Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa Građevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci Stručni specijalistički studij Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa Studenti Marijan Kurilić Goran Šebelja Ivan Musulin Ak. God. 2016. / 2017.

Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa- UVOD Statistička hipoteza - tvrdnja o veličini parametra θ ili o obliku distribucije osnovnog skupa čija se vjerodostojnost ispituje pomoću slučajnog uzorka Postupak ili pravilo kojim se donosi odluka o prihvaćanju ili neprihvaćanju tvrdnje na temelju podataka iz slučajnog uzorka naziva se testiranjem statističkih hipoteza

Testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa testiranje se provodi pomoću slučajnog uzorka veličine n članova: n > 30: veliki uzorak (z-test) n ≤ 30: mali uzorak (t-test)  

Postupci pri testiranju hipoteza 1. određivanje sadržaja nulte i alternativne hipoteze   2. određivanje izraza za testnu veličinu i izračunavanje njezine vrijednosti 3. odabir razine značajnosti i određivanje kritičnih granica koje dijele područje prihvaćanja nulte hipoteze od područja njezina odbacivanja 4. donošenje zaključka o ishodu testa

Slika 1. Tablica odlučivanja ODLUKA STVARNO STANJE U OSNOVNOM SKUPU ISTINITA H0 (NEMA razlike između dva parametra) LAŽNA H0 (POSTOJI razlika između dva parametra) Nul-hipoteza (H0) se PRIHVAĆA Ispravna odluka (nema pogreške) Pogreška tipa II β se ODBACUJE Pogreška tipa I α   Slika 1. Tablica odlučivanja

Z-test (veliki uzorak) Ako je nulta hipoteza istinita i ako uzorak ima n>30 (više od 30 članova), sampling -distribucija sredina uzorka oblika je normalne distribucije ili približnog tog oblika: N(μ0,σ2/x), bez obzira kako je raspoređen osnovni skup

μ=nepoznata aritmetička sredina osnovnog skupa TABLICA 1. – Hipoteze o pretpostavljenoj aritmetičkoj sredini osnovnog skupa i način donošenja odluka Oznake: μ=nepoznata aritmetička sredina osnovnog skupa μ0=pretpostavljena aritmetička sredina osnovnog skupa H0=nulta hipoteza H1=alternativna hipoteza

Empirijski z-omjer (test veličina) _ U navedenom izrazu : X= aritmetička sredina uzorka μ0= pretpostavljena aritmetička sredina osnovnog skupa (njezina se vrijednost mora odrediti nacrtom testa) = predočuje standardnu pogrešku ( odnosno standardnu devijaciju sampling –distribucije, i računa se na isti način kao i standardna pogreška procjene aritmetičke sredine)

Odluka se donosi alternativno, pomoću kritičnih granica (kritične granice) izraženih u mjernim jedinicama varijable Za dvosmjeran test kritične granice prihvaćanja nulte hipoteze su: c1= μ0 – zα/2 ,c2= μ0 + zα/2

Kad je riječ o jednosmjernom testu na gornju granicu (test na desnoj strani), kritična je granica c2= μ0 + zα Nulta hipoteza prihvaća se kao istinita, ako je aritmetička sredina uzorka manja od kritične vrijednosti, a odbacuje se ako je ona veća od te granice Odluka o jednosmjernom testu na donju granicu (test na lijevoj strani) donosi se pomoću granice c1= μ0 + zα Aritmetička sredina uzorka veća od donje granice upućuje na prihvaćanje nulte hipoteze, a vrijednost sredine manja od donje kritične granice na njezino odbacivanje  

t-test (mali uzorak) Testiranje hipoteze o pretpostavljenoj aritmetičkoj sredini osnovnog skupa, koji je normalno raspoređen s nepoznatom standardnom devijacijom temelji se na Studentovoj distribuciji kao sampling-distribucija sredina Polazak od nulte hipoteze kao istine, a test veličina je empirijski t-omjer , pa se obično govori o t-testu Taj je omjer Ako je nulta hipoteza istinita , test –veličina pripada t- distribuciji (Studentovoj distribuciji) s (n-1) stupnjem slobode

TABLICA 2. –prikaz oblika hipoteza i način odlučivanja

Zadatak 1. Prema standardu, prosječna trajnost električnih žarulja od 75 W iznosi 2000 sati s prosječnim odstupanjem 250 sati. Iz serija žarulja XY izabran je , uz frakciju izbora manju od 5% izabran je slučajni uzorak od 64 žarulje. Ispitivanjem je ustanovljeno da je prosječna trajnost žarulja u uzorku 1935 sati. Može li se prihvatiti petpostavka da je uzorak izabran iz osnovnog skupa kojemu je aritmetička sredina prema standardu? Testirati treba na razini signifikatnosti 5%. n=64, n>30 (veliki uzorak), test nije ograničen dvosmjeran test Hipoteze : H0…μ = 2000 H1…μ ≠ 2000 Izračunavanje testnih veličina: μ0 =2000 σ =250 f<0,05 =1935 Razine značajnosti iznosi α=0,05α/2=0,025(0,5-0,025)=0,475z0,025=1,96 (očitano u tablici PRILOG 1.)kritične su vrijednosti za prihvaćanje nulte hipoteze: <1,96,  -1,96<z<1,96   Test –veličina (empirijski z-omjer): Odluka : budući je empirijski z-omjer manji od teorijske (kritične) vrijednosti: -2,08<-1,96, pa se na danoj razini značajnosti odbacuje nulta hipoteza (H0) ,prema tome ne prihvaća se pretpostavka da je uzorak izabran iz skupa žarulja s prosječnom trajnošću 2000 sati. Alternativna odluka se donosi pomoću kritičnih granica: c1= μ0 – zα/2 =2000-1,96 31,25=1938,75 c2= μ0 + zα/2=2000+1,96 31,25=2061,25 Aritmetička sredina uzorka =1935 manja je od donje kritične granice, pa se ne prihvaća nulta hipoteza (H0).Oba načina (z-test i test pomoću kritičnih granica) dovode do iste odluke.

SLIKA 1. dvosmjeran test o pretpostavljenoj aritmetičkoj sredini osnovnog skupa

Zadatak 2. Radi povećanja produktivnosti rada strojeva tipa XZA, predložena je njihova preinaka Prema proračunima, preinaka je poslovno opravdana ako se postigne povečan broj operacija po satu i ako u prosjeku iznosi više od 120.Na jednom stroju provedena je preinaka i evidentiran je broj operacija po satu 144 mjerenja. Prosječan broj operacija po satu u provedenom ispitivanju iznosio je 125. Zbroj kvadrata vrijednosti mjerenja iznosi 2307600. Do kojeg se zaključka dolazi na temelju provedenog ispitivanja? Vjerojatnost odbacivanja istinite nulte hipoteze iznosi 5%.  

2307600 (zbroj kvadrata vrijednosti mjerenja) n= 144, n>30 (veliki uzorak), najviše odstupanje u odnosu prema prema pretpostavljenom prosječnom broju operacija po satu (μ0=120) jednosmjeran test na gornju granicu (test desne strane) 2307600 (zbroj kvadrata vrijednosti mjerenja) σ=   =20,06981 = =1,67248

Hipoteze : H0…μ 120 H1…μ 120 Izračunavanje testnih veličina: μ0 =120 = 1,67248 f<0,05 =125 Razine značajnosti iznosi α=0,05(0,5-0,05)=0,45z0,05=1,65 (očitano u tablici PRILOG 1.)kako je test jednosmjeran i uzorak velik područje je prihvaćanje nulte hipoteze: z<za  z<1,65   Odluka : budući je empirijski z-omjer veći od teorijske (kritične) vrijednosti: 2,99<1,65, pa se na danoj razini značajnosti odbacuje nulta hipoteza (H0) . Alternativna odluka se donosi pomoću kritičnih granica: c2= μ0 + zα=120+1,65 1,67248=122,76 Aritmetička sredina uzorka =125 veća je od gornje granice, pa se ne prihvaća nulta hipoteza (H0).Odstupanje aritmetičke sredine uzorka naviše značajno je, pa se prihvaća pretpostavka da je preinaka strojeva gospodarski opravdana . Postupak testiranja hipoteze (dvosmjeran test)o pretpostavljenoj aritmetičkoj sredini osnovnog skupa-na gornju granicu (veliki uzorak) dan je na slici 2.

SLIKA 2. jednosmjeran test (na gornju granicu) o pretpostavljenoj aritmetičkoj sredini osnovnog skupa

Zadatak 3. (građevinska struka) Tehničko vodstvo građevinske firme odlučilo je povećati proizvodnju betonskih blokova i nabaviti nove strojeve za izradu blokova. Pretpostavlja se da će se mjesečno raditi 300000 blokova. Pokusno praćenje proizvodnje provedeno je na 15 strojeva. Prosječna mjesečna količina izrađenih blokova u uzorku iznosila je 317543 bloka s prosječnim odstupanjem 4768 blokova. Pretpostavlja se da je proizvodnja po strojevima približno normalno distribuirana.

Zadatak 3. (građevinska struka) Kako glasi nulta, a kako alternativna hipoteza? Smatra li se uzorak malim ili velikim? Koja će se vrijednost uzeti kao testovna veličina? Zašto? Hoće li se nulta hipoteza prihvatiti ili odbaciti na razini 5% signifikantnosti?

Zadatak 3. (građevinska struka) S obzirom da je od interesa promatrati samo odstupanje ˝na više˝od pretpostavljene prosječne mjesečne količine proizvedenih blokova, ovdje valja provesti jednosmjerni test na gornju granicu (testna desna strana). Hipoteze glase: H0…..µ≤300000 H1…..µ>300000   Uzorak ima 15 članova i smatra se malim uzorkom.

Zadatak 3. (građevinska struka) Kako je riječ o malom uzorku izabranom iz približno normalnog distribuiranog osnovnog skupa s nepoznatom standardnom devijacijom, testovna veličina je empirijski t-omjer: Ako uzorak potječe iz normalne distribucije s nepoznatom aritmetičkom sredinom i nepoznatom standardnom devijacijom, tada se može pokazati da se empirijski t-omjer ravna po Studentovoj distribuciji s (n-1)-nim stupnjem slobode.

Zadatak 3. (građevinska struka) Odluka se donosi usporedbom empirijskog t-omjera s teorijskom vrijednosti Studentove distribucije. Empirijski je t- omjer 13.767, a teorijska vrijednost Studentove distribucije tα=t0.05, ss=14, t0.05=1.761 Empirijski t-omjer veći je od teorijske vrijednosti Studentove distribucije, tj. 13.767>1.761, pa se nulta hipoteza ne prihvaća. Na danoj razini signifikantnosti rezultat testa upućuje kako je opravdano prihvatiti kao vjerojatno istinitu pretpostavku da kupnja novih strojeva rezultira prosječnom mjesečnom proizvodnjom blokova više od 300000 komada.

Pitanja i odgovori za ispit 1)Kada se provodi z-test o pretpostavljenoj aritmetičkoj sredini, a kada t-test? ODGOVOR: Ako je n>30: onda je riječ o velikom testu i testu velikim uzorkom –z- test; a ako je n≤30: onda je riječ o malom testu i testu malim uzorkom- t-testu 2) Koja je razlika između nulte i alternativne hipoteze ? ODGOVOR: Sadržaj alternativne hipoteze uvijek proturiječi sadržaju nulte hipoteze.

Zaključak Svaki postupak testiranja polazi od nulte hipoteze H0 i alternativne hipoteze H1 Hipoteze H0 i H1 su uvijek proturječne Cilj testiranja je da se odbaci što više lažnih i što manje istinitih hipoteza

Literatura Šošić, I.-Primjenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2004. Franjić, I., (Bio) Statistika, skripta Nikolić B., Statistika, skripta  

Prilozi