Rudarsko-geološko-naftni fakultet FIZIKA Gibanja i sile 2 prof. Željko Andreić Rudarsko-geološko-naftni fakultet Sveučilište u Zagrebu zeljko.andreic@oblak.rgn.hr http://rgn.hr/~zandreic/studenti/fizika/fizika.html

kratki sadržaj: 1. impuls sile 2. sila trenja 3. kosina i trenje na njoj 4. kružno gibanje 5. rad sile

Impuls sile t O F t1 t2 f(t)

Impuls sile 2 i: uz: nalazimo: odatle: i:

Impuls sile 3 Pri tome se impuls sile definira se kao: Pomnožimo li jednadžbu za krajnju brzinu masom nalazimo: Vidimo da je promjena količine gibanja jednaka impulsu sile: ili, u vektorskom obliku:

Primjer 5. Stijena mase 120 kg odlomi se od padine i padne na tlo sa brzinom od 25 ms-1. Udar traje 12 ms. Izračunajte srednju silu kojom za vrijeme udara stijena djeluje na tlo. ≈ 𝐹 ∆𝑡 t O F t1 t2 F

Primjer 5. 𝐼 𝐹 =𝑚∆𝑣 =𝑚( 𝑣 2 − 𝑣 1 ) =𝑚( 𝑣 2 − 𝑣 1 ) 𝐼 𝐹 =120 𝑘𝑔 ∙25 𝑚 𝑠 −1 =3000 𝑘𝑔𝑚 𝑠 −1 (𝑁∙𝑠) 𝐹 = 𝐼 ∆𝑡 =167 𝑘𝑁

Trenje veze nastaju na mjestima bliskog dodira

Trenje 2 F G FT N FN = G

Primjer 1: kolika je sila trenja u ovom slučaju? G FN = 0; trenje ne može držati tijelo na okomitim (ili vrlo strmim!) plohama!

Trenje 3 Ako pručavamo samo klizanje tijela (ne dolazi do prevrtanja!), možemo pojednostaviti: F FT G

Trenje 4 Statičko trenje: tijelo miruje. Dinamičko trenje: tijelo kliže po podlozi: veze nastaju veze pucaju objekt se giba u ovom smjeru

Trenje 5 trenje kotrljanja: poseban slučaj statičkog trenja (za vrijeme kotrljanja tijelo ne klizi po podlozi!). kotrljanje pomiće objekt u ovom smjeru veze pucaju veze nastaju

Trenje 6 Koeficijent trenja vezan je na materijale koji su u kontaktu (2 različita ili ista materijala!). Razlikujemo: koeficijent statičkog trenja: s koeficijent dinamičkog trenja: d koeficijent trenja kotrljanja: k U pravilu je: s > d > k

Trenje na kosini  a b Kosina se uglavnom opisuje kutem nagiba plohe kosine prema horizontali. Ponekad se koristi omjer bočne i donje stranice kosine, a:b, koji se uvijek zapisuje kao omjer (npr. 1:3).

FTS = SGN Trenje na kosini 2   GT FT GN G Tijelo počinje klizati kad tangencijalna komponenta težine tijela postane jednaka sili statičkog trenja.

Trenje na kosini 3 FTS = SGN pa je uvjet proklizavanja na kosini GT = FTS odakle se nalazi: S = tan() U trenutku kad tijelo počne klizati, sila trenja se smanji: FTD = DGN pa se tijelo počne gibati jednoliko ubrzano: ma = GT - FTD

Primjer 2 Koeficijent statičkog trenja između pijeska i dna kamionskog sanduka je 1,10. Pod koji kutem prema horizontali treba podiči sanduk da pijesak počne kliziti? Ako je koeficijent dinamičkog trenja 0,80, sa kojim ubrzanjem će pijesak krenuti? tan() = S = 1,1 odnosno,  = 47,72o kad pijesak krene, imamo ovu situaciju: ma = GT - FTD odnosno, ma = GT - DGN ma = mgsin() - Dmgcos() nakon kračenja i uvrštavanja na kraju nalazimo a = 1,98 ms-2

Kružno gibanje T kutna brzina: (t) (rad/s)  v T kutna brzina: (t) (rad/s)  obodna brzina v(t) = r (t) r prevaljeni kut: (t) (rad) kutno ubrzanje: (t) (rad/s2)

Kružno gibanje 2 Prevaljeni put izražava se kao: 1. Kut rotacije (t) Kut rotacije se ne svodi na osnovni interval! 2. Put koji prevali točka na obodu s(t) = r(t) 3. Broj okreta tijela u jedinici vremena ili frekvencija, f. f se mjeri u okretima po sekundi ili s-1. f = /2

Jednoliko kružno gibanje Kutna brzina  je konstantna. Sada je kut rotacije  = t 2. Put koji prevali točka na obodu s = vt = r  Frekvencija (broj okreta u jedinici vremena) : f = /2 (s-1)

Jednoliko ubrzano kružno gibanje Kutno ubrzanje  je konstantno. točka na obodu a = konst. kutna mjera  = konst. a = r   =  t + 0 v = at + v0 v = r   = t2/2 + 0t + 0 s = at2/2 + v0t +s0 s = r 

Primjer 3 Svrdlo električne bušilice okreće se sa f = 1800 o/min. Za koji kut se svrdlo zakrene u vremenskom intervalu t = 2 ms? Ako kod pokretanja svrdlo iz stanja mirovanja do konačne brzine ubrzava 0,64 s, koliko je njegovo kutno ubrzanje? f = 1800/60 = 30 o/s  = 2f = 188,50 rad/s  =  t = 0,37699 rad  =  t ili  = /t i na kraju, nakon uvrštavanja,  = 295 rad/s2

Centripetalno ubrzanje Promatramo jednoliko kružno gibanje: v2 r2 T2 v1 r1 T1  v v1  v2 v v = 

Centripetalno ubrzanje 2 v v =  nadalje, s r  = što daje: put po obodu je: pa nalazimo: presložimo:

Centripetalno ubrzanje 3 u granici t 0 je: acp je ubrzanje koje tijelo prisiljava na kružno gibanje. Ono u računima često puta stoji umjesto stvarnog uzroka kružnog gibanja (napetost niti, čvrstoča materijala kotača, gravitacija i sl.) Sila reakcije na centripetalnu silu naziva se centrifugalna sila. To je inerciona sila koju tijelo u kružnom gibanju osjeća kao silu koja tijelo želi izbaciti iz tog gibanja.

Gibanje po krivulji proizvoljnog oblika FT P v FR F Sila se rastavlja na tangencijalnu i radijalnu komponentu. Tangencijalna komponenta sile mijenja iznos brzine. Radijalna komponenta sile mijenja smjer gibanja.

Rad stalne sile Fx x Rad se definira kao umnožak sile i puta na kojem sila djeluje: W=Fx x [Nm = J] - ako nema pomaka, rad sile je 0.

Rad stalne sile 2 Ako sila nije u smjeru pomaka, rastavljamo ju na komponente: Fx x Fy F  W=Fx x = Fcos() - rad vrši samo komponenta sile u smjeru pomaka. (u smjeru ostalih komponenata nema pomaka, pa tako ni rada).

Rad promjenjive sile F(x) x+x x sila F x1 x2 put x

Primjer 4: opruga x=0 Hooke-ov zakon: F= -kx F x x F

Snaga Brzina sa kojom se vrši rad (=rad učinjen u jedinici vremena) naziva se snaga. Snaga se definira kao: Jedinica za snagu je J/s = W (wat). Kako je: dolazimo do ovog izraza za rad:

Kinetička energija Neka konstantna sila ubrzava tijelo od početne brzine vo do krajnje brzine v. Znamo da je: vrijeme ubrzavanja izračunamo iz jednadžbe za brzinu: odnosno: uvrstimo pa izlazi: sredimo i pomnožimo sa 2a:

Kinetička energija 2 sad upotrijebimo II. Newton-ov aksiom: pa nalazimo: Fx je rad sile na putu x, pa sređivanjem nalazimo: Učinjeni rad je razlika veličine mv2/2 na kraju i početku procesa. Ovu veličinu nazivamo KINETIČKA ENERGIJA.

Teorem o radu i kinetičkoj energiji Rad izvršen na tijelu jednak je povećanju kinetičke energije tijela! Ovo je tzv. teorem o radu i kinetičkoj energiji. Gdje smo sa KE označili kinetičku energiju:

Teorem o radu i kinetičkoj energiji 2 Teorem vrijedi i za promjenjivu silu: Uz preslagivanje i zamjenu granica integracije:

Potencijalna energija KE=max. z=z2 KE=0 a. bacanje u vis b. padanje -vo vo z=z1 Ovdje nešto nedostaje. Izračunajmo rad sile teže:

Potencijalna energija 2 (računamo rad sile teže na loptici). Ukupni rad je: se naziva gravitacijska potencijalna energija. U slučaju sile teže to postaje:

Potencijalna energija 3 Vrlo korisno svojstvo potencijalne funkcije: Općenito je F = grad(U( r ))

Zakon sačuvanja mehaničke energije Teorem o radu i kinetičkoj energiji: U slučaju potencijalne sile rad je: izjednačavanje daje: Ovo je zakon sačuvanja mehaničke energije.

Primjer 5: Atwood-ova naprava na kraju je m1 na visini 0, a m2 na visini h1+h2  postavimo jednadžbu sačuvanja mehaničke energije: h1 m1 m1>m2 m2 h1 h2

Primjer 5: Atwood-ova naprava  m1 = m2 daje v=0 m1 m1 >> m2 daje o m1>m2 m2 h1 h2 m1 = 2m2 daje v=0,577vo

Mehanička energija i trenje Trenje pretvara mehaničku energiju u toplinu. Taj dio energije je izgubljen i mora se odbiti u računu sačuvanja energije: Rad sile trenja najčešće se računa preko umnoška sile trenja i prijeđenog puta: Wt = Fts

Primjer 6: Zaustavna rampa Na dnu velikih nizbrdica mogu se postaviti rampe za zaustavljanje u nuždi. Vozila koja se na dnu nizbrdice ne mogu zaustaviti, mogu produžiti na takvu rampu i tako izbjeći nesreću. Rampa se izvodi kao strma uzbrdica. Treba odrediti potrebnu dužinu rampe, ako je njen nagib prema horizontali 30o, a rampa je neasfaltirana (nabijeni šljunak, koef. trenja 0,50). Maksimalna brzina vozila na dnu rampe je 40 ms-1. Kolika bi bila dužina rampe da trenja nema?

Primjer 6: Zaustavna rampa α s h

Primjer 6: Zaustavna rampa U našem slučaju nalazimo s = 86,4 m Nadalje, ako nema trenja, μ=0 pa je s = 163,1 m