G R U P U R I

Grupul rotaţiilor Cn Grupul dihedral Dn Grupul permutărilor Sn Grupul alternativ An Grupul cuaternionilor H8 Grupul matricilor Pauli Grupurile poliedrelor Relaţii şi generatori Izomorfisme Subgrupuri Diagrame Cayley Ordinul grupului şi elementului

Grupul acţiunilor soldatului Reguli: Există o listă predefinită de acţiuni care nu se schimbă niciodată 2. Fiecare acţiune este reversibilă 3. Fiecare acţiune este deterministă 4. Fiecare secvenţă de acţiuni este tot o acţiune

Grupul simetriilor 2D –Rotaţiile pătratului C4 0 1 2 3 G = { Q , Q , Q , Q  } G = { Q | Q = I  } Generatorul grupului Relaţii între generatori 4

grupul soldatului şi grupul rotaţiilor C4 Izomorfismul dintre grupul soldatului şi grupul rotaţiilor C4 Graful Cayley

G = { Q | Q = 1, Q=exp(2π i/4)=i } Moduri diferite de a reprezenta grupul C4 - izomorfisme 0 1 2 3 G = { Q =1, Q = i, Q = -1, Q = -i } G = { Q | Q = 1, Q=exp(2π i/4)=i } 4 4 Grupul rădăcinilor ec. Z =1 Grupul matricilor rotaţiilor de unghi 2π/4

Moduri diferite de a reprezenta grupul C4 - izomorfisme Grupul permutărilor ciclice de 4 elemente Grupul Z4 al numerelor întregi modulo 4

Grupul Z4 are un subgrup Z2

Grupul rotaţiilor n-gonului Cn este izomorf cu grupul ciclic Zn G = { Q | Q = I , Q=exp(2πi/n) } n

Grupul acţiunilor - Grupul Klein

Grupul simetriilor 3D ale paralelipipedului K = { I , R , P ,  Y  } K = { I , S , D , SD  } K = { S,D | S = D = I  } Grupul Klein are doi generatori 2 2 Relaţii între generatori Relaţii între generatori Ordinul elementului S şi D este 2. Ordinul grupului (nr. Elemente) este 4. Ordinul elementului S şi D este 2. Ordinul grupului (nr. Elemente) este 4.

Grupul Klein are doi generatori K = { I , R , P ,  Y  } K = { I , S , D , SD  } K = { S,D | S = D = I  } Grupul Klein are doi generatori 2 2 Relaţii între generatori Teorema Lagrange - dacă G este un grup finit, atunci ordinul (numărul de elemente) al oricărui subgrup H divide ordinul lui G Ordinul grupului Klein este 4. Ordinul elementului S şi D este 2. Elementele S şi D formează subgrupuri ciclice C2 de ordin 2 care-l divid pe 4. Putem interpreta reflexiile S şi D ca fiind transpoziţii de 4 elemente. (Transpoziţiile sunt permutări de numai 2 elemente din cele n disponibile.

Grupul Klein izomorf cu: Grupul 2D a simetriilor dreptunghiului: a - reflexia faţă de planul vertical b - reflexia faţă de planul orizontal c – rotaţia cu 180 grade Grupul 3D a simetriilor paralelipipedului faţă de 3 axe perpendiculare între ele

Grupul Klein D2≃Z2×Z2 Grupul ciclic C4≃Z4 nu sunt izomorfe

Grupul permutărilor Sn Grupul permutărilor Sn Grupul permutărilor Sn n obiecte se permută în n! moduri diferite Grupul permutărilor Sn n obiecte se permută în n! moduri diferite 3 obiecte se permută în 3! moduri diferite Grupul permutărilor Sn n obiecte se permută în n! moduri diferite 3 obiecte se permută în 3! moduri diferite Relaţii între generatori care sunt transpoziţii Teorema Cayley Orice grup finit G este un subgrup al grupului permutărilor Sn

Grupul permutărilor S3 3 obiecte se permută în 3! moduri diferite

(permută obiectul i cu i+1) Transpoziţii (permută obiectul i cu i+1) - Orice permutare se poate scrie ca un produs de m transpoziţii - Dacă m este par, permutarea e pară Dacă m este impar, permutarea e impară Grupul permutărilor pare se numeşte grup alternativ Cicluri (permută ciclic n obiecte) - Orice permutare se poate scrie ca un produs de m cicluri disjuncte (nu acţionează pe elemente comune)

Relaţiile dintre generatorii grupului S3

r rr e f frr fr Grupul S3 se poate realiza ca grupul rotaţiilor şi reflexiilor unui triunghi echilateral D3 r rr e f frr fr

r f rr frr e fr Subgrupul rotaţiilor  C3  Grupul simetric S3 Subgrupul reflexiilor C2  Subgrupul rotaţiilor  C3  Grupul simetric S3

C3 este grup comutativ sau abelian S3 este grup neabelian  Grupul ciclic C3 este subgrup al grupului simetric S3 

Grupurile ciclice C3 şi C2 sunt subgrupuri ale grupului simetric S3

Grupul rotaţiilor Rk şi reflexiilor Sk unui poligon regulat cu n laturi este grupul diedral Dn. Relaţiile între generatori sunt: D2 grupul Klein este izomorf cu Z2 xZ2 D3 este izomorf cu S3

Pt. n impar avem un singur tip de reflexii Pt. N par avem două tipuri de reflexii

D3 D5 Dn Diagrame Cayley pt. grupuri diedrale Dn

Grupul diedral D4 al pătratului Cu roz este evidenţiat grupul rotaţiilor C4 r – rotaţie cu 90, s- reflexie

Grupul diedral D4 al pătratului este izomorf cu grupul matricilor: Găsiţi care sunt generatorii acestui grup, arătaţi că satisfac aceleaşi relaţii ca şi D4. Scrieţi matricile anterioare în funcţie de generatori. Arătaţi că a şi b satisfac relaţiile grupului diedral D4 Graful Cayley pt. D4

Grupul cuaternionilor H8 Grupul diciclic Qm de ordin 4m S = I, T = S , T S T =S Pt. m=2 obţinem Q2 izomorf cu H8 2m 2 m -1 -1

Grupul matricilor Pauli Există un izomorfism între grupul cuaternionilor şi grupul matricilor Pauli

Toate tipurile de grupuri finite de ordin ≤ 12: 1) (de ordin 1) grupul cu un element 2) (de ordin 2) grupul ciclic C2 3) (de ordin 3) grupul ciclic C3 4) (de ordin 4) grupul ciclic C4 şi grupul lui Klein C2 × C2 5) (de ordin 5) grupul ciclic C5 6) (de ordin 6) grupul ciclic C6 şi grupul simetric S3≈D3≈A3 7) (de ordin 7) grupul ciclic C7 8) (de ordin 8) Grupul ciclic C8, grupul C4 × C2, grupul C2 × C2 × C2 ≈D2xC2, grupul diedral D4 şi grupul cuaternionilor H8 ≈Q2 9) (de ordin 9) grupul ciclic C9 şi grupul C3 × C3 10) (de ordin 10) grupul ciclic C10 şi grupul diedral D5 11) (de ordin 11) grupul ciclic C11 12) (de ordin 12) grupul ciclic C12, grupul C6xC2≈C3xD2, grupul diedral D6, grupul diciclic Q3, grupul alternativ A4. Singurele grupuri finite de simetrie (de rotaţie) posibile în trei dimensiuni sunt: Cn, Dn, A4, S4, A5 Sau dacă se consideră şi inversiile (x  -x) atunci: Cn x C2, Dn x C2, A4 x C2, S4 x C2, A5 x C2