АКТУАРСТВО др Наташа Папић-Благојевић АКТУАРСТВО др Наташа Папић-Благојевић

Предавач: др Наташа Папић-Благојевић Консултације: среда, 11.15-13.15 h, кабинет 17, Лиман E-mail: npapic.blagojevic@gmail.com

Литература: 1. Кочовић, Ј., Митрашевић, М. и Рајић, В. (2016) Актуарска математика, Економски факултет, Београд 2. Вугделија, Д. (2008) Актуарска математика, основни концепт за наставу, Суботица http://www.ef.uns.ac.rs/Download/osiguranje_i_aktua rska_matematika/20-05- 08%20osnovni%20koncept%20za%20nastavu.pdf 3. Кочовић, Ј. (2006) Актуарске основе формирања тарифа у осигурању лица, Економски факултет, Београд 4. PowerPoint презентације

4. Формуле http://www. vps. ns. ac. rs/Materijal/mat22789. pdf 5 4. Формуле http://www.vps.ns.ac.rs/Materijal/mat22789.pdf 5. Таблице смртности http://www.vps.ns.ac.rs/Materijal/mat22790.pdf

Формирање коначне оцене   Број бодова Присуство настави 5 Активност 10 Колоквијум мин 21 макс 40 Предиспитни бодови мин 28 макс 55 Завршни испит мин 23 макс 45 Укупно мин 51 макс 100

Циљ предмета: увођење, развој и примена тема из актуарске математике које су од посебног значаја у области осигурања имовоине и лица. Исход предмета: стицање способности повезивања знања стечених из области финансија, осигурања и квантитативних метода.

Основни појмови Актуарска математика - грана примењене математике која обрађује математичке основе осигурања. Актуар – специјалиста који анализира финансијске последице ризика. Користи математичке, статистичке и финансијске методе да проучи неизвесне будуће догађаја који могу проузроковати штету коју покривају осигуравајућу компаније. Према Закону о осигурању (http://www.paragraf.rs/propisi/zakon_o_osiguranju.html ): „Овлашћени актуар је лице које је добило овлашћење Народне банке Србије за обављање актуарских послова. Услове за стицање звања овлашћеног актуара прописује Народна банка Србије.“

По Закону о осигурању Народна банка Србије је надлежна за издавање овлашћења за обављење послова овлашћеног актуара. У НБС полаже се испит за добијање лиценце овлашћеног актуара Републике Србије. Стручни испит за стицање звања овлашћеног актуара састоји се из следећих нивоа: ниво 1: основи примене актуарске математике у области осигурања, пензијских планова и инвестиција; ниво 2: модели управљања ризиком и неживотно осигурање; ниво 3: животно и здравствено осигурање; ниво 4: пензијски планови и моделирање; ниво 5: инвестиције и финансијско извештавање.

Одговорности актуара: Позиција овлашћеног актуара у компанији је дефинисана на следећи начин: „Овлашћени актуар независан је и самосталан у вршењу послова. Овлашћени актуар дужан је да обавља своју делатност у складу са законом и правилима актуарске струке, добрим пословним обичајима и пословном етиком.“ Одговорности актуара: • припрема података и прорачуна за мишљење о финансијским извештајима; • анализа статистичких података; • математичка обрада података; • предвиђање финансијских кретања; • пројектовање развоја нових производа; • учешће у програму актуарске едукације органа надзора; • праћење законских и других прописа из области актуарства.

Удружење актуара Србије - основано 31. 01. 2002. године http://www Удружење актуара Србије - основано 31.01.2002. године http://www.aktuar.rs УАС је примљено 2007. године у Међународно удружење акутара (International Actuarial Association)

АКТУАРСКЕ ОСНОВЕ ОСИГУРАЊА Актуарска математика личног осигурања - обрачун тарифа животног осигурања. Актуарска математика имовинског осигурања - обрачун тарифа имовинског осигурања. Рачуни актуарске математике зависе од старости лица. Рачуни финансијске математике су независни од живота и старости лица.

Закон великих бројева ЗВБ је основни закон у теорији вероватноће и статистици. Уколико се посматра велики број случајева, уочавају се одређене правилности у наступању једног догађаја. Законитост се испољава само у маси случајева и није видљива код појединачних јединица од којих је маса састављена, нити делује код малих група.

Деловање Закона великих бројева најбоље илуструју примери из експеримената који су вршени у сврху проучавања везаних за овај закон. Пример 1. Вршени су експерименти бацања новчића и праћења појаве грба на горњој страни, при сваком бацању. Резултате експеримента показује следећа табела: Истраживач Број бацања Појава грба Релативна учесталост Буфон 4.040 2.048 0,50693=50,963% К.Пирсон 12.000 6.019 0,50158=50,158% 24.000 12.012 0,5005=50,05% Број појављивања грба тежи ка ½=50%

Пример 2. Вршени су експерименти бацања коцкице и праћења појаве броја 1 на горњој страни, при сваком бацању. Резултате експеримента показује следећа табела: Број бацања Бр.појављивана броја 1 Релативна учесталост 50 5 0,1=10% 100 13 0,13=13% 500 88 0,176=17,6% 1.000 159 0,159=15,9% 5.000 822 0,1644=16,44% Број појављивања броја 1 тежи ка 1/6=0,16≈16,67%

Значај ЗВБ у осигурању За осигуравача не постоји неизвесност за укупан број покривених ризика него правилност и законитост. Са већим бројем осигураних предмета у маси је већа могућност тачнијег предвиђања будућих осигураних случајева, а тиме и будућих обавеза, на основу чега се одређују средства за њихово покриће.

Теорија вероватноће Теорија вероватноће представља математичко-статистичку основу савременог осигурања, а заједно са ЗВБ је одиграла кључну улогу у развоју модерног осигурања. Несрећни случајеви се више не сматрају судбински предоређеним и непредвидивим, већ се на њих гледа као на појаве које се могу предвиђати. Степен вероватноће настајања осигураног случаја је елеменат који одређује цену ризика.

Догађај- дефинише се као резултат неког експеримента или опсервације. Ω - скуп могућих исхода ωi (i =1,…n) - елементарни догађаји, елементи скупа Ω Случајни догађаји - догађаји који могу, а не морају настати у датом експерименту (А, B, C, ....) А   Сигурни догађаји - догађаји који морају настати у датом експерименту. Немогући догађаји - догађаји који се не могу реализовати у датом експерименту. Израчунавање вероватноће наступања штетних догађаја у осигурању је основа за одређивање премија осигурања.

Класична дефиниција вероватноће Своди појам вероватноће на појам једнако могућих догађаја, који се сматра основним појмом. 𝑃 𝐴 = 𝑚 𝑛 m – број повољних реализација догађаја А n – број могућих резултата неког експеримента

Основне особине класичне вероватноће: 𝑷 𝑨 ≥𝟎, вероватноћа било ког догађаја је ненегативан број, па разломак 𝑚 𝑛 никада не може бити негативна вредност. 𝑷 𝑨 =𝟎, ако је m= 0, догађај је немогућ. 𝑷 𝑨 =𝟏, ако је догађај А поуздан, тада је m= n. Вредност класичне вероватноће налази се у границама: 𝟎≤𝑷 𝑨 ≤𝟏 Вероватноћа супротног догађаја 𝑃 𝐴 , чита се нон А, једнака је: 𝑷 𝑨 =𝟏−𝑷 𝑨 =𝟏− 𝒎 𝒏

Вероватноћа више догађаја Појам вероватноће више догађаја обухвата разне начине израчунавања вероватноће дешавања више догађаја у скупу могућих догађаја. Догађаји могу да буду међусобно зависни или независни. Могуће је и да се међусобно искључују, дешавају истовремено или један после другог.

У ову групу вероватноћа сврставају се: Условна вероватноћа Збирна вероватноћа Тотална вероватноћа Сложена вероватноћа Бајесова вероватноћа

Условна вероватноћа У пракси се често јавља проблем одређивања вероватноће догађаја А, под условом да се реализовао догађај В. Такве вероватноће називамо условним вероватноћама и обележавамо их са Р(А/В), а читамо: вероватноћа догађаја А, под условом да се реализовао догађај В.

Дефиниција. Ако су А и В догађаји, условна вероватноћа се дефинише са:

Р(АВ) = Р(ВА)= Р(А) Р(ВА) = Р(В) Р(АВ) Дефиниција. Нека су А и В два догађаја. Вероватноћа производа (или пресека) два догађаја може се добити помоћу условних вероватноћа: Р(АВ) = Р(ВА)= Р(А) Р(ВА) = Р(В) Р(АВ) Ова релација је позната као правило или закон множења вероватноћа и може се проширити и на више од два догађаја.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) Збирна вероватноћа Вероватноћа збира два догађаја А и В једнака је збиру вероватноћа тих догађаја, умањеном за вероватноћу њиховог заједничког јављања. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Статистичка независност догађаја Jедан од основних појмова теорије вероватноће и математичке статистике јесте стохастичка или статистичка независност. Дефиниција. Ако су А и В два догађаја, за ове догађаје се каже да су статистички независни ако и само ако је вероватноћа њиховог производа једнака производу њихових вероватноћа: Р(АВ) = Р(А)Р(В)

Бајесова теорема Бајесова формула. Ако су А1,А2,...,Аn, међусобно искључиви догађаји и ако је В неки други догађај, Бајесова теорема гласи:  

На основу формуле потпуне вероватноће: именилац се може проширити, па се добија:

Пример 1: Продавница набавља производе од три произвођача и то: од произвођача 1 набавља 20% производа, од произвођача 2 35% производа, а од произвођача 3 - 45% производа. Код произвођача 1 се појављује 2% шкарта, код произвођача 2 - 1,5% шкарта, а код произвођача 3 - 1% шкарта. а) Колика је вероватноћа да ће случајно изабрани производ бити шкарт? б) Ако је изабрани производ шкарт, колика је вероватноћа да је набављен од произвођача 1, 2 и 3?

Пример 2: Производе у једној фабрици контролишу три контролора. Вероватноћа да ће производ задовољити стандарде код контролора износе редом: 0,88 – контролор 1; 0,92 – контролор 2; и 0,95 – контролор 3. а) Израчунати вероватноћу да је производ задовољио стандарде. б) Уколико је установљено да један производ није задовољио стандарде, колика је вероватноћа да га је контролисао контролор 3?

Литература: Вугделија, Д. (2008) Актуарска математика, основни концепт за наставу, Суботица. Ивковић, З. (1992) Математичка статистика, Научна књига, Београд. Кочовић, Ј. (2006) Актуарске основе формирања тарифа у осигурању лица, ЦИД Економског факултета у Београду. Рачић, С. и Савковић, М. (2004) Статистика, Виша пословна школа, Нови Сад. Рашета, Ј. (2008) Финансијска и актуарска математика, Универзитет Сингидунум, Београд. Шекарић М. и Барјактаровић, Л. (2010) Финансијска математика и актуарство, скрипта, Универзитет Сингидунум, Београд.

Закон о осигурању „Службени гласник РС http://www.paragraf.rs/propisi/zakon_o_osiguranju.ht ml http://www.aktuar.rs http://www.nbs.rs