TRANSFORMATA FOURIER (INTEGRALA FOURIER)

TRANSFORMATA FOURIER INVERSĂ 𝑭 𝝎 = −∞ ∞ 𝒇(𝒕) 𝒆 −𝒊𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝑭 𝝎 =𝑹𝒆 𝑭 𝝎 +𝒊𝑰𝒎 𝑭 𝝎 = 𝑭 𝝎 𝒆 −𝒊𝝋(𝝎) TRANSFORMATA FOURIER INVERSĂ 𝒇(𝒕) 𝟏 𝟐𝝅 −∞ ∞ 𝑭 𝝎 𝒆 𝒊𝝎𝒕 𝒅𝝎 𝓕 𝒇 𝒕 =𝑭 𝝎 𝓕 −𝟏 𝑭 𝝎 =𝒇(𝒕)

FORME SPECIALE ALE TRANSFORMATEI FOURIER CAZUL FUNCŢIILOR COMPLEXE 𝒇 𝒕 = 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 +𝒊 𝒇 𝑰𝒎 (𝒕) substituind obţinem 𝑭 𝝎 = −∞ ∞ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒆 −𝒊𝝎𝒕 𝒅𝒕 +𝒊 −∞ ∞ 𝒇 𝑰𝒎 (𝒕) 𝒆 −𝒊𝝎𝒕 şi, utilizând identitatea Euler, 𝒆 𝒊𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 +𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝑭 𝝎 = −∞ ∞ [ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝒇 𝑰𝒎 (𝒕) 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕]𝒅𝒕 −𝒊 −∞ ∞ [ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 − 𝒇 𝑰𝒎 (𝒕) 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 ]𝒅𝒕

𝒇 𝑹𝒆 𝒕 = 𝟏 𝟐𝝅 −∞ ∞ 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 − 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒅𝝎 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 = −∞ ∞ [ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝒇 𝑰𝒎 (𝒕) 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕]𝒅𝒕 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 =− −∞ ∞ [ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 − 𝒇 𝑰𝒎 (𝒕) 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 ]𝒅𝒕 𝒇 𝒕 = 𝟏 𝟐𝝅 −∞ ∞ 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 +𝒊 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 𝒆 𝒊𝝎𝒕 𝒅𝝎 𝒇 𝒕 = 𝟏 𝟐𝝅 −∞ ∞ 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 − 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒅𝝎 +𝒊 𝟏 𝟐𝝅 −∞ ∞ 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 + 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒅𝝎 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 = 𝟏 𝟐𝝅 −∞ ∞ 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 − 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒅𝝎 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 = 𝟏 𝟐𝝅 −∞ ∞ 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 + 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒅𝝎

CAZUL FUNCŢIILOR REALE 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 = −∞ ∞ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 =− −∞ ∞ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒅𝒕 Dacă f(t) este reală, F(ω) este (în general) complexă Deoarece orice funcţie f(t) poate fi exprimată ca o sumă dintre o funcţie pară şi o funcţie impară, vom considera separat cazurile în care funcţia f(t) este reală şi pară, respectiv reală şi impară

funcţia cos este pară funcţia sin este impară produsul dintre două funcţii impare este o funcţie pară produsul dintre două funcţii pare este o funcţie pară produsul dintre o funcţie impară şi o funcţie pară este o funcţie impară

Cazul în care f(t) este reală şi pară 𝒇 𝑹𝒆 −𝒕 = 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒇 𝑹𝒆 −𝒕 = 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 pară 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 impară 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 =𝟐 𝟎 ∞ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 =𝒑𝒂𝒓 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 =− −∞ ∞ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒅𝒕 =𝟎 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 =𝒑𝒂𝒓 Deci: 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 =𝒑𝒂𝒓𝒂⇒𝑭 𝝎 =𝒓𝒆𝒂𝒍𝒂 Pentru a determina dacă F(ω) este pară sau impară, calculăm 𝑭 𝑹𝒆 −𝝎 =𝟐 𝟎 ∞ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝐜𝐨𝐬( −𝝎)𝒕 𝒅𝒕=𝟐 𝟎 ∞ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒅𝒕= 𝑭 𝑹𝒆 (𝝎) CONCLUZIE: Dacă f(t) este reală şi pară, F(ω) este reală şi pară

Cazul în care f(t) este reală şi impară −𝒇 𝑹𝒆 −𝒕 = 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 −𝒇 𝑹𝒆 −𝒕 = 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 impară 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 pară 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 = −∞ ∞ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒅𝒕=𝟎 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 =𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 =−𝟐 𝟎 ∞ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 =𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 Deci: 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 =𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓ă 𝑭 𝝎 = imaginară Pentru a determina dacă F(ω) este pară sau impară, calculăm 𝑭 𝑰𝒎 −𝝎 =−𝟐 𝟎 ∞ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒔𝒊𝒏 −𝝎 𝒕 𝒅𝒕 =𝟐 𝟎 ∞ 𝒇 𝑹𝒆 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒅𝒕 =− 𝑭 𝑰𝒎 (𝝎) CONCLUZIE: Dacă f(t) este reală şi impară, F(ω) este imaginară şi impară

CAZUL FUNCŢIILOR IMAGINARE 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 = −∞ ∞ 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 =− −∞ ∞ 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒅𝒕 Dacă f(t) este imaginară, F(ω) este (în general) complexă Deoarece orice funcţie f(t) poate fi exprimată ca o sumă dintre o funcţie pară şi o funcţie impară, vom considera separat cazurile în care funcţia f(t) este imaginară şi pară, respectiv imaginară şi impară

Cazul în care f(t) este imaginară şi pară 𝒇 𝑰𝒎 −𝒕 = 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒇 𝑰𝒎 −𝒕 = 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 pară 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 impară 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 = −∞ ∞ 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒅𝒕=𝟎 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 =𝒑𝒂𝒓 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 =𝟐 𝟎 ∞ 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 =𝒑𝒂𝒓 Deci: 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 =𝒑𝒂𝒓a 𝑭(𝝎) imaginară Pentru a determina dacă F(ω) este pară sau impară, calculăm 𝑭 𝑰𝒎 −𝝎 =𝟐 𝟎 𝝅 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒄𝒐𝒔 (−𝝎)𝒕 𝒅𝒕= 𝟐 𝟎 𝝅 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒅𝒕= 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 CONCLUZIE: Dacă f(t) este imaginară şi pară, F(ω) este imaginară şi pară

Cazul în care f(t) este imaginară şi impară −𝒇 𝑰𝒎 −𝒕 = 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 −𝒇 𝑰𝒎 −𝒕 = 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 impară 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 pară 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 = −∞ ∞ 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒅𝒕=𝟐 𝟎 ∞ 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 =𝒑𝒂𝒓 𝑭 𝑰𝒎 𝝎 = −∞ ∞ 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒅𝒕 =𝟎 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 =𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 Deci: 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 =𝒑𝒂𝒓a 𝑭(𝝎) imaginară Pentru a determina dacă F(ω) este pară sau impară, calculăm 𝑭 𝑹𝒆 −𝝎 =𝟐 𝟎 ∞ 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒔𝒊𝒏 (−𝝎)𝒕 𝒅𝒕 =−𝟐 𝟎 ∞ 𝒇 𝑰𝒎 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 𝒅𝒕 =− 𝑭 𝑹𝒆 𝝎 CONCLUZIE: Dacă f(t) este imaginară şi impară, F(ω) este reală şi impară

𝒇(𝒕) 𝑭(𝝎) Reală Imaginară Complexă Pară Impară   Reală şi pară Reală şi impară Imaginară şi pară Imaginară şi impară

PROPRIETĂŢI ŞI TEOREME Liniaritatea 𝒂 𝟏 𝒇 𝟏 𝒕 + 𝒂 𝟐 𝒇 𝟐 𝒕 +…+ 𝒂 𝒏 𝒇 𝒏 𝒕 ⇔ 𝒂 𝟏 𝑭 𝟏 𝝎 + 𝒂 𝟐 𝑭 𝟐 𝝎 +…+ 𝒂 𝒏 𝑭 𝒏 𝝎 Simetria 𝑭(𝒕)⇔𝟐𝝅𝒇(−𝝎) Scalarea în domeniul timp 𝒇(𝒂𝒕)⇔ 𝟏 𝒂 𝑭 𝝎 𝒂

Deplasarea în domeniul timpului 𝒇(𝒕− 𝒕 𝟎 )⇔𝑭(𝝎) 𝒆 −𝒊𝝎 𝒕 𝟎 Deplasarea în domeniul frecvenţei 𝒆 𝒊 𝝎 𝟎 𝒕 𝒇(𝒕)⇔𝑭(𝝎− 𝝎 𝟎 ) 𝒆 𝒊 𝝎 𝟎 𝒕 𝒇(𝒂𝒕)⇔𝑭 𝝎− 𝝎 𝟎 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝟎 𝒕 = 𝒆 𝒊 𝝎 𝟎 𝒕 + 𝒆 −𝒊 𝝎 𝟎 𝒕 𝟐 𝒇(𝒕) 𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝟎 𝒕 ⇔ 𝑭 𝝎− 𝝎 𝟎 +𝑭(𝝎+ 𝝎 𝟎 ) 𝟐 𝒇(𝒕) 𝒔𝒊𝒏 𝝎 𝟎 ⇔ 𝑭 𝝎− 𝝎 𝟎 −𝑭(𝝎+ 𝝎 𝟎 ) 𝟐𝒊

Derivarea în domeniul timpului 𝒅 𝒏 𝒅 𝒕 𝒏 𝒇(𝒕)⇔ 𝒊𝝎 𝒏 𝑭(𝝎) Derivarea în domeniul frecvenţei −𝒊𝒕 𝒏 𝒇(𝒕)⇔ 𝒅 𝒏 𝒅 𝝎 𝒏 𝑭(𝝎) Integrarea în domeniul timpului −∞ 𝒕 𝒇(𝝉)𝒅𝝉 ⇔ 𝑭(𝝎) 𝒊𝝎 +𝝅𝑭(𝟎)𝜹(𝝎)

Valorile conjugate în timp şi complex 𝒇 ∗ (𝒕)⇔ 𝑭 ∗ (−𝝎) Convoluţia în domeniul timpului 𝒇 𝟏 𝒕 ∗ 𝒇 𝟐 (𝒕)⇔ 𝑭 𝟏 (𝝎) 𝑭 𝟐 (𝝎) Convoluţia în domeniul frecvenţei 𝒇 𝟏 𝒕 𝒇 𝟐 𝒕 ⇔ 𝟏 𝟐𝝅 𝑭 𝟏 𝝎 ∗ 𝑭 𝟐 (𝝎)

Aria de sub f(t) Aria de sub F(ω) Teorema lui Parseval 𝑭 𝟎 = −∞ ∞ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 Aria de sub F(ω) 𝒇 𝟎 = 𝟏 𝟐𝝅 −∞ ∞ 𝑭(𝝎)𝒅𝝎 Teorema lui Parseval −∞ ∞ 𝒇(𝒕) 𝟐 𝒅𝒕 = 𝟏 𝟐𝝅 −∞ ∞ 𝑭(𝝎) 𝟐 𝒅𝝎

PROPRIETATEA 𝑓(𝑡) 𝐹(𝜔) Liniaritatea 𝑎 1 𝑓 1 𝑡 + 𝑎 2 𝑓 2 𝑡 +… 𝐹 1 𝜔 + 𝑎 2 𝐹 2 𝜔 +… Simetria 𝐹(𝑡) 2𝜋𝑓(−𝜔) Scalarea în domeniul timp 𝑓(𝑎𝑡) 𝐹 𝜔 𝑎 Deplasarea în domeniul timp 𝑓(𝑡− 𝑡 0 ) 𝐹(𝜔) 𝑒 −𝑖𝜔 𝑡 0 Deplasarea în domeniul frecvenţă 𝑒 𝑖 𝜔 0 𝑡 𝑓(𝑡) 𝐹(𝜔− 𝜔 0 ) Derivarea în domeniul timp 𝑑 𝑛 𝑑 𝑡 𝑛 𝑓(𝑡) 𝑖𝜔 𝑛 𝐹(𝜔) Derivarea în domeniul frecvenţă −𝑖t 𝑛 𝑓(𝑡) 𝑑 𝑛 𝑑 𝜔 𝑛 𝐹(𝜔) Integrarea în domeniul timp −∞ 𝑡 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 𝐹(𝜔) 𝑖𝜔 +𝜋𝐹(0)𝛿(𝜔) Funcţii conjugate 𝑓 ∗ (𝑡) 𝐹 ∗ (−𝜔) Convoluţia în domeniul timp 𝑓 1 𝑡 ∗ 𝑓 2 (𝑡) 𝐹 1 (𝜔) 𝐹 2 (𝜔) Convoluţia în domeniul frecvenţă 𝑓 1 𝑡 𝑓 2 𝑡 1 2𝜋 𝐹 1 𝜔 ∗ 𝐹 2 (𝜔) Aria de sub f(t) 𝐹 0 = −∞ ∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 Aria de sub F(ω) 𝑓 0 = 1 2𝜋 −∞ ∞ 𝐹(𝜔)𝑑𝜔 Teorema lui Parseval −∞ ∞ 𝑓(𝑡) 2 𝑑𝑡 = 1 2𝜋 −∞ ∞ 𝐹(𝜔) 2 𝑑𝜔

A CELOR MAI IMPORTANTE FUNCŢII TRANSFORMATA FOURIER A CELOR MAI IMPORTANTE FUNCŢII Funcţia delta 𝜹(𝒕)⇔𝟏 Teorema deplasării în timp −∞ ∞ 𝒇(𝒕)𝜹(𝒕− 𝒕 𝟎 )𝒅𝒕 =𝒇( 𝒕 𝟎 ) −∞ ∞ 𝒇(𝒕)𝜹(𝒕)𝒅𝒕 =𝒇(𝟎) 𝑭 𝝎 = −∞ ∞ 𝜹(𝒕) 𝒆 −𝒊𝝎𝒕 𝒅𝒕 = 𝒆 −𝒊𝝎𝒕 𝒕=𝟎 =𝟏

Transformata Fourier a impulsului unitar deplasat 𝜹(𝒕− 𝒕 𝟎 )⇔ 𝒆 −𝒊𝝎 𝒕 𝟎 Transformata Fourier a unei constante 𝑨⇔𝟐𝑨𝝅𝜹(𝝎) 𝓕 𝟐𝑨𝝅𝜹(𝝎) = 𝟏 𝟐𝝅 −∞ ∞ 𝟐𝑨𝝅𝜹(𝝎) 𝒆 𝒊𝝎𝒕 𝒅𝝎 =𝑨 −∞ ∞ 𝜹(𝝎) 𝒆 𝒊𝝎𝒕 𝒅𝝎 =𝑨 𝒆 𝒊𝝎𝒕 𝝎=𝟎 =𝑨 𝒆 𝒊 𝝎 𝟎 𝒕 ⇔𝟐𝝅𝜹(𝝎− 𝝎 𝟎 )

Transformata Fourier a funcţiei cosinus 𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝟎 𝒕 = 𝟏 𝟐 𝒆 𝒊𝝎𝒕 + 𝒆 −𝒊𝝎𝒕 ⇔𝝅𝜹 𝝎− 𝝎 𝟎 +𝝅𝜹(𝝎+ 𝝎 𝟎 ) Transformata Fourier a funcţiei sinus 𝒔𝒊𝒏 𝝎 𝟎 𝒕 = 𝟏 𝟐𝒊 𝒆 𝒊𝝎𝒕 − 𝒆 −𝒊𝝎𝒕 ⇔𝒊𝝅𝜹 𝝎− 𝝎 𝟎 −𝒊𝝅𝜹(𝝎+ 𝝎 𝟎 )

Transformata Fourier a funcţiei “semn” - sign 𝐬𝐠𝐧 𝒕 = 𝒖 𝟎 𝒕 − 𝒖 𝟎 −𝒕 ⇔ 𝟐 𝒊𝝎 Transformata Fourier a funcţiei treaptă unitară 𝒖 𝟎 𝒕 ⇔𝝅𝜹 𝝎 + 𝟏 𝒊𝝎

Transformata Fourier a semnalului 𝒆 −𝒊 𝝎 𝟎 𝒕 𝒆 −𝒊 𝝎 𝟎 𝒕 ⇔𝝅𝜹 𝝎− 𝝎 𝟎 + 𝟏 𝒊 𝝎− 𝝎 𝟎 Transformata Fourier a semnalului (𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝟎 𝒕) 𝒖 𝟎 𝒕 (𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝟎 𝒕) 𝒖 𝟎 𝒕 ⇔ 𝝅 𝟐 𝜹 𝝎− 𝝎 𝟎 +𝜹 𝝎+ 𝝎 𝟎 + 𝟏 𝟐𝒊 𝝎− 𝝎 𝟎 + 𝟏 𝟐𝒊 𝝎+ 𝝎 𝟎 ⇔ 𝝅 𝟐 𝜹 𝝎− 𝝎 𝟎 +𝜹 𝝎+ 𝝎 𝟎 + 𝒊𝝎 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 Transformata Fourier a semnalului ( 𝒔𝒊𝒏 𝝎 𝟎 𝒕 ) 𝒖 𝟎 𝒕 ( 𝒔𝒊𝒏 𝝎 𝟎 𝒕 ) 𝒖 𝟎 𝒕 ⇔ 𝝅 𝟐𝒊 𝜹 𝝎− 𝝎 𝟎 +𝜹 𝝎+ 𝝎 𝟎 + 𝒊𝝎 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐

𝛿(𝑡) 1 𝛿(𝑡− 𝑡 0 ) 𝑒 −𝑖𝜔 𝑡 0 2𝜋𝛿(𝜔) 𝑒 𝑖 𝜔 0 𝑡 2𝜋𝛿(𝜔− 𝜔 0 ) sgn 𝑡 2/𝑖𝜔   𝛿(𝑡) 1 𝛿(𝑡− 𝑡 0 ) 𝑒 −𝑖𝜔 𝑡 0 2𝜋𝛿(𝜔) 𝑒 𝑖 𝜔 0 𝑡 2𝜋𝛿(𝜔− 𝜔 0 ) sgn 𝑡 2/𝑖𝜔 𝑢 0 𝑡 𝜋𝛿 𝜔 + 1 𝑖𝜔 cos 𝜔 0 𝑡 𝜋𝛿 𝜔− 𝜔 0 +𝜋𝛿(𝜔+ 𝜔 0 ) sin 𝜔 0 𝑡 𝑖𝜋𝛿 𝜔− 𝜔 0 −𝑖𝜋𝛿(𝜔+ 𝜔 0 ) 𝑒 −𝛼𝑡 1 𝑖𝜔+𝛼 𝑡𝑒 −𝛼𝑡 1 (𝑖𝜔+𝛼) 2 (𝑒 −𝛼𝑡 cos 𝜔 0 ) 𝑢 0 (𝑡) 𝑖𝜔+𝛼 𝑖𝜔+𝛼 2 + 𝜔 0 2 (𝑒 −𝛼𝑡 sin 𝜔 0 ) 𝑢 0 (𝑡) 𝜔 𝑖𝜔+𝛼 2 + 𝜔 0 2 𝐴[ 𝑢 0 𝑡+𝑇 − 𝑢 0 𝑡−𝑇 ] 2𝐴𝑇 sin 𝜔𝑇 𝜔𝑇

DEDUCEREA TRANSFORMATEI FOURIER DIN TRANSFORMATA LAPLACE 𝓕 𝒇(𝒕) =𝓛 𝒇(−𝒕) 𝒔=−𝒊𝝎

Exemplul 1 Exemplul 2 𝓛 𝒆 −𝜶𝒕 𝒖 𝟎 (𝒕) = 𝟏 𝒔+𝜶 𝓛 𝒆 −𝜶𝒕 𝒖 𝟎 (𝒕) = 𝟏 𝒔+𝜶 Exemplul 1 𝓕 𝒆 −𝜶𝒕 𝒖 𝟎 (𝒕) = 𝓛 𝒆 −𝜶𝒕 𝒖 𝟎 (𝒕) 𝒔=𝒊𝝎 = 𝟏 𝒔+𝜶 𝒔=𝒊𝝎 = 𝟏 𝒊𝝎+𝜶 𝒆 −𝜶𝒕 ⇔ 𝟏 𝒊𝝎+𝜶 𝓛 (𝒆 −𝜶𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝟎 ) 𝒖 𝟎 (𝒕) = 𝒔+𝜶 𝒔+𝜶 𝟐 + 𝝎 𝟎 𝟐 Exemplul 2 𝓕 (𝒆 −𝜶𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝟎 ) 𝒖 𝟎 (𝒕) = 𝓛 (𝒆 −𝜶𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝟎 ) 𝒖 𝟎 (𝒕) 𝒔=𝒊𝝎 = 𝒔+𝜶 𝒔+𝜶 𝟐 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒔=𝒊𝝎 = 𝒊𝝎+𝜶 𝒊𝝎+𝜶 𝟐 + 𝝎 𝟎 𝟐 (𝒆 −𝜶𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝟎 ) 𝒖 𝟎 (𝒕)⇔ 𝒊𝝎+𝜶 𝒊𝝎+𝜶 𝟐 + 𝝎 𝟎 𝟐

Exemplul 3 𝒇 𝒕 = 𝒆 −𝒂 𝒕 𝓕 𝒆 −𝒂 𝒕 = −∞ 𝟎 𝒆 𝒂𝒕 𝒆 −𝒊𝝎𝒕 𝒅𝒕+ 𝟎 ∞ 𝒆 −𝒂𝒕 𝒆 −𝒊𝝎𝒕 𝒅𝒕 = −∞ 𝟎 𝒆 (𝒂−𝒊𝝎)𝒕 𝒅𝒕+ 𝟎 ∞ 𝒆 −(𝒂+𝒊𝝎)𝒕 𝒅𝒕 = 𝟏 𝒂−𝒊𝝎 + 𝟏 𝒂+𝒊𝝎 = 𝟐 𝝎 𝟐 + 𝒂 𝟐 𝒆 −𝒂 𝒕 ⇔ 𝟐 𝝎 𝟐 + 𝒂 𝟐 𝓕 𝒆 −𝒂 𝒕 = 𝓛 𝒆 −𝒂 𝒕 𝒔=𝒊𝝎 + 𝓛 𝒆 𝒂 𝒕 𝒔=−𝒊𝝎 = 𝟏 𝒔+𝒂 𝒔=𝒊𝝎 + 𝟏 𝒔+𝒂 𝒔=−𝒊𝝎 = 𝟏 𝒊𝝎+𝒂 + 𝟏 −𝒊𝝎+𝒂 = 𝟐 𝝎 𝟐 + 𝒂 𝟐

TRANSFORMATELE FOURIER ALE UNOR FUNCŢII UZUALE

PENTRU CALCULUL TRANSFORMATELOR FOURIER UTILIZAREA MATLAB PENTRU CALCULUL TRANSFORMATELOR FOURIER DIRECTĂ ŞI INVERSĂ

APLICAŢII ÎN ANALIZA CIRCUITELOR