Asw 28 210 s  9.9 15.5 Usvojeno: U10/15

Proračun vertikalne armature za prijem smicanja: 6.2.3(3) {27} fyw= 500 MPa fywd= 434.8 fck= 35 fcd= 19.43 bw= 30 cm d= 52.2 z= 47.0 Za VEd = 343.4 kN Asw 210 212 s  9.3  13.4 Usvojeno: U12/12.5

Na mestima gde nije potrebna računska armatura za prijem smicanja Minimalne površine armature za smicanje: 9.2.2 {28} Na mestima gde nije potrebna računska armatura za prijem smicanja Usvojeno: U10/20

5. Proračun SLS {29} Kontrola napona: Naponi u preseku, za stanje eksploatacije (SLS), izračunavaju se uobičajenim postupcima koji podrazumevaju Hukov zakon, Bernulijevu hipotezu i isključenje zategnutog betona. Prikazuje se detaljan proračun napona u preseku na osloncem pri delovanju momenta za karakterističnu kombinaciju opetrećenja tj. M = 391.49 kNm. Proračun je sprovoden po postupku za obostrano armiran presek, sa sledećim podacima: b = 30 cm h = 60.0 cm d1 = 7.5 cm d = 52.5 cm As1 = 31.42 cm2 As2 = 6.28 cm2 Ecm = 34 GPa Es = 200 GPa

KVAZI - STALNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: {29} Naponi u tabeli su izračunati po prikazanom postupku 7.2(3) KVAZI - STALNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: C35/45: sc  0.45  35 = 15.75 MPa greda POS 3 polje Oslonac M (kNm) 185.72 327.96 As1 (cm2) 16.10 (220+225) 31.42 (1020) As2 (cm2) 6.28 (220) s 0,110 (x = 5.8cm < hf) 0.370 sc (MPa) 4.80 22.71 0.45fck < 15.75 > 15.75 ss1 (MPa) 228.2 227.2

KARAKTERISTIČNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: {29} KARAKTERISTIČNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: Naponi u tabeli su izračunati po prikazanom postupku: 7.2(2) 7.2(5) C35/45: sc  0.6035 = 21MPa B 500: ss1  0.80500 = 400 MPa greda POS 3 polje oslonac M (kNm) 221.70 391.49 As1 (cm2) 16.1 (220+225) 31.42 (1020) As2 (cm2) 6.28 (220) s 0,110 (x=sd<hf) 0.371 sc (MPa) 5.71 27.16 0,60fck < 21.0 > 21.0 ss1 (MPa) 272.4 271.4 0,80fyk <400

viša klasa čvrstoće betona povećanje količine zategnute armature Naponi u betonu u preseku nad osloncem su prekoračeni i pri kvazi-stalnoj i pri karakterističnoj kombinaciji. greda POS 3 oslonac kvazi-stalna kombinacija karakteristična kombinacija sc (MPa) 22.71 27.16 ograničenje (MPa) 15.75 21.0 odnos napona 1.44 1.29 Moguća rešenja su: viša klasa čvrstoće betona povećanje količine zategnute armature povećanje pritisnute armature utezanje pritisnutog betona, povećanje visine preseka, povećanje širine preseka, kombinacija dve ili više prethodnih mera U nastavku je, kao primer, prikazano rešenje koje kombinuje mere b) i c).

KVAZI - STALNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: (5.1 Proračun SLS) – Izmenjeno rešenje za zadovoljenje napona Kontrola napona: Zategnuta i pritisnuta armatura kod oslonca su uvećane. KVAZI - STALNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: C35/45: sc  0,4535 = 15.75 MPa 7.2(3) greda POS 3 polje Oslonac M (kNm) 185.72 327.96 As1 (cm2) 16.1 (220+225) 44.79 (820+425) As2 (cm2) 6.28 (220) 39.27 (425+425) s 0,110 (x = 5.8cm < hf) 0.387 sc (MPa) 4.80 17.69 0.45fck < 15.75 15.75 ss1 (MPa) 228.2 164.6 41

KARAKTERISTIČNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: 7.2(2) 7.2(5) C35/45: sc  0.6035 = 21MPa B 500: ss1  0.80500 = 400 MPa greda POS 3 polje oslonac M (kNm) 221.70 391.49 As1 (cm2) 16.1 (220+225) 44.79 (820+425) As2 (cm2) 6.28 (220) 39.27 (425+425) s 0,110 (x=sd<hp) 0.387 sc (MPa) 5.71 21.12 0,60fck < 21.0 ≈ 21.0 ss1 (MPa) 272.4 196.4 0,80fyk <400

Komentar o proračunu napona i naponskim ograničenjima Na prethodnim slajdovima pokazana je izmena rešenja nosača kada je potrebno ispuniti naponska ograničenja. Situacija u slučaju razmarane konstrukcije je sledeća: Naponi u armaturi nisu bili prekoračeni ni sa armaturom koja je usvojena prema ULS. Ograničenje napona u betonu od 0.6 fck propisano je za klase izloženosti XD, XF i XS. Granica je bila prekoračena nad osloncem, sa donje strane konstrucije. Ograničenje kvazi-stalnog napona u betonu od 0.45 fck nije limit koji ne sme biti prekoračen – uslov je da se uzme u obzir uvećano tečenje betona koje bi moglo dovesti do prekomernih ugiba. Kod razmatrane konstrukcije naponi su prekoračeni u zoni srednjeg oslonca na relativno maloj dužini (neposredno oko vrha negativnih momenata). Ova zona ima dosta manji uticaj na ugib u rasponu od zone maksimalnih momenata u polju. S obzirom da su naponi u polju dosta ispod granice od 0.45 fck, prekoračenje napona u zoni oslonca moralo bi da se razmotri samo ukoliko bi provera ugiba pokazala da je on na granici dopuštenog. U nastavku će se videti da to nije slučaj. Imajući u vidu sve prethodno, učinjene su izmene armature kod oslonca kojim je napon pritiska pri karakterističnoj kombinaciji smanjen do granice 0.6 fck kako bi se izbeglo nastajanje podužnih prslina. Proračun se nastavlja sa izmenjenim rešenjem.

{30} Kontrola prslina Preporučene računske širine prslina date su u Tabeli 7.1N (EN1992-1-1:7.3.1(5)). Preporučeno ograničenje za klasu XD3 od 0.3 mm usvojeno je srpskom NA. Kontrola prslina može da se sprovodi na dva načina: 1. Direktnim proračunom širine prslina 2. Indirektnim postupkom 1. Direktan proračun širine prslina (Primer: presek grede u polju) (7.8)     (7.12)

  7.2.3(3)   (7.10)   (7.11) 7.3.4.(3)

  (7.9) 7.3.4.(2)  

2. Indirektan postupak kontrole širine prslina (alternativno) 7.3.3 2. Indirektan postupak kontrole širine prslina (alternativno) Za kontrolu prslina bez direktnog proračuna potrebno je ispuniti uslov po max  (tabela 7.2N) ili uslov za max razmak šipki armature (tabela 7.3N) Kao primer, prikazaće se kontrola u polju.   7.2N 7.3N

Kontrola ugiba {33} 7.4.2 Kontrola graničnog stanja deformacija ograničenjem odnosa raspon / statička visina preseka (l/d) : {34} Jednačina (7.16.a ) K = 1.3 (NA) (Tabela 7.4N)

Izračunavanjem izraza (7 Izračunavanjem izraza (7.16a) za male vrednosti ρ dobijaju vrednosti odnosa l/d koje ne odgovaraju realnim konstrukcijama. Ovaj problem se može prevazići limitiranjem minimalnog ρ koji se unosi ili na drugi podesan način, kao što je prikazano u nastavku. Korekcioni faktor koji uvodi različiti napon u armaturi i razliku usvojene i potrebne računske armature: S obzirom da je širina flanše (270 cm) više od 3 puta veća od rebra (30 cm) limitni odnos treba redukovati faktorom 0.8. Za raspone l veće od 7 m predviđena je korekcija faktorom 7/l kada konstrukcija nosi elemente osetljive na veće ugibe. To ovde nije slučaj, pa je ovaj faktor izostavljen.

U nacionalnim aneksima nekih zemalja data su ograničenja u pogledu maksimalnog odnosa (l/d) koji se može primeniti. U nastavku su prikazane granice iz britanskog i nemačkog NA Evrokoda 2. Ograničenja su data u obliku Kbroj, gde je K koeficijent statičkog sistema koji se primenjuje uz formulu 7.16a. OK