Periodične funkcije Periodična funkcija je tip funkcije koja ponavlja svoje vrednosti u određenim intervalima (periodama). Period se definiše kao trajanje jednog ciklusa događaja koji se ponavlja. Učestanost (frekvencija) je broj ponavaljanja događaja u jedinici vremena

Primeri periodičnih napona i struja

Vremenski oblik

Amplituda ili maksimalna vrednost - Faza - Period: Učestanost naizmenične struje u Evropi je 50 Hz. Učestanost naizmenične struje u Severnoj Americi je 60 Hz.

Osnovi teorije naizmeničnih struja Ako se metalni okvir u magnetnom polju , koje je ortogonalno u odnosu na osu rotacije, obrće ugaonom brzinom na osnovu Faradejevog zakona se može napisati:

Efektivna vrednost naizmenične struje Ako uporedimo energiju jednosmerne i naizmenične struje u intervalu T Efektivna (srednje kvadratna) vrednost periodične struje ima isti efekat kao i jednosmerna struja iste vrednosti. Slično se može izračunati: Proračun srednje vrednosti naizmenične struje nije preterano smislen: dobijamo Efektivna vrednost napona na monofaznim/trofaznim utičnicama u Evropi je definisana kao 230 V, odnosno 400 V sa tolerancijom od ±10%

Veza efektivne vrednosti i amplitude Slično:

Proračun struje i snage u kolu sa naizmeničnom strujom Naizmenični elektromotorni izvor povezan je na otpornik: Trenutna snaga definiše se kao:

Proračun struje i snage – induktivno opterećenje Naizmenični elektromotorni izvor povezan je na zavojnicu:

Proračun struje i snage – kapacitivno opterećenje Naizmenični elektromotorni izvor povezan je na kondenzator:

Fazori Fazor je predstava sinusoidne funkcije čija amplituda (A), ugaona učestanost (ω) i faza (θ) ne zavise od vremena. Fazor je vektor koji se okreće ugaonom brzinom ω. Kako je ugaona učestanost jedinstvena u kolima naizmenične struje ω=2πf, može se izostaviti, tako da ostaju samo A i θ. Korišćenjem fazora, zamenjujemo trigonometriju algebrom, a linearne diferencijalne jednačine postaju algebarske. Kada se utvrđuju odnosi faza na fazorskom dijagramu, pretpostavlja se da se fazori okreću u smeru suprotnom od kazaljke na satu.

Redno RLC kolo Ako uzmemo da struja kasni u odnosu na napon za ugao φ

Ako je pretpostavka da struja kasni u odnosu na napon bila netačna, rezultujuće φ je negativno.

Predstava naizmeničnih struja i napona kao kompleksnih brojeva Iz Ojlerove jednačine: Uvodimo konvenciju da veličine koje su podvučene smatramo kompleksnim: - j se koristi kao imaginarna jedinica da bi se izbeglo mešanje sa oznakama za struju - sabiranje/oduzimanje kompleksnih brojeva - algebarski oblik - množenje/ deljenje kompleksnih brojeva - - eksponencijalni oblik

Ako imamo struju: Ona se može predstaviti kao: Ako je učestanost kola poznata unapred se može izostaviti, tako da dobijamo: U literaturi se može pronaći još jedna forma ove transformacije, zasnovana na kosinusnoj funkciji: Ne postoji značajna razlika, jer ovim transformacijama uzimamo jednu sliku pozicije fazora (rotirajućih vektora). Korišćenje kosinusne umesto sinusne funkcije znači da se ta slika uzima kada se vektori pomere za dodatni ugao (π/2). Značajno je međutim, prilikom rešavanja kola, pridržavati se jedne transformacije. Nekada je transformacija zasnova na maksimalnoj ( ), a ne srednje efektivnoj vrednosti (I). Da bi se izbegla konfuzija, fazori se predstavljaju preko njihovih efektivnih, a ne maksimalnih vrednosti, s obzirom da smo više zainteresovani za efektivne vrednosti. Pišemo:

Primer konverzije iz vremenskog u kompleksni domen Ako u kolu postoje struja i napon: prevesti ove funkcije u njihove kompleksne predstave.

Alternativno:

Najčešće, uglovi se svode tako da pripadnu ili opsegu.

I Primer konverzije iz kompleksnog u vremenski domen Im Re  Ako je struja definisana kao: Za konverziju je neophodna frekvencija (obična ili kružna) - Efektivna vrednost struje Kada se računa faza, mora se obratiti pažnja u kom kvadrantu, na osnovu aritmetičkog oblika, leži fazor, jer arctg daje rezultat u opsegu i funkcija arg je ekvivalentna sa arctg samo ako je realni deo kompleksnog broja pozitivan. Ukoliko je realni deo negativan na rezultat arctg treba dodati ili oduzeti π (uobičajeno je da uglovi budu u ±π opsegu). Im Re  I

Rešavanje rednog RLC kola u kompleksnom domenu Ponovo posmatramo prosto redno RLC kolo

Z je parametar koji se naziva impedansa Na osnovu Ojlerove formule možemo da izračunamo: Z je parametar koji se naziva impedansa

- rezonantna učestanost

Faktor dobrote kola ukazuje na kvalitet zavojnice u kolu

Selektivnost kola predstavlja meru sposobnosti kola da izdvoji željenu učestanost

Generalizovani Omov zakon Za kola naizmenične struje, Omov zakon se primenjuje u generalizovanoj formi, u kojoj se otpornost predstavlja kao impedansa Impedansa je mera suprostavljanja proticanju naizmenične struje u kolu na koje je doveden neki napon. Ako su napon i struja dati kao: Može se izračunati da: - Impedansa se predstavlja u Kartezijanskom ili polarnom obliku

Kirhofovi zakoni za kola sa naizmeničnim strujama Kirhofovi zakoni važe i za kola sa naizmeničnim strujama. KZS se može pisati kao: KZS ne važi za efektivne vrednosti struje. Tako da: Kirhofov zakon za napone (KZN) može se zapisati kao: U poređenju sa KZN u kolima jednosmerne struje, otpornosti su zamenjene impedansama i svi proračuni se rade u kompleksnom obliku. Ako učestanost nije posebno definisana, podrazumeva se da je jednaka učestanosti električne mreže (50 Hz).

Impedansa Impedansa osnovnih pasivnih elemenata u kolu naizmenične struje je: Za proračun impedansi koristi se isti skup pravila koje važe za otpornosti. Ako su impedanse redno povezane, ukupna impedansa jednaka je sumi pojedinačnih impedansi: Ekvivalentna impedansa paralelno vezanih impedansi:

Impedansa i admitansa Otpornost R predstavlja realni deo impedanse, dok imaginarni deo X nazivamo reaktansa. Reaktansa je mera reakcije na promene struje tokom vremena. Komplementarna vrednost, koja je jednaka recipročnoj vrednosti impedanse, naziva se admitansa. Admitansa Y predstavlja meru koliko se struji dozvoljava da protiče kroz kolo. Admitansa Y sastoji se iz provodnosti G, koja je njen realni deo, i imaginarnog dela tj. susceptanse B. Susceptansa je predstava lakoće proticanja struje kroz kondenzator ili zavojnicu (koliko su oni susceptibilni za proticanje struje).