Stabilnost konstrukcija Prof. dr Ratko SALATIĆ Poglavlja 1-3 Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2016/17 godina

STABILNOST KONSTRUKCIJA Sadržaj poglavlja 1 UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA STABILNOST ŠTAPA METOD POČETNIH PARAMETARA INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK STABILNOST LINIJSKIH SISTEMA NOSAČA BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA STABILNOST TANKIH PLOČA POSTKRITIČNO PONAŠANJE LIMENIH NOSAČA STABILNOST LJUSKI

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA O stabilnosti konstrukcija

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA O stabilnosti konstrukcija  Proračun vitkih elemenata konstrukcije pri značajnim aksijalnim opterećenjima zahteva nelinearnu teoriju.  Princip superpozicije uticaja opterećenja u nelinearnoj teoriji se ne može primeniti.

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA O stabilnosti konstrukcija Jednačine teorije štapa veze između unutrašnjih i spoljašnjih sila veze između deformacija i pomeranja veze između unutrašnjih sila i deformacija Linearna analiza konstrukcija statička linearnost geometrijska linearnost materijalna linearnost

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA O stabilnosti konstrukcija Nelinearna analiza konstrukcija statička nelinearnost (velika pomeranja) geometrijska nelinearnost (velike deformacije) materijalna nelinearnost (nelinearna "σ-ε" veza) U geometrijski nelinearnoj analizi konstrukcija važe: nelinearne veze između deformacija i pomeranja nelinearne veze između unutrašnjih i spoljašnjih sila

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA O stabilnosti konstrukcija Nelinearni modeli mogu zasnovani na: opštoj geometrijski nelinearnoj teoriji geometrijski nelinearnoj teoriji (teorija II reda) linearizovanoj teoriji II reda P-Δ postupku

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA O stabilnosti konstrukcija

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA Savremeni proračun građevinskih konstrukcija Kriterijum čvrstoće − Provera da li je stvarni napon manji od dozvoljenog. Kriterijum upotrebljivosti − Provera da li su maksimalne deformacione veličine manje od dopuštenih (granično stanje deformacija, granično stanje upotrebljivosti). Kriterijum trajnosti − Provera da li objekat kao celina ima potrebnu trajnost. Trajnost se vezuje za kvalitet i pouzdanost konstrukcije. Kriterijum stabilnosti − Provera lokalne i globalne stabilnosti konstrukcije. Utvrđuje se uspostavljanjem odnosa između kritičnih i stvarnih opterećenja. Kritična opterećenja određuju granična stanja stabilnosti.  Granična stanja stabilnosti se javljaju trenutno i bez najave.

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA Pojam stabilnosti konstrukcija STABILNOST KONSTRUKCIJE je sposobnost konstrukcije da očuva svoj prvobitni položaj i prvobitnu formu ravnoteže pri deformaciji, koja odgovara zadatom opterećenju, usled malih dodatnih poremećaja. Prelaz konstrukcije iz stabilnog u nestabilno stanje naziva se gubitak stabilnosti. Kritično stanje konstrukcije predstavlja granično stanje pri prelazu konstrukcije iz stabilnog u nestabilno stanje. Odgovarajuće opterećenje, koje izaziva kritično stanje konstrukcija, predstavlja kritično opterećenje.

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA Stabilnost položaja konstrukcije

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA Stabilnost položaja konstrukcije  Energija položaja tela je minimalna kod stabilnog položaja, maksimalna kod nestabilnog položaja tela i konstantna kod indiferentnog položaja tela. Konzervativni elastični sistem je u stanju stabilne ravnoteže ako, i samo ako, potencijalna energija ima relativan minimum.

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA Stabilnost forme ravnoteže FORMU RAVNOTEŽE definiše sistem sila u konstrukciji koji je u ravnoteži i određen je brojem sila, pravcem i smerom svih sila.

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA Linearna stabilnost, Bifurkaciona stabilnost LINEARNA STABILNOST − definiše se homogenim jednačinama linearizovane teorije drugog reda, odnosno u formi konturnog svojstvenog problema, čijim rešenjem se dobija kritično opterećenje, odnosno najmanja vrednost aksijalne sile pritiska pri kojoj sistem gubi stabilan položaj, odnosno formu ravnoteže. NELINEARNA STABILNOST − određuje kritično opterećenje kao opterećenje pri kojem je tangentna matrica krutosti singularna. U analizi se primenjuje inkrementalno iterativni postupak, koji se zasniva na istoriji odgovora sistema tokom deformacije.

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA Linearna stabilnost, Bifurkaciona stabilnost Usvajaju se pretpostavke o idealnom sistemu: štapovi su idealno pravi aksijalne sile su idealno centrične

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA Linearna stabilnost, Imperfekcija

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA Matematička formulacija bifurkacione stabilnosti  Problem bifurkacione stabilnosti je matematički definisan svojstvenim problemom.

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA Metode određivanja kritičnog opterećenja DIREKTNA METODA: Uslovi ravnoteže se postavljaju na novom pretpostavljenom položaju ravnoteže. Za kontinualni sistem postavljaju se diferencijalne jednačine ravnoteže, a za diskretni sistem postavljaju se algebarske jednačine ravnoteže. Postupak sa diferencijalnim jednačinama Postupak sa algebarskim jednačinama

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA Metode određivanja kritičnog opterećenja ENERGETSKA METODA: Posle izvođenja sistema u blisko deformisano susedno stanje, izjednačuje se rad spoljašnjih sila sa prirastom potencijalne energije sistema, odnosno sa negativnim radom unutrašnjih sila. Kritična sila se određuje iz stava o stacionarnosti potencijalne energije.

UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA Metode određivanja kritičnog opterećenja

STABILNOST KONSTRUKCIJA Stabilnost štapa UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA STABILNOST ŠTAPA METOD POČETNIH PARAMETARA INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK STABILNOST LINIJSKIH SISTEMA NOSAČA BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA STABILNOST TANKIH PLOČA POSTKRITIČNO PONAŠANJE LIMENIH NOSAČA STABILNOST LJUSKI 2

STABILNOST ŠTAPA Teorije linijskih nosača TEORIJA I REDA (LINEARNA TEORIJA) – primenjuje se pri proračunu konstrukcija kod kojih su pomeranja i deformacije male veličine (masivne konstrukcije). TEORIJA II REDA – primenjuje se pri proračunu konstrukcija, kod kojih su male veličine deformacija (vitke konstrukcije). (Linearizovana teorija II reda) TEORIJA KONAČNIH DEFORMACIJA – primenjuje se kad se traži odgovor konstrukcije na dejstvo opterećenja većeg od kritičnog opterećenja, određenog po teoriji drugog reda.

STABILNOST ŠTAPA Teorije linijskih nosača - Pretpostavke RAVAN ŠTAP – Jedna od glavnih osa inercije poprečnog preseka štapa leži zajedno sa osom štapa u jednoj ravni, ravni štapa. RAVNA DEFORMACIJA ŠTAPA – Pomeranja tačaka štapa su u ravni koje su paralelne ravni štapa. KONZERVATIVNO OPTEREĆENJE – Opterećenje čiji rad pri deformaciji ne zavisi od putanje napadnih tačaka sila, već samo od početnog i krajnjeg položaja tih tačaka. „MRTVO OPTEREĆENJE“ – Konzervativno opterećenje koje pri deformaciji ne menja ni pravac ni intenzitet, pa se može smatrati da je opterećenje zadato po jedinici nedeformisanog štapa.

STABILNOST ŠTAPA Teorije linijskih nosača - Pretpostavke FIZIČKA LINEARNOST PROBLEMA – veze između napona i deformacija su linearne tj. važi Hook-ov zakon. LINEARNA RASPODELA TEMPERATURE – Temperatura se linearno menja po visini preseka, da bi deformacija usled temperature bila afina sa deformacijom usled opterećenja. MALE DEFORMACIJE (GEOMETRIJSKA LINEARNOST PROBLEMA) – Deformacije su male veličine, pa se mogu zanemariti kvadrati i viši stepeni deformacijskih veličina, kao i kvadrati i viši stepeni njihovih izvoda. Posledica pretpostavke je da su veze između pomeranja i deformacija linearne.

STABILNOST ŠTAPA Teorije linijskih nosača - Pretpostavke MALA POMERANJA (STATIČKA LINEARNOST PROBLEMA) – Pomeranja su male veličine, pa se mogu zanemariti kvadrati i viši stepeni pomeranja, kao i kvadrati i viši stepeni njihovih izvoda. Posledica pretpostavke je da se uslovi ravnoteže mogu postaviti na nedeformisanom štapu. LINEARIZOVANA TEORIJA DRUGOG REDA – Proizvod statičke i deformacijske veličine po Teoriji II reda približno je jednak je proizvodu istih nepoznatih, gde je statički nepoznata određena po Teoriji I reda. ŠTAP PRAV PRE DEFORMACIJE ZANEMARUJE SE UTICAJ TRANSVERZALNIH SILA NA DEFORMACIJU – Klizanje preseka štapa je jednako nuli.

STABILNOST ŠTAPA Teorije linijskih nosača - Pretpostavke Teorija štapa Važe pretpostavke Teorija velikih (konačnih) deformacija A - Teorija II reda B Linearizovana teorija II reda D Teorija I reda C A - pretpostavka o linearno - elastičnom ponašanju materijala B - pretpostavka o malim deformacijama C - pretpostavka o malim pomeranjima D - pretpostavka linearizacije teorije drugog reda

STABILNOST ŠTAPA Osnovne jednačine tehničke teorije štapa NEPOZNATE VELIČINE u teoriji štapa: tri statičke veličine: N, T, M dva translatorna pomeranja i obrtanje ose stapa: u, v, φ tri deformacijske veličine: ε, κ, φT

veze između pomeranja i deformacija (1,2,3) STABILNOST ŠTAPA Osnovne jednačine tehničke teorije štapa veze između pomeranja i deformacija (1,2,3)

uslovi ravnoteže elementa štapa (4,5,6) STABILNOST ŠTAPA Osnovne jednačine tehničke teorije štapa uslovi ravnoteže elementa štapa (4,5,6)

uz pretpostavku "mrtvog opterećenja"uslovi STABILNOST ŠTAPA Osnovne jednačine tehničke teorije štapa uz pretpostavku "mrtvog opterećenja"uslovi

STABILNOST ŠTAPA Osnovne jednačine tehničke teorije štapa veze između deformacijskih veličina, temperaturnih promena i sila u preseku (7,8,9)

STABILNOST ŠTAPA Osnovne jednačine tehničke teorije štapa TEORIJA DRUGOG REDA

STABILNOST ŠTAPA Osnovne jednačine tehničke teorije štapa TEORIJA DRUGOG REDA

LINEARIZOVANA TEORIJA DRUGOG REDA STABILNOST ŠTAPA Osnovne jednačine tehničke teorije štapa LINEARIZOVANA TEORIJA DRUGOG REDA

STABILNOST ŠTAPA Diferencijalna jednačina štapa po teoriji II reda PROIZVOLJNI PRAV ŠTAP

PRAV ŠTAP SA USVOJENIM PRETPOSTAVKAMA STABILNOST ŠTAPA Diferencijalna jednačina štapa po teoriji II reda PRAV ŠTAP SA USVOJENIM PRETPOSTAVKAMA

DIFERENCIJALNA JEDNAČINA PRAVOG ŠTAPA ... STABILNOST ŠTAPA Diferencijalna jednačina štapa po teoriji II reda DIFERENCIJALNA JEDNAČINA PRAVOG ŠTAPA ...

STABILNOST KONSTRUKCIJA Sadržaj poglavlja UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA STABILNOST ŠTAPA METOD POČETNIH PARAMETARA INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK STABILNOST LINIJSKIH SISTEMA NOSAČA BOČNO TORZIONO IZVIJANJE NOSAČA STABILNOST TANKIH PLOČA POSTKRITIČNO PONAŠANJE LIMENIH NOSAČA STABILNOST LJUSKI 3

METOD POČETNIH PARAMETARA Pritisnut štap ZAMENA INTEGRACIONIH KONSTANTI

METOD POČETNIH PARAMETARA Pritisnut štap JEDNAČINE METODE

METOD POČETNIH PARAMETARA Pritisnut štap PARTIKULANO REŠENJE, OPTEREĆENJE NA ŠTAPU

METOD POČETNIH PARAMETARA Zategnut štap PRIMENA REŠENJA ZA PRITISNUT ŠTAP

METOD POČETNIH PARAMETARA Primena na slučaj prekidnog opterećenja PRIMENA REŠENJA ZA PRITISNUT ŠTAP

METOD POČETNIH PARAMETARA Primena na slučaj prekidnog opterećenja PRIMENA REŠENJA ZA PRITISNUT ŠTAP

METOD POČETNIH PARAMETARA Primeri ŠTAP SA PREKIDNIM OPTEREĆENJEM

METOD POČETNIH PARAMETARA Primeri ELASTIČNO OSLONJEN ŠTAP

METOD POČETNIH PARAMETARA Euler-ovi slučajevi izvijanja PRVI EULER-OV SLUČAJ – UKLJEŠTEN ŠTAP =0 =0 =0 →

METOD POČETNIH PARAMETARA Euler-ovi slučajevi izvijanja PRVI EULER-OV SLUČAJ – UKLJEŠTEN ŠTAP

METOD POČETNIH PARAMETARA Euler-ovi slučajevi izvijanja DRUGI EULER-OV SLUČAJ – SLOBODNO OSLONJEN ŠTAP =0 =0 =0 =0

METOD POČETNIH PARAMETARA Euler-ovi slučajevi izvijanja DRUGI EULER-OV SLUČAJ – SLOBODNO OSLONJEN ŠTAP

METOD POČETNIH PARAMETARA Euler-ovi slučajevi izvijanja TREĆI EULER-OV SLUČAJ – UKLJEŠTEN, SLOBODNO OSLONJEN

METOD POČETNIH PARAMETARA Euler-ovi slučajevi izvijanja TREĆI EULER-OV SLUČAJ – UKLJEŠTEN, SLOBODNO OSLONJEN

METOD POČETNIH PARAMETARA Euler-ovi slučajevi izvijanja ČETVRTI EULER-OV SLUČAJ – OBOSTRANO UKLJEŠTEN ŠTAP

METOD POČETNIH PARAMETARA Euler-ovi slučajevi izvijanja ČETVRTI EULER-OV SLUČAJ – OBOSTRANO UKLJEŠTEN ŠTAP

METOD POČETNIH PARAMETARA Efektivna dužina izvijanja DEFINICIJA Efektivna dužina izvijanja štapa je po definiciji dužina fiktivnog štapa zglobno oslonjenog na krajevima, koji ima istu kritičnu silu, kao i realni štap sa proizvoljno definisanim uslovima oslanjanja. Za efektivnu dužinu izvijanja štapa takođe se može reći da predstavlja odstojanje između tačaka infleksije štapa pri izvijanju.

METOD POČETNIH PARAMETARA Efektivna dužina izvijanja PRIMENA

METOD POČETNIH PARAMETARA Momenti na krajevina štapa OBOSTRANO UKLJEŠTEN ŠTAP

METOD POČETNIH PARAMETARA Princip superpozicije USLOV PRIMENE SUPERPOZICIJE Princip superpozicije uticaja opterećenja u teoriji drugog reda može se primeniti samo na poprečno opterećenje štapa pri konstatnom aksijalnom opterećenju. 