RNDr. Marta Mlynarčíková FUNKCIE- elektronická Autorky SOČ: Barbora Kuffová Miroslava Špirková Definície vlastností funkcií Prehľady grafov funkcií a ich vlastností Konzultantka: RNDr. Marta Mlynarčíková FUNKCIE- elektronická zbierka úloh Lineárne a kvadratické funkcie Goniometrické funkcie Mocninové funkcie Exponenciálne a logaritmické funkcie

Barbora Kuffová, 3. A Miroslava Špirková, 3. A baska.kuffova@post.sk Miroslava Špirková, 3. A Gymnázium P. O. Hviezdoslava Hviezdoslavova 20 060 14 KEŽMAROK SOČ 2008 – odbor 02: Matematika, fyzika

RNDr. Marta Mlynarčíková Gymnázium P. O. Hviezdoslava aprobácia: matematika, fyzika mmlynarcikova@gmail.com www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova

a logaritmické funkcie Lineárne a kvadratické funkcie č. 1: slovná úloha o stoličke č. 2: lineárna funkcia s 2 absolútnymi hodnotami č. 3: lineárna rovnica s 2 absolútnymi hodnotami a parametrom č. 4: funkcia s absolútnou hodnotou č. 5: funkcia s absolútnou hodnotou č. 6: graf kvadratickej funkcie č. 7: graf kvadratickej funkcie č. 8: graf kvadratickej funkcie – úloha s výberom odpovede č. 9: grafy lineárnych a kvadratických funkcií – priraďovacia úloha č. 10: graf funkcie s 2 absolútnymi hodnotami- úloha s výberom odpovede č. 11: graf kvadratickej funkcie s absolútnou hodnotou č. 12: slovná úloha o obdĺžniku – úloha s výberom odpovede č. 13: slovná úloha o spotrebe benzínu č. 14: slovná úloha o brzdnej dráhe automobilu Goniometrické funkcie Mocninové funkcie Exponenciálne a logaritmické funkcie

Lineárne a kvadratické a logaritmické funkcie Goniometrické funkcie č. 1: graf funkcie s kosínusom č. 2: graf funkcie so sínusom a kosínusom č. 3: graf funkcie so sínusom a absolútnou hodnotou č. 4: grafy funkcií so sínusom a kosínusom – priraďovacia úloha č. 5: graf funkcie s tangensom a absolútnou hodnotou č. 6: graf funkcie s kosínusom a absolútnou hodnotou č. 7: goniometrická rovnica č. 8: graf funkcie s kosínusom č. 9: graf funkcie s tangensom č. 10: graf funkcie s kotangensom č. 11: obsah obdĺžnika v grafe funkcie - úloha s výberom odpovede č. 12: goniometrická rovnica č. 13: goniometrické rovnice Lineárne a kvadratické funkcie Mocninové funkcie Exponenciálne a logaritmické funkcie

Lineárne a kvadratické a logaritmické funkcie Mocninové funkcie č. 1: párnosť mocninových funkcií – úloha s výberom odpovede č. 2: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou- úloha s výberom odpovede č. 3: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou – úloha s výberom odpovede č. 4: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou – úloha s výberom odpovede č. 5: slovná úloha o autobuse č. 6: nerovnica s lineárne lomenou funkciou č. 7: definičný obor funkcie č. 8: graf funkcie s absolútnou hodnotou č. 9: rovnica s odmocninami č. 10: rovnica s odmocninami č. 11: nerovnica s odmocninou č. 12: rovnica s 3 odmocninami č. 13: graf lineárne lomenej funkcie s absolútnou hodnotou Lineárne a kvadratické funkcie Goniometrické funkcie Exponenciálne a logaritmické funkcie

Lineárne a kvadratické Exponenciálne a logaritmické funkcie č. 1: spoločná vlastnosť funkcií – úloha s výberom odpovede č. 2: definičný obor – úloha s výberom odpovede č. 3: graf exponenciálnej funkcie č. 4: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou č. 5: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou č. 6: logaritmická rovnica č. 7: slovná úloha o intenzite zvuku na diskotéke č. 8: graf logaritmickej funkcie č. 9: exponenciálna rovnica č. 10: graf logaritmickej funkcie s absolútnou hodnotou č. 11: graf exponenciálnej funkcie č. 12: exponenciálna rovnica č. 13: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou č. 14: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou č. 15: rast a klesanie exponenciálnej funkcie Lineárne a kvadratické funkcie Goniometrické funkcie Mocninové funkcie

Úloha č. 1 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické (ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 49) Zadanie úlohy Plastová stolička má prehnuté sedadlo. Pri zaťažení sa toto prehnutie zväčší, pričom prehnutie je lineárnou funkciou hmotnosti osoby, ktorá na stoličke sedí. Ak si na stoličku sadla osoba s hmotnosťou 40 kg, bolo sedadlo prehnuté o 6,2 cm. Ak si na stoličku sadla osoba s hmotnosťou 60 kg, bolo sedadlo prehnuté o 6,7 cm. Vyjadrite rovnicou funkciu, ktorá vyjadruje závislosť prehnutia sedadla od hmotnosti osoby, ktorá na nej sedí. b) Načrtnite graf tejto funkcie, ak výrobca stoličky udáva jej nosnosť do 120 kg. c) Odčítaním z grafu funkcie aj výpočtom z rovnice určte aké veľké bude prehnutie sedadla, ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok b) a) c) Ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg, prehnutie sedadla bude 7,45 cm. Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Vzorce, grafy Lineárna funkcia: Graf lineárnej funkcie - priamka Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy označte si premenné – napr. m – hmotnosť osoby, p – prehnutie sedadla do rovnice lineárnej funkcie f: p=a.m+b dosaďte podľa textu úlohy príslušné číselné hodnoty m a p získame sústavu dvoch rovníc s neznámymi a, b sčítacou alebo dosadzovacou metódou vyriešte sústavu rovníc vypočítané hodnoty koeficientov a, b dosaďte do rovnice lineárnej funkcie vo vhodnej mierke narysujte graf funkcie f ( na jej narysovanie stačia 2 body, lebo grafom lineárnej funkcie je priamka) cez hodnotu 90 na vodorovnej osi veďte kolmicu na túto os, v priesečníku s grafom veďte kolmicu na zvislu os a odčítajte príslušné prehnutie sedadla do rovnice funkcie f dosaďte za m=90 a vypočítajte p Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy b) m ... hmotnosť osoby v kg p ... prehnutie sedadla stoličky v cm a) Riešením sústavy rovníc určíme koeficienty a, b c) Ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg, prehnutie sedadla bude 7,45 cm. Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 2 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok funkcia f je rastúca na intervale funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je klesajúca na intervale funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=2 funkcia f nie je zhora ohraničená Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Vzorce, grafy Definícia: Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy určte nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie, ktoré rozdelia množinu R na tri intervaly na jednotlivých intervaloch nahraďte absolútne hodnoty výrazmi, ktoré sa im rovnajú - využite definíciu absolútnej hodnoty ( môžete to urobiť v prehľadnej tabuľke ) – na jednotlivých intervaloch získate tri lineárne funkcie do jednej súradnicovej sústavy načrtnite grafy všetkých troch funkcií graf funkcie f je zjednotením jednotlivých funkcií na daných intervaloch: f=f1Uf2Uf3 sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie f: y= |1 - x| + |x - 3| 1-x=0 x=1 x-3=0 x=3 Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 3 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Zadanie úlohy (ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 52) Je daná funkcia f. Zostrojte graf funkcie f. b) Pomocou grafu funkcie f určte počet riešení rovnice v závislosti od hodnoty reálneho parametra p. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok a) b) Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Vzorce, grafy Definícia: Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy určte nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie, ktoré rozdelia množinu R na tri intervaly na jednotlivých intervaloch nahraďte absolútne hodnoty výrazmi, ktoré sa im rovnajú - využite definíciu absolútnej hodnoty ( môžete to urobiť v prehľadnej tabuľke ) – na jednotlivých intervaloch získate tri lineárne funkcie do jednej súradnicovej sústavy načrtnite grafy všetkých troch funkcií graf funkcie f je zjednotením jednotlivých funkcií na daných intervaloch: f=f1Uf2Uf3 ľavá strana rovnice je funkcia f, pravá strana je parametrický systém konštantných funkcií gp počet riešení rovnice je rovnaký ako počet priesečníkov grafu funkcie f s funkciou g pre každú hodnotu reálneho parametra p Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie f: y= |1 - x| -0,5.|x + 2| 1-x=0 x= 1 x+2=0 x=-2 Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 4 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok funkcia f má neostré maximum pre každé x>0 funkcia f je nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f má neostré minimum pre každé x<0 funkcia f nie je prostá funkcia f nie je rastúca funkcia f je zdola ohraničená, d=-1 funkcia f nie je klesajúca funkcia f je zhora ohraničená, h=1 Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Základný graf Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy musíte si uvedomiť, že úloha pre x=0 nemá riešenie funkcia f bude zjednotením dvoch funkcií f1 a f2 definičný obor funkcie f1 je pre x väčšie ako 0 a funkcie f2 pre x menšie ako 0 načrtnite funkciu f1: y= x /x =1 , pričom x sú čísla kladné načrtnite funkciu f2: y= -x /x=-1 , pričom x sú čísla záporné Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 5 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok f nemá maximum ani minimum f je zdola ohraničená d=-4 f nie je zhora f nie je prostá, nie je párna ani nepárna, nie je periodická f je klesajúca na intervale f je rastúca na intervale Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Základné grafy, vzorce Definícia: Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy určte definičný obor funkcie f využite definíciu absolútnej hodnoty a v menovateli zlomku nahraďte absolútnu hodnotu výrazom, ktorý sa jej na príslušnom intervale rovná – získate tak dve funkcie, ktorých rovnice už neobsahujú absolútnu hodnotu výraz v menovateľoch rozložte na súčin a vykráťte zlomky do jednej súradnicovej sústavy načrtnite grafy oboch funkcií graf pôvodnej funkcie je zjednotením grafov oboch funkcií pri zohľadnení ich definičných oborov sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Graf funkcie f je zjednotením grafov funkcií f1 a f2 , je potrebné zohľadniť, že Grafom funkcie f je teda zjednotenie dvoch polpriamok bez počiatočných bodov. Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 6 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok funkcia f má ostré minimum v bode x=0 funkcia f je párna funkcia f nemá maximum funkcia f nie je periodická funkcia f je rastúca na intervale funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=-5 funkcia f je klesajúca na intervale funkcia f nie je zhora ohraničená Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Základný graf Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy načrtnite graf funkcie f1: y=x2 načrtnite graf funkcie f2: y=2.x2 ... každá funkčná hodnota sa zväčší dvakrát načrtnite graf funkcie f3=f: y=2.x2-5 ... posun o 5 nadol sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 7 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok funkcia f je rastúca na intervale funkcia f je párna funkcia f je klesajúca na intervale funkcia f nie je prostá funkcia f má maximum v bode x = 0 funkcia f je zhora ohraničená, h=2 funkcia f nemá maximum funkcia f nie je zdola ohraničená Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Základný graf Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy načrtnite graf funkcie f1: y=x2 načrtnite graf funkcie f2: y=2.x2 ... každá funkčná hodnota sa zväčší dvakrát načrtnite graf funkcie f3=f: y=-2.x2 ... preklopenie pod os x načrtnite graf funkcie f4=f: y=-2.x2+2 ... posun o 2 nahor sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 8 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Zadanie úlohy Graf ktorej funkcie je na obrázku? f : y = x2 - 2x – 3 f : y = - x2 - 2x + 3 f : y = -x2 - 2x + 4 f : y = - x2 + 2x + 3 f : y = - 2x2 + 4x + 6 Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok D f : y = - x2 + 2x + 3 Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Základné grafy Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy podľa grafu funkcie rozhodnite, aké znamienko má koeficient a pri kvadratickom člene - vylúčte rovnice, ktoré nevyhovujú z obrázku vyplýva, že f(1)=4 , dosadením do rovníc funkcií, ktoré vyhovujú podmienke pre koeficient a, dosaďte za x=1 , vypočítajte y a zistite, v ktorom prípade je y=4 ... ak to vychádza len v jednej funkcie, je to riešenie úlohy z obrázku určte nulové body funkcie ... f(x)=0 a dosadením do rovnice zistite či vyhovujú úlohu môžete riešiť aj tak, že každú funkciu upravíte na vrcholový tvar, určíte súradnice vrcholov a overíte na obr., ktorá funkcia má zodpovedajúce súradnice vrcholu ... tento postup je zdĺhavý Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy Na obr. je kvadratická funkcia, ktorá má vo vrchole maximum, preto koeficient a pri kvadratickom člene je záporný – nevyhovuje rovnica funkcie v prípade A. Do ostatných rovníc dosadíme za x=1 a vypočítame y: Keďže vyhovuje len jedna funkcia, správna odpoveď je D . Zložitejší postup úpravou na vrcholový tvar: Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 9 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Zadanie úlohy ( http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/fun1/erkennen.html ) K daným grafom A – F priraďte predpisy funkcií . Podobné úlohy si môžete precvičovať na hore uvedenej www stránke. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok A – f3 B – f4 C – f1 D – f5 E – f2 F – f6 Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Základné grafy Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy medzi grafmi je jediná konštantná funkcia - priraďte jej správnu rovnicu medzi grafmi sú dve klesajúce lineárne funkcie - rovnice správne priraďte ku grafom napr. podľa hodnoty funkcií pre x=0 medzi grafmi sú tri kvadratické funkcie – rozhodnite, ktorý graf patrí k rovnici so záporným koeficientom a rovnice dvoch kvadratických funkcií pre a>0 správne priraďte ku grafom napr. podľa hodnoty funkcií pre x=0 Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 10 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Zadanie úlohy Na ktorom obrázku je graf funkcie f ? A B E C D Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok C Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Vzorce, grafy Definícia: Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy využite definíciu absolútnej hodnoty reálneho čísla funkciu f skúmajte ako zjednotenie 2 funkcií nezabudnite zohľadniť intervaly, na ktorých je definovaná každá z funkcií skontrolujte výpočtom, či váš vybraný graf prechádza vyznačenými bodmi Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 11 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok funkcia f je klesajúca na intervaloch funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je rastúca na intervaloch funkcia f nie je prostá funkcia f má neostré minimá v bodoch x = 1 a x=5 funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f nemá maximum funkcia f je zdola ohraničená , d=0 Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Základný graf Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy rovnicu funkcie f upravte na vrcholový tvar f: y=| 0,5.(x-3)2-2| načrtnite graf funkcie f1: y=x2 načrtnite graf funkcie f2: y=(x-3)2 ... posun o 3 doprava zväčší dvakrát načrtnite graf funkcie f3: y= 0,5.(x-3)2 ... všetky funkčné hodnoty sa dvakrát zmenšia načrtnite graf funkcie f4: y= 0,5.(x-3)2-2 ... posun o 2 nadol načrtnite graf funkcie f5=f: y=| 0,5.(x-3)2-2| ... časť grafu, ktorá je pod osou x sa preklopí nad os x sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 12 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické (ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 46) Zadanie úlohy Dĺžka obdĺžnika je dvakrát väčšia než jeho šírka. Obdĺžnik sa zmení tak, že jeho šírka sa zväčší o 0,2 m a jeho dĺžka sa zväčší na dvojnásobok novej šírky. Od pôvodnej šírky x metrov: A: závisí prírastok obvodu aj prírastok obsahu obdĺžnika B: závisí prírastok obvodu ale nezávisí prírastok obsahu obdĺžnika C: nezávisí prírastok obvodu ale závisí prírastok obsahu D: nezávisí ani prírastok obvodu, ani prírastok obsahu Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok C ( od pôvodnej šírky x nezávisí prírastok odvodu ale závisí prírastok obsahu obdĺžnika ) Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy b a Prírastok obvodu: Prírastok obsahu: Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy vyjadrite obvod a obsah pôvodného obdĺžnika pomocou jeho šírky x vyjadrite obvod a obsah zmeneného obdĺžnika pomocou šírky pôvodného obdĺžnika x prírastok obvodu je rozdiel obvodu zmeneného obdĺžnika a obvodu pôvodného obdĺžnika – vyjadrite tento rozdiel a zistite, či závisí od x prírastok obsahu je rozdiel obsahu zmeneného obdĺžnika a obsahu pôvodného obdĺžnika – vyjadrite tento rozdiel a zistite, či závisí od x pozorne čítajte ponuknuté možnosti a vyberte správnu odpoveď, ktorá zodpovedá predchádzajúcim výpočtom Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy Prírastok obvodu nezávisí od x. Prírastok obsahu závisí od x. ( je lineárnou funkciou x ) Správna odpoveď je C Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 13 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické (ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 50) Zadanie úlohy Auto má spotrebu 6 litrov benzínu na 100 km. Na začiatku jazdy malo v plnej nádrži 36 litrov benzínu. Vyjadrite závislosť počtu litrov v nádrži od počtu prejdených kilometrov. b) Zostrojte graf určenej závislosti. c) Po koľkých kilometroch jazdy bude v nádrži posledný liter benzínu? Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok b) a) V ... počet litrov benzínu v nádrži s ... počet prejdených km c) V nádrži bude posledný liter benzínu po 583,3 km jazdy. Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Vzorce, grafy Lineárna funkcia: Graf lineárnej funkcie - priamka Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy označte si premenné – napr. V – objem benzínu v nádrži v litroch, s – počet prejdených kilometrov vyjadrite spotrebu benzínu na 1 km uvedomte si, že s množstvom prejdených km sa zmenšuje objem benzínu v nádrži vyjadrite rovnicou funkciu, ktorá vyjadruje závislosť objemu benzínu v nádrži od prejdených kilometrov vo vhodnej mierke narysujte graf funkcie f ( na jej narysovanie stačia 2 body, lebo grafom lineárnej funkcie je priamka) zohľadnite obmedzenie definičného oboru a oboru hodnôt vyplývajúce z reálnej situácie do rovnice funkcie f dosaďte za V=1 a vypočítajte s Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy b) a) označme: V ... počet litrov benzínu v nádrži s ... počet prejdených km spotreba .... 6 litrov na 100 km t. j. 0,06 l na 1 km funkcia f, ktorá vyjadruje hľadanú závislosť je preto: f je lineárna klesajúca funkcia, jej grafom je úsečka c) V nádrži bude posledný liter benzínu po 583,3 km jazdy. Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 14 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické (ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 52) Zadanie úlohy Automobil pohybujúci sa rýchlosťou 90 km.h-1, začal brzdiť s konštantným zrýchlením 5 m.s-2 orientovaným proti smeru pohybu. Určte brzdnú dráhu automobilu do úplného zastavenia. b) Znázornite graficky, ako pri brzdení závisí okamžitá rýchlosť a dráha od času. c) Vypočítajte akou rýchlosťou narazí automobil do pevnej prekážky, ak išiel v hmle rýchlosťou 90 km.h-1a začal brzdiť 30 m pred prekážkou. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Výsledok a) Brzdná dráha automobilu do úplného zastavenia je 62,5 metrov. b) c) Auto narazí do prekážky rýchlosťou 64,8 km/h. Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Vzorce, grafy Základné vzorce pre rovnomerne spomalený pohyb: Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Návod na riešenie úlohy premeňte počiatočnú rýchlosť na m.s-1 zapíšte fyzikálne vzťahy pre rýchlosť a dráhu rovnomerne spomaleného pohybu uvedomte si, že pri zastavení je rýchlosť nulová – z rovnice pre rýchlosť vyjadrite čas a dosaďte do rovnice pre dráhu – po dosadení zadaných číselných hodnôt vypočítajte brzdnú dráhu do rovníc pre rýchlosť a dráhu dosaďte dané hodnoty a zistite aký typ funkcie vyjadruje závislosť rýchlosti od času a závisloť dráhy od času vypočítajte potrebný počet hodnôt týchto funkcií a načrtnite ich grafy - osi súradnicovej sústavy neoznačte x a y ale tak, aby to zodpovedalo označeniu príslušných fyzikálnych veličín do vzorca pre dráhu dosaďte dané hodnoty a vyriešte kvadr. rovnicu s neznámou t – vypočítanú hodnotu dosaďte do vzorca pre rýchlosť a tak získate rýchlosť pri náraze na prekážku Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy a) b) ... lineárna klesajúca funkcia pri zastavení Brzdná dráha automobilu do úplného zastavenia je 62,5 metrov. Pokračovanie riešenia úlohy Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Lineárne a kvadratické Úplné riešenie úlohy b) c) ... kvadratická funkcia Auto narazí do prekážky rýchlosťou 64,8 km/h. Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 1 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok funkcia f má neostré maximá v každom bode x=0,25π+2kπ, k є Z funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická funkcia f má neostré minimá v každom bode x=1,25π+2kπ, k є Z funkcia f nie je prostá funkcia f je rastúca na každom intervale (1,25π+2kπ, 2,25π+2kπ) , k є Z funkcia f je zdola ohraničená, d=-2 funkcia f je klesajúca na každom intervale (0,25π+2kπ, 1,25π+2kπ) , k є Z funkcia f je zhora ohraničená, h=2 Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Základný graf Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy načrtnite graf funkcie f1: y=cos x načrtnite graf funkcie f2: y=2.cos x ... každá funkčná hodnota sa zväčší dvakrát načrtnite graf funkcie f3=f: y=2.cos (x-π/4) ... posun o π/4 doprava sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 2 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy 99

Načrtnite graf funkcie f a popíšte jej vlastnosti. Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie f a popíšte jej vlastnosti. Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 100

Výsledok funkcia f má neostré maximá v každom bode x=0,5π+kπ, k є Z funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická funkcia f má neostré minimá v každom bode X=1,5π+kπ, k є Z funkcia f nie je prostá funkcia f je rastúca na každom intervale (-0,5π+kπ, 0,5π+kπ) , k є Z funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f je klesajúca na každom intervale (0,5π+kπ, 1,5π+kπ) , k є Z funkcia f je zhora ohraničená, h=2 Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 101

Vzorce, grafy Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy 102

Návod na riešenie úlohy využite vzorec , teda dostanete funkciu f: y= =sin x +1 načrtnite graf funkcie f1: y=sin x načrtnite graf funkcie f: y= sin x +1 ...funkcia f sa posunie o 1 hore sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy 103

Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie 104

Úloha č. 3 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy 105

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 106

Výsledok funkcia f má neostré maximá v každom bode x=0,5π+2kπ, k є Z funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická funkcia f nemá minimum funkcia f nie je prostá funkcia f je rastúca na každom intervale (0π+2kπ, 0,5π+2kπ) , k є Z funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f je klesajúca na každom intervale (0,5π+2kπ, π+2kπ) , k є Z funkcia f je zhora ohraničená, h=2 Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 107

Základný graf Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy 108

Návod na riešenie úlohy funkciu f si rozdeľte na funkcie f1 a f2, pričom sin x v absolútnej hodnote vo funkcii f1 je kladný a vo funkcii f2 záporný načrtnite graf funkcie f1: y= sin x +sin x y=2sin x načrtnite graf funkcie f2: y=sin x –sin x y=0 funkcia f1 platí pre sin x kladné, čiže funkciu f1 zvýraznite na intervaloch (0+2kπ, π+2k π ) funkcia f2 platí pre sin x záporné, čiže ju zvýrazníte na intervaloch(π +2k π, 2 π+2k π) zvýraznené časti tvoria funkciu f: y=sin x + |sin x| sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy 109

Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie 110

Úloha č. 4 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy K daným grafom A – F priraďte predpisy funkcií . ( http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/fun2/fun2.html#funerk3 ) K daným grafom A – F priraďte predpisy funkcií . Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok A – f1 B – f5 C – f6 D – f4 E – f2 F – f3 Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Základné grafy Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy nájdite medzi grafmi základné funkcie y=sinx a y=cosx nájdite medzi grafmi niektorú zo základných funkcií posunutú len v smere osi x a priraďte jej rovnicu y=sin(x±d) alebo y=cos(x±d) nájdite medzi grafmi funkciu, ktorej obor hodnôt je <-2,2> a priraďte jej rovnicu y =2.sinx alebo y=2.cosx nájdite medzi grafmi funkciu, ktorej perióda sa oproti základným funkciám dvakrát zväčšila a priraďte jej správnu rovnicu y=sin(x/2) alebo y=cos(x/2) , zohľadnite pritom aj vynásobenie hodnôt funkcie záporným číslom nájdite medzi grafmi funkciu, ktorej perióda sa oproti základným funkciám dvakrát zmenšila a priraďte jej správnu rovnicu y=sin(2x) alebo y=cos(2x) , zohľadnite pritom aj vynásobenie hodnôt funkcie záporným číslom Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 5 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok funkcia f nemá maximum funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f má neostré minimá v každom bode x=0,25π+kπ, k є Z funkcia f je periodická funkcia f je rastúca na každom intervale (0,25π+kπ, 0,75π+kπ) , k є Z funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=-1 funkcia f je klesajúca na každom intervale (-0,25π+kπ, 0,25π+kπ) , k є Z funkcia f nie je zhora ohraničená Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Základný graf Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy načrtnite graf funkcie f1: y=tgx načrtnite graf funkcie f2: y=tg(x-π/4) ... posun o π/4 doprava načrtnite graf funkcie f3: y=|tg(x-π/4)| ... časti grafu pod osou x sa preklopia nad os x načrtnite graf funkcie f: y=|tg(x-π/4)|-1 ... posun o 1 nadol sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 6 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok funkcia f má neostré maximá v každom bode x=1,5π+2kπ, k є Z funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická funkcia f má neostré minimá v každom bode x=0,5π+2kπ, k є Z funkcia f nie je prostá funkcia f je rastúca na každom intervale (0,5π+2kπ, 1,5π+2kπ) , k є Z funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f je klesajúca na každom intervale (1,5π+2kπ, 2,5π+2kπ) , k є Z funkcia f je zhora ohraničená, h=3 Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Základný graf Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy v argumente funkcie f vyjmite pred zátvorku 1/2 f: y=3.|cos(x/2+π/4)|=3.|cos[1/2.(x+π/2)]| načrtnite graf funkcie f1: y=cosx načrtnite graf funkcie f2: y=cos(x+π/2) ... posun o π/2 doľava načrtnite graf funkcie f3: y=cos[1/2.(x+π/2)] ... perióda sa dvakrát zväčší načrtnite graf funkcie f4: y=|cos[1/2.(x+π/2)]| ... časti grafu pod osou x sa preklopia nad os x načrtnite graf funkcie f: y=3.|cos[1/2.(x+π/2)]| ... hodnoty funkcie sa zväčšia trikrát sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 7 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

V obore reálnych čísel riešte rovnicu Zadanie úlohy V obore reálnych čísel riešte rovnicu Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy M – priesečník koncového ramena uhla s jednotkovou kružnicou Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy vynásobte rovnicu výrazom sinx použite substitúciu: sinx=m vyriešte kvadratickú rovnicu s neznámou m vráťte sa k substitúcii a vyriešte jednoduché goniometrické rovnice ( využite jednotkovú kružnicu alebo graf funkcie, uvedomte si, čo je oborom hodnôt funkcie sínus ) nezabudnite na periodičnosť funkcie sínus a zohľadnite to pri zápise koreňov pôvodná rovnica obsahovala zlomok, preto nezabudnite na podmienky zapíšte množinu všetkých riešení rovnice Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 8 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 136

Výsledok funkcia f má neostré maximá v každom bode x=0,5π+2kπ, k є Z funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická funkcia f má neostré minimá v každom bode X=1,5π+2kπ, k є Z funkcia f nie je prostá funkcia f je rastúca na každom intervale (-0,5π+2kπ, 0,5π+2kπ) , k є Z funkcia f je zdola ohraničená, d=-4 funkcia f je klesajúca na každom intervale (0,5π+2kπ, 1,5π+2kπ) , k є Z funkcia f je zhora ohraničená, h=4 Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 137

Základný graf Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy 138

Návod na riešenie úlohy načrtnite graf funkcie f1: y=cosx načrtnite graf funkcie f2: y=cos(x-π/2) ... posun o π/2 doprava načrtnite graf funkcie f3=f: y=4cos(x- π/2)…,,natiahnutie“ funkčné hodnoty sa zväčšia štyrikrát sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy 139

Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie 140

Úloha č. 9 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 142

Výsledok funkcia f je nepárna funkcia f nemá maximum funkcia f je periodická funkcia f nemá minimum funkcia f nie je prostá funkcia f je rastúca na každom intervale funkcia nie je zdola ohraničená funkcia f nie je zhora ohraničená Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 143

Základný graf Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy 144

Návod na riešenie úlohy načrtnite graf funkcie f1: y=tan x načrtnite graf funkcie f2: y=tan(x+π/2) ... posun o π/2 doľava načrtnite graf funkcie f3=f: y=3tan(x+π/2)... Hodnoty f sa trikrát zväčšia sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy 145

Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie 146

Úloha č. 10 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 148

Výsledok funkcia f nemá maximá funkcia f nemá minimá funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je klesajúca na každom intervale funkcia f je periodická funkcia f nie je prostá funkcia f nie je zdola ohraničená funkcia f nie je zhora ohraničená Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 149

Základný graf Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy 150

Návod na riešenie úlohy načrtnite graf funkcie f1: y=cotg x načrtnite graf funkcie f2: y=cotg(x-π/4) ... posun o π/4 doprava načrtnite graf funkcie f3: y=5cotg(x-π/4)... hodnoty sa päťkrát zväčšia načrtnite graf funkcie f4=f: y=5cotg(x-π/4)-2...posun o dva dole sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy 151

Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie 152

Úloha č. 11 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy Na obrázku je časť grafu funkcie f. ČERNEK, P. – KUBÁČEK, Z.: MONITOR: NOVÁ MATURITA MATEMATIKA str. 69 Zadanie úlohy Na obrázku je časť grafu funkcie f. Aký obsah má vyfarbený obdĺžnik? A: B: C: D: E: Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok E Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy Obsah obdĺžnika: S = a.b Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy určte minimálnu periódu funkcie f – jej veľkosť je dĺžkou obdĺžnika určte obor hodnôt funkcie f a pomocou neho zistite šírku obdĺžnika vypočítajte obsah obdĺžnika a vyberte správnu odpoveď Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy správna odpoveď je E Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 12 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracovala: Klaudia Pisarčíková, 2.B

Zadanie úlohy Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy Najprv som musela použiť uvedené vzorce, potom som odstránila cos x z menovateľa zlomku vykrátením, ďalej som vyňala sin x. Na koniec som určila podmienky a z toho korene. Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 13 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracovala: Veronika Gurecková, 2.B

Zadanie úlohy Na intervale (0,2π) riešte rovnice: a) cos v + sin 2v = 0 b) tg2x + 4sin2 x - 3 = 0 Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok a) K= {π/2, 3π/2, 7π/6, 11π/6} b) K= {π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4} Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy a) sin 2x= 2sin x cos x b) tg x= sin x/ cos x cos²x= 1- sin²x Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy v oboch prípadoch najskôr použijeme vhodné vzorce a) vyjmeme pred zátvorku čo sa dá b) dáme na společného menovateľa a roznásobíme a) uvažujeme, kedy sa to rovná nule a dopočítame pre sin aj cos b) riešime kvadratickú rovnicu pre sin² x a uvažujeme o sin x Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy cos v + sin 2v = 0 cos v + 2sin v cos v = 0 cos v = 0 alebo sin v = -1/2 (v =π/2 alebo v = 3π/2) alebo (v = 7π/6 alebo v = 11π/6) a) 8 ± √16 8±4 b) tg ²x + 4sin² x-3 = 0 sin ²x/cos ²x +4sin ² x-3 = 0 sin ²x + 4sin ² x · (1- sin ²x) -3 · (1- sin ²x) sin²x1,2 = = = 1±1/2 8 8 = 1- sin²x -4sin²˙²x + 8sin²x – 3 = 0 4sin²˙²x – 8sin²x + 3 = 0 (sin² x patri <0,1> ∩ sin² x = 1± ½) =› sin² x =½ =› sin x =±√2/2 =› K Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 1 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je párna? A: B: C: D: Mocninové funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok D Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Základné grafy Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy určte o aké typy funkcií ide a načrtnite si ich grafy grafy párnych funkcií sú súmerné podľa osi y ... určte, ktorý graf nie je súmerný podľa osi y a vyberte správnu odpoveď úlohu môžete riešiť aj overením, že pre niektorú z daných funkcií neplatí definícia párnej funkcie t. j., že Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 2 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy Mocninové funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Základné grafy Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy najprv uvažujte o mocninovej funkcii f* bez absolútnej honoty ( ľavú časť grafu, ktorá je nad osou x preklopte pod os x ) rozhodnite aký základný druh mocninovej funkcie má graf tvarovo rovnaký ako f* ( mocninová funkciu s kladným alebo záporným exponentom, párnym alebo nepárnym exponentom ) - tým vylúčite niekoľko funkcií spomedzi rovníc, ktoré vám zostali vyberte správnu na základe posunu základného grafu vodorovným a zvislým smerom správnosť výberu rovnice môžete overiť výpočtom niekoľkých hodnôt funkcie f prípadne skúmaním definičných oborov funkcií Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy z červeného grafu funkcie f získame preklopením modrý graf funkcie f* graf modrej funkcie f* vznikol posunutím grafu ružovej funkcie f** podľa tvaru grafu funkcií f* a f** vieme, že ide o mocninovú funkciu s prirodzeným nepárnym exponentom z ponúkaných rovníc funkcie môže preto danému grafu zodpovedať len f1 alebo f3 modrá funkcia vznikla z ružovej posunom o 2 doprava a o 1 nahor, preto správnou rovnicou je f3 Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 3 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy Mocninové funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok C Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Základné grafy Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy určte definičný obor funkcie na obrázku a na základe toho vylúčte nevyhovujúce možnosti z grafu odčítajte súradnice bodov, ktoré na ňom ležia a overte výpočtom, ktorej z dosiaľ zostávajúcich funkcií vyhovujú úlohu môžete riešiť aj tak, že načrtnete grafy všetkých funkcií a porovnajte ich s daným grafom ... tento postup je ale časovo oveľa náročnejší Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy C Pre úplnosť sú nakreslené grafy všetkých funkcií. A D správna možnosť je A alebo C V prípade A je hodnota funkcie f(0)=1 , preto možnosť A nevyhovuje, správna odpoveď je preto C. E B Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 4 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy Mocninové funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok B Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Základné grafy Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy určte definičný obor funkcie na obrázku a na základe toho vylúčte nevyhovujúce možnosti z grafu odčítajte súradnice bodov, ktoré na ňom ležia a overte výpočtom, ktorej z dosiaľ zostávajúcich funkcií vyhovujú úlohu môžete riešiť aj tak, že načrtnete grafy všetkých funkcií a porovnajte ich s daným grafom ... tento postup je ale časovo oveľa náročnejší Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy C Pre úplnosť sú nakreslené grafy všetkých funkcií. správna možnosť je B, C alebo E A D V prípade C je f(1) = 0 , v prípade B a E je f(1) =2 preto možnosť C nevyhovuje. E B V prípade B je f(3) = 0 , v prípade E je f(3) =2 , preto správna odpoveď je B. Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 5 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy Autobus jazdí pravidelne na trati medzi dvoma mestami vzdialenými 120 km. Na zastávkach stojí spolu 30 minút. a) Napíšte rovnicu funkcie, ktorá vyjadruje závislosť času cestovania od priemernej rýchlosti autobusu. b) Načrtnite graf tejto funkcie, ak priemerná rýchlosť autobusu je v rozmedzí 40 km.h-1 až 90 km.h-1 . c) Určte definičný obor a obor hodnôt tejto funkcie. d) Vypočítajte a vyznačte ako odčítame z grafu funkcie pri akej priemernej rýchlosti autobusu príde autobus do cieľovej stanice presne o 2 hodiny? e) Aký najkratší môže byť čas cestovania na tejto trase ? f) Koľko korún zaplatí cestujúci na tejto trase, ak dopravca účtuje 1,50 Sk za každý kilometer a poplatok za batožinu je 10 Sk ? Mocninové funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok d) a) b) e) d) f) c) Autobus príde do cieľovej stanice presne o 2 hodiny pri priemernej rýchlosti 80 km.h-1. b) e) d) Najkratší možný čas cestovania je 1 hod a 50 min. f) Cestujúci zaplatí na tejto trase 190 Sk. c) Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Základný graf k>0 k<0 Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy čas 30 min premeňte na hodiny a zo základného fyzikálneho vzorca vyjadrite čas v závislosti od priemernej rýchlosti a dráhy, potom nezabudnite pripočítať čas, ktorý stojí autobus na zastávkach uvedomte si, ktoré veličiny sa nemenia (sú konštantné) a na základe toho určte o aký typ funkcie ide vo vhodnej mierke načtrnite graf funkcie, ktorá vyjadruje závislosť času jazdy od priemernej rýchlosti autobusu (vodorovná os – rýchlosť v, zvislá os – čas t) definičný obor funkcie je určený hraničnými priemernými rýchlosťami autobusu (zohľadnite to na grafe) a odčítaním z grafu alebo výpočtom určte obor hodnôt do rovnice funkcie dosaďte za t=2 hod a vypočítajte v , v grafe veďte cez 2 na zvislej osi rovnobežku s vodorovnou osou a v jej priesečníku s grafom veďte kolmicu na vodorovnú os a odčítajte rýchlosť najkratší čas cestovania určte z oboru hodnôt a vypočítajte cenu, ktorú zaplatí cestujúci Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy a) c) b) d) d) Autobus príde do cieľovej stanice presne o 2 hodiny pri priemernej rýchlosti 80 km.h-1. e) Najkratší čas cestovania dosiahneme pri najvyššej priemernej rýchlosti autobusu: f) Cestujúci zaplatí Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 6 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel, ktoré sú riešeniami nerovnice Mocninové funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok Súčet všetkých prirodzených čísel, ktoré vyhovujú danej nerovnici je 7. Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Základné grafy Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy nerovnicu je vhodné riešiť graficky výraz na ľavej strane nerovnice určuje funkciu upravte rovnicu funkcie f na tvar načrtnite graf funkcie f ( je to lineárne lomená funkcia, ktorej grafom je hyperbola, preto je potrebné najprv narysovať asymptoty) výraz na pravej strane nerovnice určuje funkciu do tej istej súradnicovej sústavy načrtnite graf funkcie g priesečníky grafov zodpovedajú riešeniu rovnice, pri riešení nerovnice hľadáme všetky hodnoty x, pre ktoré je graf funkcie f nad grafom funkcie g z grafov odčítame všetky prirodzené čísla, ktoré vyhovujú nerovnici a určíme ich súčet skúste danú nerovnicu vyriešiť aj numericky a porovnajte náročnosť riešenia Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Graficky vyriešime danú nerovnicu Funkcia f je lineárna lomená funkcia. g je lineárna funkcia. Z grafov odčítame priesečníky oboch funkcií ako aj riešenie nerovnice. V R je to zjednotenie intervalov V množine prirodzených čísel danej nerovnici vyhovujú len čísla 1, 2, 4 . Ich súčet je 1+2+4=7. Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 7 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

Určte definičný obor funkcie f. Zadanie úlohy Určte definičný obor funkcie f. Mocninové funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy Odmocniny sú definované len pre nezáporné reálne čísla. Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy musíte si uvedomiť, že výraz pod odmocninou musí byť kladný, čiže celý výraz musí byť väčší, alebo rovný nule menovateľ výrazu si upravíme na súčin všimnite si, že výraz x-2 sa nachádza v čitateli aj menovateli zlomku. Tento výraz môžeme vykrátiť v prípade, že x sa nebude rovnať 2 po vykrátení získame výraz 1/x-1. Tento výraz bude väčší ako nula práve vtedy keď x bude väčšie ako 1 zohľadníte obe podmienky pre x, znázornime ich na číselnej osi určíme prienik a zapíšeme definičný obor Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Definičný obor funkcie f.............D(f) Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 8 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracoval: Lukáš Kormoš , 2.B

Zadanie úlohy Načrtnite graf a popíšte vlastnosti funkcie: Mocninové Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok Vlastnosti: nie je prostá nie je párna ani nepárna nie je periodická nie je zhora ohraničená je zdola ohraničená má ostré minimum pre x=-3 je klesajúca (-∞,-3 > ∩ < 2,∞) je rastúca (-3,-2) Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy n-je nepárne n-je párne Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy Najpr si načrtneme graf len pre základ funkcie y=x-3 (viď.vzorce ,grafy) Postupne uvažujte o ostatných činiteloch vo funkcii. Ak je pod mocninou pri neznámej dalšie číslo ktore sa pripočítava alebo odčítava od neznámej funkcia sa posuva pozdĺž x-ovej osi a to pri pripočítavaní doľava a pri odčítaní doprava Ak sa k základu funkcie pripočítavá alebo odčítavá dalšie číslo mimo mocniny graf funcie sa posúva po y-ovej osi a to pri pripočítavaní hore a pri odčítaní dole. Ak je vo funkcii absolútna hodnota všetky jej záporné hodnoty sa menia na kladné resp. sa zalomí nad x-ovú os. Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy f 1 : y=(x+2)-3 …..………………..posunie sa o 2 doľava f 2 : y= (x+2)-3 +1 ………………..posunie sa o 1 hore f 3 : y= /(x+2)-3 +1/ ……………...preklopí sa nad x-ovú os Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 9 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracovala: Viktória Kisková, 2.B

Zadanie úlohy V obore reálnych čísel vyriešte danú rovnicu. Mocninové funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy (a+b)2=a2+2ab+b2 Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy Keďže je celá rovnica pod odmocninou, umocníme ju tým odmocninu odstránime. V rovnici ostala ešte jedna odmocnina, preto všetky ostatné členy presunieme na druhú stranu a rovnicu opäť umocníme. Členy pozlučujeme, spravíme skúšku správnosti a vypíšeme korene. Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 10 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracovala: Martina Marhefková, 2.B

Vyriešte v obore reálnych čísel danú rovnicu. Zadanie úlohy Vyriešte v obore reálnych čísel danú rovnicu. Mocninové funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy Rovnicu umocníme a tým odstránime jednu odmocninu. Na pravej strane rovnice použijeme vzorec (a+b)2. Presunieme členy rovnice na pravú stranu, na ľavej necháme odmocninu. Rovnicu umocníme, pozlučujeme členy a vyjadrime x1 a x2. Keďže sme použili dôsledkové úpravy (umocnenie), je nutná skúška. Vykonaním skúšky správnosti zistime, či vypočítané korene sú aj koreňmi danej rovnice. Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 11 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracovala: Lucia Čekovská, 2.B

Zadanie úlohy V R riešte nerovnicu: Mocninové funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok K = ‹ o, ∞) Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 Pri riešení nerovníc s neznámou pod odmocninou používame len ekvivalentné úpravy! Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy Určíme podmienky Riešenie rozvetvíme na dva prípady (aby sme zabezpečili ekvivalentnosť úpravy) Každý prípad riešime zvlášť: 1. vetva- ak pravá strana ≥0, umocníme obidve strany nerovnice na druhú, úpravou získame nerovnicu, po jej vyriešení zohľadníme podmienku a dostaneme množinu koreňov 1. vetvy 2. vetva- ak pravá strana ‹0, urobíme diskusiu Celková množina koreňov je zjednotením množín koreňov obidvoch vetiev Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy (x2 + 4)0,5 ≤ x + 2 Podmienka: x2 + 4 ≥ 0, platí pre všetky x z množiny R 1. vetva: ak x+2 ≥ 0 → x ≥ -2, potom (x2 + 4)0,5 ≤ x + 2 / 2 → x2 + 4 ≤ x2 + 4x + 4 → 0 ≤ x po zohľadnení podmienky K1 = ‹ o, ∞) 2. vetva: ak x+2 ‹ 0 → x ‹ -2, potom ĽS= (x2 + 4)0,5 ≥ 0 (druhá odmocnina je vždy nezáporná), PS= x+2‹0 → ĽS bude vždy väčšia ako PS (spor so zadaním) → K2 = Ø K = K1 U K2 = ‹ o, ∞) Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 12 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracoval: Pavol Smoleň, 2.B 237

Zadanie úlohy v R riešte rovnicu: Mocninové funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 238

Výsledok Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 239

Vzorce, grafy Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy rovnicu umocníme, pričom použijeme dané vzorce  týmto sme odstránili súčet odmocnín rovnicu upravíme tak, aby sme na jednej strane rovnice mali iba odmocniny opäť rovnicu umocníme  dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorú vyriešíme pomocou diskriminantu D vykonali sme dôsledkové úpravy preto musíme urobiť aj skúšku správnosti Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Skúška: Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 13 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracoval: Jozef Zoričák, 2.B

Zadanie úlohy Zostrojte graf funkcie f a popíšte vlastnosti Mocninové Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok D(f)= H(f)=R Funkcia f je klesajúca na intervale od (-∞,1) zjednotenie (2, ∞) Rastúca na intervale (1,2) Nie je prosta, nie je párna ani nepárna Zdola ohraničená d=0, minimum ma v 1 Mocninové funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy a=1 b>1 Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy Rovnicu si upravíme tak, že vydelíme čitateľa menovateľom, dostaneme tvar funkcie Potom si nájdeme asymptoty, na osi x bude prechádzať cez 2 a na osi y cez 1 Dopočítame zopár hodnôt do tabuľky Načrtneme graf funkcie Zápornú časť grafu prevrátime okolo x osy Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy x -3 -2 -1 1 3 y 0,8 0,75 0,6 0,5 2 Vydelením dostaneme tvar funkcie x -3 -2 -1 1 3 y 0,8 0,75 0,6 0,5 2 Po prevrátení zápornej časti grafu Mocninové funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 1 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Čo majú všetky štyri funkcie spoločné ? A. majú rovnaký obor hodnôt B. majú rovnaký definičný obor C. všetky sú rastúce D. grafy všetkých pretínajú os x E. všetky sú prosté Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok Všetky štyri funkcie sú prosté. E Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Základné grafy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy načrtnite si grafy exponenciálnych funkcií f: y=ax a skúmajte ich vlastnosti v závislosti od základu a ( a >1, 0<a<1 ) podobne skúmajte vlastnosti logaritmických funkcií medzi danými funkciami sú exponenciálne funkcie aj logaritmické funkcie so základom väčším ako 1 aj menším ako 1 a preto skoro všetky uvedené vlastnosti nemôžu mať všetky uvedené funkcie rovnaké len jedna z uvedených vlastnosti nezávisí od hodnoty a, je preto spoločná pre všetky exponenciálne a logaritmické funkcie – určte, ktorá je to vlastnosť a vyberte správnu odpoveď Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Na obr. sú načrtnuté grafy všetkých 4 funkcií. Všetky štyri funkcie sú prosté, preto správna odpoveď je E. Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 2 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Ktorý interval je definičným oborom funkcie f ?  - 3 ,  ) ( - 3 ,  )  - 3 , 3  ( - 3 , 3 ) ( 0 ,  ) Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok D Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Vzorce, grafy Logaritmy sú definované pre všetky kladné reálne čísla. Odmocniny sú definované pre všetky nezáporné reálne čísla. Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy uvedomte si akú podmienku musí spĺňať výraz, ktorý je v argumente logaritmu a akú výraz pod odmocninou ... zapíšte tieto podmienky nerovnicami vyriešte každú zo zapísaných nerovníc a jej množinu riešení napíšte ako interval keďže čísla x, ktoré sú z definičného oboru funkcie f musia vyhovovať obidvom podmienkam, definičný obor nájdite ako prienik intervalov správnu odpoveď môžete určiť aj dosadzovaním vhodných čísel do rovnice funkcie a postupným vylučovaním nesprávnych odpovedí Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Správna odpoveď je D. Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 3 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f nemá maximum ani minimum funkcia f je zdola ohraničená, d=-2 funkcia f je prostá funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f je rastúca na celom definičnom obore Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Základné grafy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy načrtnite graf funkcie f1: y=2x načrtnite graf funkcie f2: y=2x-3 ... posun o 3 jednotky doprava načrtnite graf funkcie f3 = f : y=2x-3 ... posun o 2 jednotky dole sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 4 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok funkcia f má ostré minimum v bode x = -3 funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nemá maximum funkcia f nie je periodická funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f je klesajúca na intervale funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f je rastúca na intervale Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Základné grafy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy načrtnite graf funkcie načrtnite graf funkcie ... posun o 2 jednotky doľava načrtnite graf funkcie ... hodnoty funkcie sa zmenšia dvakrát a graf sa preklopí pod os x načrtnite graf funkcie ... posun o 2 jednotky nahor načrtnite graf funkcie ... časť grafu pod osou x sa preklopí nad os x sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 5 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok funkcia f nemá maximum funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f má minimum pre x= 1 funkcia f nie je prostá funkcia f je rastúca na intervale funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f je klesajúca na intervale funkcia f nie je zhora ohraničená Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Vzorce, grafy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy načrtnite funkciu načrtnite funkciu ...posun o 2 dole načrtnite funkciu ...preklopenie funkcie cez y-ovú os sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 6 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

a logaritmické funkcie PATRIKOVÁ, K. – REITEROVÁ, M.: Nová maturita: MATEMATIKA str. 110 Zadanie úlohy Pre ktoré xєD(g) nadobúda funkcia g funkčnú hodnotu jeden? Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok Funkcia g nadobúda funkčnú hodnotu jeden pre Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Základný graf Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy použite vzorec pre logaritmus mocniny odmocnite určte x, pre ktoré platí: log x=1 alebo log x=-1 Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Funkcia g nadobúda funkčnú hodnotu jeden pre Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 7 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Na diskotéke namerala kontrola hladinu intenzity hluku B1=120 dB, na ulici B2=70 dB. Koľkokrát je intenzita zvuku I1 na diskotéke väčšia ako intenzita zvuku I2 na ulici? Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok Intenzita zvuku na diskotéke je 100 000 krát väčšia ako na ulici. Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Vzorce, grafy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy vyjadrite rozdiel hladín intenzity zvuku na diskotéke a ulici B1 – B2 rozdiel upravujte pomocou viet o logaritmoch, tak aby neobsahoval intenzitu I0 a v argumente logaritmu bol podiel intenzít I1 /I2 využite definíciu logaritmu a vyjadrite podiel intenzít I1 /I2 I1 vyjadrite ako násobok I2 a sformulujte slovnú odpoveď Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Intenzita zvuku na diskotéke je 100 000 krát väčšia ako na ulici. Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 8 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f nemá maximum ani minimum funkcia f nie je zdola ohraničená funkcia f je prostá funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f je rastúca na celom definičnom obore Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Základné grafy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy načrtnite graf funkcie f1: y=log3x načrtnite graf funkcie f2: y= log3(x-2) ... posun o 2 jednotky doprava načrtnite graf funkcie f3 = f : y= log3(x-2)+4 ... posun o 4 jednotky hore sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 9 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracoval: František Bizovský, 2.B

a logaritmické funkcie Zadanie úlohy V obore reálnych čísel vyriešte exponenciálnu rovnicu : Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Vzorce, grafy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy na ľavej strane si odstránime odmocninu v prvom člene, druhý člen ľavej strany upravíme na rovnaký základ ako má prvý člen odmocniny si upravíme do exponenciálneho tvaru, tak aby ani jeden z členov rovnice nebol záporný z vlastností exponenciálnych funkcií vyplýva ( exp. funkcia je prostá), že ak sa mocniny s rovnakým základom rovnajú, tak sa rovnajú aj exponenty exponenty si prehodíme na ľavú stranu a dáme na spoločného menovateľa vynásobíme rovnicu menovateľom, roznásobíme výraz na ľavej strane upravíme výraz a vyjadríme x, overíme, či koreň vyhovuje podmienkam, zapíšeme množinu riešení Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 10 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nemá maximum , má minimum v bode x=-3 funkcia f nie je periodická funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená funkcia f je klesajúca na intervale funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f je rastúca na intervale Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Základné grafy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy načrtnite graf funkcie f1: y=log1/2x načrtnite graf funkcie f2: y= log1/2(x+4) ... posun o 4 jednotky doľava načrtnite graf funkcie f3 = f : y=-2. log1/2(x+4) ... hodnoty funkcie sa dvakrát zväčšia a zmenia znamienko načrtnite graf funkcie f4 = f : y=|-2. log1/2(x+4)| ... časť grafu, ktorá je pod osou x sa preklopí nad os x sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č.11 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracovala: Lívia Sisková, 2.B

a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f je rastúca funkcia f je zdola ohraničená, d=-5 funkcia f nemá maximum ani minimum funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f je prostá Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Vzorce, grafy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy načrtnite graf funkcie f1: y=3x načrtnite graf funkcie f2: y=3x+2 ... posun o 2 jednotky doľava načrtnite graf funkcie f3: y=3x+2 -5 ... posun o 5 jednotiek dole sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť,maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 12 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracoval: Stanislav Pitoniak, 2.B

Vyriešte rovnicu s neznámou x R: a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vyriešte rovnicu s neznámou x R: Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Vzorce, grafy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy obe strany rovnice upravíme na mocniny so základom 3 keďže exponenciálna funkcia je prostá, z rovnosti mocnín vyplýva rovnosť exponentov exponenty dáme do rovnosti a riešime kvadratickú rovnicu Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 13 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracoval: Stanislav Kušmírek, 2.B

Narysujte graf funkcie a učte jej vlastnosti : a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Narysujte graf funkcie a učte jej vlastnosti : f : y =│2 (x+3) -2│-3 Narysujte graf funkcii a učte jeho vlastnosti : f: y =│2 (x+3) -2│-3 Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok Vlastnosti: D(f) = R , H(f) = <-3, ∞) na intervale (–∞ ,-2) je klesajúca, na (-2,+∞) je rastúca, má minimum v bode x=-2,maximum nemá, je zdola ohraničená d= -3, zhora nie je ohraničená, nie je ani parná ani neparná, nie je periodická, nie je prostá Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Vzorce, grafy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy Treba si uvedomiť, že ide o exponenciálnu funkciu. Postupujme po krokoch: Základná funkcia y= 2 x sa zmení nasledovne: a: y= 2 (x+3) o 3← b: y= 2 (x+3) -2 o 2↓ c: y=│2 (x+3) -2│ všetky záporné hodnoty sa nám prevrátia na kladné, funkcia sa lomí f: y =│2 (x+3) -2│-3 všetky hodnoty sa posunu o 3 ↓ Tabuľka pre výsledné hodnoty: x -4 -2 1 2 y -1/2 -3 3 11 27 Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy a: y= 2 (x+3) b: y= 2 (x+3) -2 c: y=│2 (x+3) -2│ f: y =│2 (x+3) -2│-3 Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 14 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracoval: Pavol Smoleň, 2.B

a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Zostrojte graf funkcie a popíšte jej vlastnosti Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Výsledok f D(f)=R H(f)=<0,∞) f:→ nieje prostá → nieje párna , ani nepárna → nieje periodická → nieje rastúca ani klesajúca na celom D → je klesajúca na (-∞, n> → je rastúca na <n, ∞) → je zdola ohraničená d= 0 → nieje zhora ohraničená → namá maximum → má minimum v bode n n Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Vzorce, grafy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy základná funkcia tejto exponenciálnej funkcie je určená rovnicou y=1/2 x pomocou tabuľky pre dané hodnoty x zistíme hodnoty y a narysujeme základný graf funkciu budeme potom posúvať na základe koeficientov a nakoniec prevrátime záporné hodnoty, pretože ide o funkciu s absolútnou hodnotou Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úloha č. 15 Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy Spracovala: Katarína Mesarčíková, 2.B 333

a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Určte všetky , pre ktoré je exponenciálna funkcia daná rovnicou rastúca klesajúca Exponenciálne a logaritmické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 334

a logaritmické funkcie Výsledok ak c (0,5 ;∞), tak f je rastúca ak c (-∞ ; -0,5), tak f je klesajúca Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy 335

- grafické znázornenie pre rovnicu f je klesajúca Vzorce, grafy - grafické znázornenie pre rovnicu f je klesajúca Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy 336

a logaritmické funkcie Návod na riešenie úlohy Na riešenie úlohy využijeme poznatky z exponenciálnych funkcií : ak má byť funkcia rastúca, tak a›1 ak má byť funkcia klesajúca ,tak 0‹a‹1 Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy 337

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy a. f: y= ax je rastúca ‹=› a ›1 ›1 › 0 c 2c -1 › 0 2c › 1 (0,5 ; ∞) Pokračovanie riešenia úlohy c › 0,5 Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie 338

a logaritmické funkcie Úplné riešenie úlohy b. f: y= ax je klesajúca ‹=› 0‹a‹1 ‹1 ‹ 0 (2c + 1 › 0 Λ 2c – 1 › 0) ν (2c + 1 ‹ 0 Λ 2c – 1 ‹ 0) (c › -0,5 Λ c › 0,5) ν ( c ‹ -0,5 Λ c ‹ 0,5) 2c -1 ‹ 0 c (0,5; ∞) ν (- ∞; - 0,5) 2c ‹ 1 c (- ∞; -0,5) c ‹ 0,5 c (-∞;-0,5) Exponenciálne a logaritmické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie 339

Tabuľka č.1 - Vlastnosti lineárnych funkcií f: y = a.x+b graf funkcie

Tabuľka č.2 - Vlastnosti kvadratických funkcií f: y=a.x2+b.x+c

Tabuľka č.3 – Grafy a vlastnosti goniometrických funkcií

Tabuľka č.4- vlastnosti mocninových funkcií f: y= xn, nєN

Tabuľka č.5- vlastnosti mocninových funkcií f: y= x –n, nєN

Tabuľka č.6 vlastnosti exponenciálnych funkcií f: y= ax

Tabuľka č.7- vlastnosti logaritmických funkcií f: y= loga x