Úvod do pravdepodobnosti 1 5 6 Úvod do pravdepodobnosti Mgr. Ján Brandobur OA Vranov nad Topľou

odhad žiaka, či bude dnes odpovedať Odhad, či bude pekné počasie Pravdepodobnosť – v bežnom živote – odhad niečoho, o čom nie sme si celkom istí Napríklad: odhad žiaka, či bude dnes odpovedať Odhad, či bude pekné počasie Či pri hode hracou kockou padne 6 1 5 6

Pokus - tvrdenie o výsledku náhodného pokusu Náhodný pokus – pokus, ktorého výsledok sa od jedného pokusu k druhému mení Náhodný jav – tvrdenie o výsledku náhodného pokusu Výsledok náhodného pokusu závisí od podmienok, ktoré pri pokuse dodržiavame náhody

Početnosť javu absolútna - 3, 8, 5, ... relatívna – 3/100, 8/100, 5/100, ...

Pravdepodobnosť náhodného javu A - číselné vyjádrenie očekávania, že výsledkom náhodného pokusu bude práve A pri velkém počte opakovania pokusov se relatívna početnosť javu blíží k jeho pravdepodobnosti Príklad.: Hádzaním kockou zistíte pravdepodobnosť hodenia čísla 6 Počet pokusov : 500 Počet hodov 1 2 3.........100.......... 300..........500 Počet hodení 6 0 0 0 11/100 41/300 83/500 0,11 0,13 0,16 =1/6

Teória pravdepodobnosti - sa zaoberá len s takými náhodnými udalosťami, ktoré sa vyskytujú s určitou pravidelnosťou. Náhodné udalosti budeme označovať veľkými písmenami A, B, C ..., a budeme s nimi vykonávať operácie ako s množinami. V počte pravdepodobnosti sa študujú pokusy, ktoré sú: Hromadné – možno ich mnohokrát opakovať Náhodné – výsledky pokusu sa menia a nemožno ich vopred jednoznačne určiť Majú pravdivostný charakter – každému výsledku pokusu môžeme priradiť určité číslo vyjadrujúce jeho pravdepodobnosť

Teória pravdepodobnosti - sa zaoberá len s takými náhodnými udalosťami, ktoré sa vyskytujú s určitou pravidelnosťou. Náhodné udalosti budeme označovať veľkými písmenami A, B, C ..., a budeme s nimi vykonávať operácie ako s množinami. Podudalosť Náhodná udalosť A je podudalosťou (špeciálnym prípadom) udalosti B vtedy, keď platí, že ak nastane udalosť A, tak nastane aj udalosť B a zapisujeme : A ⊂ B. A Príklad: A: Pri hode kockou padne 2 B: Pri hode kockou padne párne číslo B

Ω: Pri hode kockou padne prirodzené číslo od 1 až 6  Istá udalosť Udalosť, ktorá po realizácii pokusu vždy nastane, je istá udalosť. Označujeme ju Ω . Príklad: Ω: Pri hode kockou padne prirodzené číslo od 1 až 6   Ω Ω = 1, 2, 3,... n  - množina elementárnych udalostí A = 1, 2, 3, 1, 2, 3 – výsledky priaznivé udalosti A

Nemožná udalosť Udalosť, ktorá po vykonaní pokusu nikdy nemôže nastať, sa nazýva nemožná udalosť. Označujeme ju ∅ Príklad: ∅: Pri hode kockou padne prirodzené číslo väčšie ako 6 ∅

Totožnosť (ekvivalencia) dvoch náhodných udalostí Dve náhodné udalosti A a B sú totožné (ekvivalentné) A=B práve vtedy, keď platí A ⊂ B a B ⊂ A. Príklad: A: Pri hode kockou padne 2, alebo 4, alebo 6 B: Pri hode kockou padne párne číslo  A = B 

A B A B Zjednotenie udalostí A, B – Prienik udalostí A, B - je udalosť , ktorá nastane práve vtedy, keď nastane aspoň jedna z udalostí A, B A B Prienik udalostí A, B - je udalosť , ktorá nastane práve vtedy, keď nastanú súčasne obidve udalostí A, B A B

A = Ω – A, Ω A B A B Rozdiel udalostí A, B - je udalosť , ktorá nastane práve vtedy, keď udalosť A nastane a súčasne udalosť B nenastane A B Doplnok (opačná udalosť) udalosti A v udalosti Ω - Doplnok (opačná udalosť) udalosti A je udalosť Á , ktorá nastane práve vtedy, keď A nenastane A B A = Ω – A, Ω

Vzájomne sa vylučujúce (dizjunktné) udalosti Udalosti A a B sú vzájomne sa vylučujúce práve vtedy, keď platí A∩ B = Ø, teda nemôžu nastať súčasne. Príklad: A: Pri hode kockou párne prirodzené číslo B: Pri hode kockou nepárne prirodzené číslo B A 