ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Democritus University of Thrace Department of Production Engineering & Management ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ Η. ΣΠΑΡΤΑΛΗΣ ΚΤΙΡΙΟ I, PROKAT ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ, Β. ΣΟΦΙΑΣ 12, 67132 ΞΑΝΘΗ e-mail: sspart@pme.duth.gr Tηλ.: 2541079341, 2541022711 Fax: 2541022711

Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Γενική μορφή δ.ε. τάξης ανώτερης της πρώτης F(x,y,y΄,y΄΄ ,…,y(η)) = 0 Παράδειγμα: Διαφορική εξίσωση 3ης τάξης x3y΄΄΄- 4x2y΄΄+ 8xy΄-8y = 4lnx (x>0) F(x,y,y΄,y΄΄ ,y΄΄΄) = 0 Η πιο απλή μορφή της παραπάνω έκφρασης είναι y(n)=f(x), n2 δηλαδή, λείπουν τα y,y΄,y΄΄,…,y(n-1)

και συνεπώς η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται 1. Η πιο απλή μορφή δ.ε. τάξης ανώτερης της πρώτης είναι η y(n)=f(x), n2 όπου, και d/dx είναι ο τελεστής της παραγώγισης που συμβολίζεται επίσης με D=d/dx, δηλαδή, και συνεπώς η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται

Επίλυση της y(n)=f(x), n2. λύνεται με την εφαρμογή η-διαδοχικών ολοκληρώσεων Γενική λύση: Πιο αναλυτικά: Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη της ισότητας και έχουμε

συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία παίρνουμε

ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. y(3)=συνx Λύση:

Γενική λύση της δ.ε.

2. Διαφορικές εξισώσεις στις οποίες λείπει το y Είναι της μορφής F(x,y΄,y΄΄ ,…,y(η)) = 0 (I) Επίλυση: Θέτουμε y΄=z, τότε y΄΄=z΄, y΄΄΄=z΄΄,    y(n-1)=z(n-2) , y(n)=z(n-1) και η (Ι) γίνεται F(x,z,z΄,z΄΄ ,…,z(η-1)) = 0 που είναι μια δ.ε. (η-1)-τάξης ως προς z

F(x,y(k),y(k+1) ,…,y(η)) = 0 (II) 3. Διαφορικές εξισώσεις στις οποίες λείπoυν τα y,y΄,y΄΄,…,y(k-1), k<n Είναι της μορφής F(x,y(k),y(k+1) ,…,y(η)) = 0 (II) Επίλυση: Θέτουμε y(k)=z, τότε y (k+1)=z΄, y (k+2)=z΄΄,    y(n-1)=z(n-k+1) , y(n)=z(n-k) και η (ΙI) γίνεται F(x,z,z΄,z΄΄ ,…,z(η-k)) = 0 που είναι μια δ.ε. (η-k)-τάξης ως προς z

Γραμμική 1ης τάξης, z΄+P(x)z=R(x), με P(x)=1/x και R(x)=lnx/x ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. xy΄΄ + y΄ = lnx, x>0. Λύση: Παρατηρούμε ότι xy΄΄ + y΄ = lnx  xy΄΄ + y΄- lnx=0  F(x,y΄,y΄΄)=0 Είναι μια δ.ε. 2ης τάξης στην οποία λείπει το λείπει το y! Θέτουμε y΄= z y΄΄ = z΄ και η δ.ε. γίνεται Γραμμική 1ης τάξης, z΄+P(x)z=R(x), με P(x)=1/x και R(x)=lnx/x

Γενική λύση

Επομένως, έχουμε Γενική Λύση

Γραμμική 1ης τάξης, z΄+P(x)z=R(x), με P(x)=1 και R(x)=x2 ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. y΄΄΄ + y΄΄ = x2. Λύση: Παρατηρούμε ότι y΄΄΄ + y΄΄ = x2  y΄΄΄ + y΄΄ - x2=0  F(x,y΄΄,y΄΄΄)=0 Είναι μια δ.ε. 3ης τάξης στην οποία λείπουν τα y,y΄ ! Θέτουμε y΄΄= z y΄΄΄ = z΄ και η δ.ε. γίνεται Γραμμική 1ης τάξης, z΄+P(x)z=R(x), με P(x)=1 και R(x)=x2

Γενική λύση Επιπλέον, και συνεπώς,

Αντίστροφα,

Γενική Λύση

4. Διαφορικές εξισώσεις στις οποίες λείπει το x Είναι της μορφής F(y,y΄,y΄΄,y΄΄΄,…,y(η)) = 0 (IΙI) Επίλυση: Θέτουμε y΄=z, τότε δηλαδή, η παράγωγος 2ης τάξης της y είναι συνάρτηση του z και της παραγώγου 1ης τάξης του z ως προς y

Υπολογίζουμε την παράγωγο 3ης τάξης του y Παραγωγίζουμε ως προς x την σύνθετη συνάρτηση (dz/dx) των x,y Παραγωγίζουμε ως προς x την σύνθετη συνάρτηση z των x και y

τελικά, δηλαδή, η παράγωγος 3ης τάξης της y είναι συνάρτηση του z, της παραγώγου 2ης τάξης του z ως προς y και της παραγώγου 1ης τάξης του z ως προς y Συμπέρασμα: η παράγωγος 3ης τάξης της y εκφράζεται συναρτήσει των παραγώγων του z ως προς y κατά μια τάξη μικρότερη !!  συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία καταλήγουμε στην μορφή, G(y,z,z΄,z΄΄ ,…,z(n-1))=0 της οποίας η τάξη είναι κατά μονάδα μικρότερη της τάξης της αρχικής δ.ε.

ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. y(y-1)y΄΄ + (y΄)2 = 0. Λύση: Παρατηρούμε ότι y(y-1)y΄΄ + (y΄)2 = 0  F(y,y΄,y΄΄)=0 Είναι μια δ.ε. 2ης τάξης στην οποία λείπει το x ! Θέτουμε, y΄= z, όπου η z είναι σύνθετη συνάρτηση των x και y και η παράγωγος 2ης τάξης της y γίνεται: Η δ.ε. γίνεται, Υποθέτουμε ότι z0, δηλαδή, dy/dx  0, δηλαδή, yc, όπου cR. Πράγματι, αν y=c, τότε y΄=0=y΄΄ και η δ.ε. δεν έχει νόημα!

Η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται, Υποθέσαμε πάλι ότι y(1-y)z0, διότι αν y=0 ή y=1, τότε η δ.ε. δεν έχει νόημα! Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη και έχουμε,

και η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται, Υποθέτουμε ότι z(1-y/y)>0 Γενική λύση της δ.ε.

Διερεύνηση : z(1-y/y) >0

5. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις Μία διαφορική εξίσωση τάξης ανώτερης της πρώτης F(x,y,y΄,y΄΄,…,y(n))=0 (Ι) λέγεται ομογενής ως προς y,y΄,…y(n) αν ικανοποιείται η σχέση: F(x,λy,λy΄,λy΄΄,…,λy(n))=λμF(x,y,y΄,y΄΄,…,y(n)) Τότε, η δ.ε. (Ι) παίρνει την μορφή και για να την επιλύσουμε θέτουμε τότε, Παραγωγίζοντας στη συνέχεια την πρώτη παράγωγο έχουμε:

με όμοιο τρόπο έχουμε, κ.λ.π. τότε, δηλαδή, προκύπτει μια δ.ε. της οποίας η τάξη είναι κατά μονάδα μικρότερη της τάξης της αρχικής και συνεπώς η επίλυσή της είναι ευκολότερη!

F(x,y,y΄,y΄΄)= xyy΄΄ - x(y΄)2 –yy΄ και επιπλέον Λύση: Παρατηρούμε ότι F(x,y,y΄,y΄΄)= xyy΄΄ - x(y΄)2 –yy΄ και επιπλέον F(x,λy,λy΄,λy΄΄)=x(λy)(λy΄΄)-x(λy΄)2-(λy)(λy΄)= =λ2 [(x yy΄΄)-x(y΄)2-yy΄]= λ2 F(x,y,y΄,y΄΄) και συνεπώς η δ.ε. είναι μια ομογενής δ.ε. 2ης τάξης ως προς y,y΄,y΄΄ Υποθέτοντας ότι προφανώς ισχύει y0, διαιρούμε τα μέλη της δ.ε. με y2 , δηλαδή, Θέτουμε,

χωριζόμενων μεταβλητών τότε, σύμφωνα με τα παραπάνω και η δ.ε. μετασχηματίζεται ως εξής: Στη συνέχεια θέτουμε, χωριζόμενων μεταβλητών

αντίστροφα, επιπλέον, γενική λύση

6. Τέλειες διαφορικές εξισώσεις Μία διαφορική εξίσωση τάξης ανώτερης της πρώτης F(x,y,y΄,y΄΄,…,y(n))=0 (Ι) λέγεται τέλεια αν υπάρχει μια διαφορική εξίσωση (η-1)-τάξης F1(x,y,y΄,y΄΄,…,y(n-1)) = c1, c1R τέτοια ώστε Η διαφορική εξίσωση F1(x,y,y΄,y΄΄,…,y(n-1)) = c1, λέγεται πρώτη λύση ή πρώτο ολοκλήρωμα της (Ι) και αποτελεί μια δ.ε. (η-1)-τάξης, δηλαδή, κατά μονάδα μικρότερη της τάξης της αρχικής δ.ε. Συνεπώς, τα πρώτα ολοκληρώματα βοηθούν στην επίλυση της δ.ε. αφού η δ.ε. ανάγεται σε μια εξίσωση τάξης κατά μονάδα μικρότερης της τάξης της αρχικής.

ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. 2yy΄΄΄+ 6y΄΄y΄ = -(1/x2), x>0. Λύση: Παρατηρούμε ότι F(x,y,y΄,y΄΄,y΄΄΄)= 2yy΄΄΄ + 6y΄΄y΄ + (1/x2) =0 (1) και συνεπώς η δ.ε. είναι 3ης τάξης. Επιπλέον, (2yy΄΄)΄ = 2yy΄΄΄ + 2y΄y΄΄ και συνεπώς η (1) γίνεται (2yy΄΄)΄+ 4y΄y΄΄ + (1/x2) =0 (2) Στη συνέχεια, επειδή 2[(y΄)2]΄= 4y΄y΄΄ η (2) μετασχηματίζεται ως εξής (2yy΄΄)΄+ 2[(y΄)2]΄+ (1/x2) =0 (3) και επειδή (x-1)΄ = -x-2 η εξίσωση (3) παίρνει την μορφή (2yy΄΄)΄+ 2[(y΄)2]΄- (x-1)΄ =0  [(2yy΄΄)+ 2[(y΄)2 - (x-1)]΄ =0 (4) Δηλαδή, dF1 /dx = F, όπου F1(x,y,y΄,y΄΄) = (2yy΄΄)+ 2[(y΄)2 - (x-1) και συνεπώς η (1) είναι μια τέλεια δ.ε. της οποίας η πρώτη λύση είναι η δ.ε. (3). Από την (4) προκύπτει ότι, [(2yy΄΄)+ 2[(y΄)2]΄= (x-1)΄ 

Με όμοιο τρόπο, παρατηρούμε ότι, Η οποία αποτελεί επίσης μια τέλεια δ.ε. διότι η (6) είναι μια τέλεια δ.ε. με πρώτη λύση την