Recursive vs. Recursively Enumerable
Languages ∑ = {a} ∑* = { λ, a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, … } Every x є 2 ∑* is a language To show: card(2 ∑*) > 0
Diagonalization I 2 ∑* = {{}, {λ}, {a}, {λ, a}, {aa}, {λ, aa}, {λ, a, aa}, {aaa}, …} {} {λ} {a} {λ a} {aa} {λ aa} {λ a aa}… λ 0 1 0 0 0 0 0 … a 0 0 1 1 0 0 0 … aa 0 0 0 0 1 1 0 … aaa 0 0 0 0 0 0 1 … aaaa 0 0 0 0 0 0 0 … … … … … … … … …
Diagonalization II 2 ∑* = {{}, {λ}, {a}, {λ, a}, {aa}, {λ, aa}, {λ, a, aa}, {aaa}, …} {} {λ} {a} {λ a} {aa} {λ aa} {λ a aa}… λ a aa aaa aaaa aaaaa aaaaaa {} 0 0 0 0 0 0 0 … {λ} 1 0 0 0 0 0 0 … {a} 0 1 0 0 0 0 0 … {λ a} 1 1 0 0 0 0 0 … {aa} 0 0 1 0 0 0 0 … {λ aa} 1 0 1 0 0 0 0 … {λ a aa} 1 1 1 0 0 0 0 … … … … … … … … …
Diagonalization III 2 ∑* = {{}, {λ}, {a}, {λ, a}, {aa}, {λ, aa}, {λ, a, aa}, {aaa}, …} {} {λ} {a} {λ a} {aa} {λ aa} {λ a aa}… L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 … w1 0 0 1 0 0 1 0 … w2 1 0 0 0 1 0 1 … w3 0 1 1 1 0 1 0 … w4 1 1 0 1 0 0 0 … w5 0 0 1 0 1 0 0 … w6 1 1 1 0 0 0 0 … w7 1 0 1 0 1 0 1 … … … … … … … … …