Koncept graničnog sloja Mehanika Fluida Koncept graničnog sloja

Sadržaj predmeta: Uvod. Osnovni principi i pojmovi Svojstva fluida Fluidi u mirovanju (statika fluida) Strujanje fluida (kinematika fluida) Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine kretanja) Diferencijalna analiza strujanja fluida (zakoni o održanju mase i količine kretanja, strujna funkcija, Košijeva i Navier-Stoksova jednačina) Dimenziona analiza i teorija sličnosti Strujanje neviskoznih fluida, Nerotaciono strujanje, Dvodimenzionalno strujanje, Strujna funkcija i potencijal brzina, Superpozicija Strujanje viskoznih fluida u cevi. Laminarno i turbulentno strujanje. Koncept graničnog sloja Osnovni pojmovi računarske dinamike fluida

10 Debljina graničnog sloja Koncept graničnog sloja Jednačine graničnog sloja

Jednačine strujanja Izveli smo Košijevu, Navier-Stoksovu i Ojlerovu jednačinu kao osnovne jednačine kretanja fluida: 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 𝑉 =𝜌 𝑔 + 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 Košijeva jednačina (KJ) Opisuju viskozno strujanje, teško se rešavaju, mogu se primeniti za celokupan domen. 𝜌 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 =− 𝛻 𝑃+𝜌 𝑔 +𝜇 𝛻 2 𝑉 Navier-Stoksova jednačina (NSJ) 𝜌 𝜕 𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 ⋅ 𝛻 𝑉 =− 𝛻 𝑃+𝜌 𝑔 Opisuje neviskozno strujanje, lakše se rešava, ali ne važi za ceo domen strujanja Ojlerova jednačina (OJ) Važi KJ i NSJ Važi OJ Važi OJ Ne važi OJ Ne važi OJ, granični sloj

Koncept graničnog sloja - Prandtlov pristup Do sredine IXX veka NS jednačine su bile poznate, ali ih je bilo moguće rešiti za veoma jednostavne geometrije. Matematičari su uspeli da izvedu analitička rešenja Ojlerove jednačine za komplikovanije geometrije, ali pod uslovom neviskoznog/nerotacionog strujanja čime su zanemarili postojanje otpora na zidu oko kojeg struji fluid. Bilo je potrebno iskoristiti ovaj napredak i dobiti rešenja za celokupan domen strujanja oko složene geometrije. Da bi se premostio jaz između NS jednačina i OJ, uveden je koncept graničnog sloja. Koncept graničnog sloja je uveo Ludvig Prandtl tako što je strujanje podelio na dve oblasti. Strujanje uz zid i strujanje u masi fluida daleko od zida. Za strujanje u masi fluida (slobodno strujanje) ostaje da važi neviskozno/nerotaciono strujanje (naročito pri velikim Re). Prvo možemo rešiti Ojlerovu i Bernulijevu jednačinu za strujanje u masi fluida (dobiti pritiske i brzine) i zatim uvesti granični sloj za oblasti uz zidove primenom jednačina graničnog sloja. Prandtlovu ideju su dalje razvili njegovi studenti Blazijus i Karman. Ludwig Prandtl  (1875 –1953) Paul Richard Heinrich Blasius (1883–1970) Theodor von Kármán (1881–1963)

Koncept graničnog sloja - Prandtlov pristup Uvođenjem koncepta graničnog sloja kao mosta između NS i OJ bilo je omogućeno opisivanje složenih strujanja. Međutim, u XX-XXI veku je počeo vrtoglavi razvoj računara čime je bilo omogućeno direktno numeričko rešavanje NS jednačina za celokupan domen strujanja (CFD). Koncept graničnog sloja je i dalje važan, jer nam može dati brza i prihvatljiva rešenja. Ojlerova jednačina 𝑦 Koncept graničnog sloja Granični sloj Navier-Stoksova jednačina 𝑉 𝑥 𝛿(𝑥) Da bismo uspešno primenili koncept graničnog sloja moramo pretpostaviti da je on veoma tanak. Debljina graničnog sloja se obeležava sa δ. Smatra se da se nalazimo u graničnom sloju dok ne dostignemo 99% od brzine strujanja slobodnog fluida u masi. δ – 99% V. Najčešći primer strujanja i graničnog sloja je kada fluid nailazi paralelno na ploču.

Koncept graničnog sloja - Prandtlov pristup Za opisivanje režima strujanja u graničnom sloju koristimo Rejnoldsov broj u sledećem obliku: 𝑅𝑒 𝑥 = 𝜌𝑉𝑥 𝜇 = 𝑉𝑥 𝜈 x je udaljenost od početka ploče, V je brzina fluida u masi, ρ – gustina, μ, ν – koeficijenti viskoznosti. Povećanjem 𝑅𝑒 𝑥 opada debljina graničnog sloja. Rejnoldsov broj nam omogućava da odredimo režim strujanja, ali i da odredimo debljinu graničnog sloja, koeficijent otpora i silu kojom fluid deluje na zid (ploču). 𝑅𝑒 𝑥2 𝑉 2 > 𝑉 1 𝑅𝑒 𝑥2 > 𝑅𝑒 𝑥1 𝛿 1 > 𝛿 2 𝑅𝑒 𝑥1 𝑦 𝛿 1 𝑉 𝛿 2 Često dolazi do zabune da funkcija δ(x) predstavlja strujnicu. To naravno nije tačno jer strujnice presecaju δ(x). 𝑥 Strujnice

Rejnoldsov broj raste sa porastom udaljenosti x od mesta gde fluid nailazi na površinu. Čak i ako ne menjamo brzinu, režim strujanja u graničnom sloju se menja sa x osom i prelazio od laminarnog do turbulentnog. Možemo predstaviti debljinu graničnog sloja i režime strujanja (koji se opisuje karakterističnim vrednostima za 𝑅𝑒 𝑥 ). 𝑉 𝑉 𝑦 𝑉 𝑉 𝛿 𝑥 𝑢=0,99𝑈 (0,99𝑉) 𝑉 Prikazana je skica. U praksi je: 𝑥 𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟𝑛𝑜 << 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑙𝑎𝑧𝑛𝑜 𝑥 Laminarno Prelazno Turbulentno 𝑅𝑒 𝑥 ≅ 10 5 𝑅𝑒 𝑥 ≅ 3×10 6

Koncept graničnog sloja Pred debljine graničnog sloja 𝛿 𝑥 pri 𝑢=0,99𝑈 u mehanici fluida definišu se još i debljina istiskivanja (displacement thickness) i debljina gubitka momentuma (momentum thickness): 𝛿 ∗ = 0 ∞ 1− 𝑢 𝑈 𝑑𝑦 Debljina istiskivanja: Θ= 0 ∞ 𝑢 𝑈 1− 𝑢 𝑈 𝑑𝑦 Debljina gubitka momentuma : Debljina istiskivanje predstavlja deo fluida koji je istisnut iz uniformnog toka zbog postojanja graničnog sloja. Možemo reći da je to udaljenost do koje strujnice bivaju pomerene zbog uticaja graničnog sloja. Na neki način predstavlja fiktivni zid koji je nastao usled graničnog sloja. Debljina gubitka momentuma se definiše kao gubitak količine kretanja po jedinici dužine (/𝜌 𝑈 2 ) usled postojanja graničnog sloja. Definisaćemo još nekoliko važnih parametara pri obstrujanvanju tela i stvaranju graničnog sloja: Smicajni napon na zidu: Lokalni koeficijent trenja: Koeficijent trenja: 𝜏 𝑤 = 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑦=0 𝐶 𝑓 = 𝜏 𝑤 1 2 𝜌 𝑈 2 𝐶 𝐷𝑓 = 0 𝐿 𝐶 𝑓 𝑑𝑥

Koncept graničnog sloja Granični sloj je lakše razmatrati ako promenimo način posmatranja koordinatnog sistema: 𝑥 𝑦 𝑈(𝑥) 𝑢 𝑣 𝛿 𝑥 Granični sloj 𝐿 𝑦 𝑉 𝑈(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑈(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑈(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥=0 𝐿 Sada možemo definisati red veličina i proporcionalnost svih karakterističnih veličina graničnog sloja: 𝑥~𝐿, 𝜕 𝜕𝑥 ~ 1 𝐿 𝑦~𝛿, 𝜕 𝜕𝑦 ~ 1 𝛿 𝑈 𝐿 ~ 𝑣 𝛿 ,𝑣~ 𝑈𝛿 𝐿 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 =0 𝑢~𝑈 𝑃− 𝑃 ∞ ~𝜌 𝑈 2 𝑥 ∗ = 𝑥 𝐿 ; 𝑦 ∗ = 𝑦 𝛿 ; 𝑢 ∗ = 𝑢 𝑈 ; 𝑣 ∗ = 𝑣𝐿 𝑈𝛿 ; 𝑃 ∗ = 𝑃− 𝑃 ∞ 𝜌 𝑈 2 Normalizovane bezdimenzione veličine (prvog reda~1):

Jednačine graničnog sloja 𝑥 𝑦 𝑈(𝑥) Sigurni smo (pretpostavljamo) da je 𝑳≫𝜹. Razmotrićemo posledice ove činjenice na izvedene proporcionalnosti: 𝛿 𝑥 𝑢~𝑈;𝑣~ 𝑈𝛿 𝐿 →𝑢≫𝑣 𝑢 𝑣 𝐿 𝜕 𝜕𝑥 ~ 1 𝐿 ; 𝜕 𝜕𝑦 ~ 1 𝛿 → 𝜕 𝜕𝑥 ≪ 𝜕 𝜕𝑦 U graničnom sloju važe NS jednačine i jednačina kontinuiteta. Pišemo za dve dimenzije, stacionarno i bez gravitacione komponente (granični sloj je tanak): Uzimajući u obzir izvedene nejednakosti, zanemarujemo pojedine članove. 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =− 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 +𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =− 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑥 +𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 Za x osu: 𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 =− 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑦 +𝜈 𝜕 2 𝑣 𝜕 𝑥 2 +𝜈 𝜕 2 𝑣 𝜕 𝑦 2 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ≅0 Za y osu: 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 =0 Jednačina kontinuiteta:

Jednačine graničnog sloja Jednačine graničnog sloja – postupak rešavanja Izračunati (odrediti) 𝑈(𝑥). Profil brzina u masi fluida. Pretpostaviti da je graniči zid veoma tanak i da ne utiče na strujanje fluida daleko od zida. Rešiti jednačine graničnog sloja. Prestaviti rešenja koja nas interesuju npr. 𝛿 𝑥 Proveriti da li važe pretpostavke koje smo uveli pri proračunu graničnog sloja (sloj mora biti tanak) Kada ne možemo prihvatiti aproksimacije za granični sloj: Ako Rejnoldsov broj nije dovoljno velik Ne možemo usvojiti nepostojanje gradijenta pritiska po y osi. Strujanje preko zakrivljenih tela. Ukoliko je Rejnoldsov broj je suviše velik (prestaje laminarno strujanje) Ukoliko dolazi do odvajanja graničnog sloja. Tada se javlja povratni tok.

Jednačine graničnog sloja-Prandtl/Blazijus Izveli smo osnovne jednačine graničnog sloja. Razmotrićemo prvo y osu za koju smo izveli: 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ≅0. Znači da se pritisak ne menja duž y ose, za neku poziciju na x osi. Ovo je važno sa aspekta merenja pritiska u slobodnom toku fluida. Za x osu smo izveli: 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =− 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 ili 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑥 +𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 Ukoliko se radi o uniformnom strujanju preko ravne beskonačno tanke horizontalne ploče, tada je 𝑈 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Tačnije, ne postoji gradijent pritiska 𝜕𝑃 𝜕𝑥 =0. Ako to uvrstimo u izvedene izraze i još dodamo jednačinu kontinuiteta, dobijamo: 𝑃 1 𝑥 𝑦 𝑃 2 𝑃 1 𝛿 𝑥 𝑃 1 𝑥 𝑦 𝑃 2 Nema druge zavisnosti pa možemo pisati i totalni diferencijal 𝑑𝑃 𝑑𝑥 i 𝑑𝑈 𝑑𝑥 𝑃 2 𝑃 1 𝑃 2 𝑦=0;𝑢=𝑣=0 𝑦→∞;𝑢→𝑈 Potrebno je i definisati početak integracije po x osi: 𝑢= 𝑢 𝑝𝑜č𝑒𝑡𝑛𝑜 𝑦 ;𝑥= 𝑥 𝑝𝑜č𝑒𝑡𝑛𝑜 (ne mora da bude 𝑥=0). Problem rešavamo duž x ose bez zadavanja graničnog uslova sa desne strane. 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 Dobijamo dve parcijalno diferencijalne jednačine, pa su nam neophodni granični uslovi: 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 =0

Jednačine graničnog sloja-Prandtl/Blazijus Zanimljivo je primetiti da promene koje se javljaju niz ploču ne mogu da utiču na granični sloj pre te promene (prepreke). Razlog je što nemamo granični uslov niz ploču (sa desne strane). Iako je problem naizgled jednostavan, nije moguće izvesti analitičko rešenje. Blazijus je pogodnim smenama preveo ove jednačine u jednu običnu diferencijalnu jednačinu koju je uspeo da reši numerički (Runge-Kutta metodom). Rešenje važi za laminarno strujanje preko ravne ploče. Smene: 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 =0 𝑦=0;𝑢=𝑣=0 𝑦→∞;𝑢→𝑈 𝑢= 𝑢 𝑝𝑜č𝑒𝑡𝑛𝑜 𝑦 ;𝑥= 𝑥 𝑝𝑜č𝑒𝑡𝑛𝑜 𝜂=𝑦 𝑈 𝜈𝑥 𝑓 ′ (𝜂)= 𝑢 𝑈 𝑓 ′ = 𝑢 𝑈 =0,99 Nova obična diferencijalna jednačina i granični uslovi: 𝑓 ′ = 𝑢 𝑈 𝑓 ′ 0 =0 𝑓 0 =0 𝑓 ′ (∞)=1 2𝑓 ′′′ 𝜂 + 𝑓 𝜂 𝑓 ′′ 𝜂 =0 𝜂=𝑦 𝑈 𝜈𝑥 𝜂=5,𝑦=𝛿, 𝑅𝑒 𝑥 = 𝑈𝑥 𝜈 𝛿 𝑥 = 5 𝑅𝑒 𝑥 𝛿 ∗ 𝑥 = 1,721 𝑅𝑒 𝑥 Θ 𝑥 = 0,664 𝑅𝑒 𝑥 𝜂=4,91≈5 𝜏 𝑤 = 0,332𝜌 𝑈 2 𝑅𝑒 𝑥 𝐶 𝑓 = 0,664 𝑅𝑒 𝑥 𝐶 𝐷𝑓 = 1,328 𝑅𝑒 𝐿 𝜂

Jednačine graničnog sloja – Turbulentno strujanje Za razliku od laminarnog strujanja za koji smo izveli izraz i napisali jednačine, jedinstveno rešenje nije moguće napisati za turbulentno strujanje u graničnom sloju (GS). Turbulentno strujanje u graničnom sloju je kompleksno i promenjivo i vrednost koju prikazujemo u profilu brzina predstavlja srednju vrednost. Analitička rešenja za parametre graničnog sloja nisu moguća. Rešenja koja su dobijena za turbulentni GS su empirijske ili u najboljem slučaju poluempirijske jednačine. Karakteristike turbulentnog strujanja smo već opisivali. Vrtlozi se javljaju u turbulentnom GS i to povećava prenos mase i energije sa zida na masu fluida. Profil brzina je uniformniji i uniformnost se postiže brže nego kod laminarnog GS. Najpoznatija empirijska jednačina za turbulentni GS je pravilo 1/7: 0,99 Turbulentno, 1/7 𝑢 𝑈 ≅ 𝑦 𝛿 1 7 𝑦 𝛿 Laminarno, Blazijus 𝛿 𝑥 = 0,16 𝑅𝑒 𝑥 1/7 𝛿 ∗ 𝑥 = 0,02 𝑅𝑒 𝑥 1/7 Θ 𝑥 = 0,016 𝑅𝑒 𝑥 1/7 𝐶 𝑓 = 0,027 𝑅𝑒 𝑥 1/7 Treba napomenuti da se u literaturi može naći veliki broj različitih empirijskih izraza za laminarni i turbulentni GS. 𝑢 𝑈

Gradijent pritiska i odvajanje graničnog sloja Prethodno izvedene jednačine važe kada ne postoji gradijent pritiska (u x i y pravcu). Ovo možemo razmatrati na primeru ravne beskonačno tanke ploče. Strujanje oko složenijih oblika zahteva razmatranje gradijenta pritiska ( 𝜕𝑃 𝜕𝑥 ≠0) i njegovog uticaja na granični sloj. Kao i kod graničnih slojeva bez gradijenta pritiska i u ovom slučaju postoji laminarno i turbulentno strujanje. Gradijent pritiska može biti pozitivan i negativan (poželjan i nepoželjan). Ukoliko imamo ubrzanje fluida 𝑈(𝑥) raste dok 𝑃(𝑥) opada ( 𝜕𝑃 𝜕𝑥 <0), to je negativan gradijent pritiska i on je „poželjan“. Ukoliko brzina opada, 𝑃(𝑥) raste ( 𝜕𝑃 𝜕𝑥 >0), i to je pozitivan gradijent pritiska – „nepoželjan“. Prilikom velikih vrednosti pozitivnog gradijenta pritiska (usporavanja fluida) može doći do odvajanja graničnog sloja (povratnog toka). Jednačine graničnog sloja nisu primenjive nakon odvajanja graničnog sloja. Tačka odvajanja graničnog sloja Povratni tok („Mehur“ povratnog toka) 𝜕𝑃 𝜕𝑥 <0 𝜕𝑃 𝜕𝑥 >0

Gradijent pritiska i odvajanje graničnog sloja 1 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 <0 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =− 1 𝜌 𝑑𝑃 𝑑𝑥 +𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 Strujnice 𝑦 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =𝑈 𝑑𝑈 𝑑𝑥 +𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 𝛿 𝑥 Na zidu mora da važi 𝑢=0 i 𝑣=0, pa sledi: Zid 𝑥 𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 𝑦=0 =−𝑈 𝑑𝑈 𝑑𝑥 = 1 𝜌 𝑑𝑃 𝑑𝑥 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 >0 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 =0 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 <0 Ukoliko imamo negativan gradijent pritiska 𝑑𝑃 𝑑𝑥 <0 tj. 𝑑𝑈 𝑑𝑥 >0, sledi da je parcijalni izvod drugog reda negativan 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 𝑦=0 <0. Znamo da taj izraz mora ostati negativan kako se u približava 𝑈(𝑥) u masi fluida. Stoga očekujemo da profil bude zaobljen bez prevojnih tačaka – na slici obeleženo sa 1 (matematika: u prevoju funkcija menja znak drugog izvoda). Ukoliko nemamo gradijent brzina (pritiska) tada je i drugi izvod jednak nuli. Važi Baluzijusovo rešenje. Profil je sličan kao na slici 1, ali je 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 𝑦=0 =0. Ako je gradijent pritiska pozitivan 𝑑𝑃 𝑑𝑥 >0 tj. 𝑑𝑈 𝑑𝑥 <0, sledi da je parcijalni izvod drugog reda pozitivan. Znamo da taj izraz mora postati negativan kako se u približava 𝑈(𝑥) u masi fluida. Zaključujemo da mora postojati prevojna tačka (promena znaka drugog izvoda) – slika 2, crveni kružić.

Gradijent pritiska i odvajanje graničnog sloja 1 2 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =− 1 𝜌 𝑑𝑃 𝑑𝑥 +𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 Strujnice 3 𝑦 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =𝑈 𝑑𝑈 𝑑𝑥 +𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 4 𝛿 𝑥 Zid 𝜈 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 𝑦=0 =−𝑈 𝑑𝑈 𝑑𝑥 = 1 𝜌 𝑑𝑃 𝑑𝑥 𝑥 𝜏 𝑤 >0 Odvajanje GS 𝑑𝑃 𝑑𝑥 <0 𝜏 𝑤 =0 𝜏 𝑤 ~ 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑦=0 𝑑𝑃 𝑑𝑥 raste, 𝜏 𝑤 opada 𝑑𝑃 𝑑𝑥 >0 𝜏 𝑤 <0 Možemo uočiti da napon 𝜏 𝑤 opada sa porastom gradijenta pritiska tj. kada drugi izvod brzine u po y postaje sve više pozitivan. Kada 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑦=0 postane nula tada nemamo napon smicanja na zidu – slika 3. To je kritična tačaka i svako povećanje gradijenta pritiska će dovesti do odvajanja graničnog sloja, povratnog toka i negativnog napona smicanja ( 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑦=0 <0 ) - slika 4.

Primer strujanja (realnog, viskoznog) fluida oko cilindara Povratni tok Vrtlog, vrtloženje Tačka odvajanja GS 𝑉 𝑅𝑒≈20

Turbulentno Laminarno Odvajanje GS Neviskozno Nerotaciono Neviskozno

Integralna količina kretanja za granični sloj Sa inženjerskog aspekta nije uvek neophodno da znamo šta se detaljno događa u graničnom sloju već samo da odredimo njegovu debljinu, koeficijent otpora itd. Tada možemo pristupiti integralnoj analizi za odabranu kontrolnu zapreminu. 𝑈(𝑥) Kontrolna zapremina 𝑃 𝑙𝑒𝑣𝑜 𝑃 𝑑𝑒𝑠𝑛𝑜 𝛿 𝑥 GS 𝜏 𝑤 𝑑𝑥 Postavljanjem odgovarajućeg bilansa i matematičkim sređivanjem dobijamo Karmanovu jednačinu: 𝑑 𝑈 2 Θ 𝑑𝑥 +𝑈 𝑑𝑈 𝑑𝑥 𝛿 ∗ = 𝜏 𝑤 𝜌 𝐶 𝑓 2 = 𝑑Θ 𝑑𝑥 + 2+𝐻 Θ 𝑈 𝑑𝑈 𝑑𝑥 Gde je 𝐻= 𝛿 ∗ /Θ i predstavlja faktor oblika Potrebno je napomenuti da Karmanova jednačina važi za stacionarno, nestišljivo strujanje u graničnom sloju bez obzira na to da li je strujanje laminarno ili turbulentno, sa ili bez gradijenta pritiska. Rešavanje ipak zahteva integraciju koja može biti zametna. Neka rešenja su izvedena, ipak veliku pomoć predstavlja primena računara i CFD.