ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Θέμα: τι είναι διανύσματα; Δώστε ένα παράδειγμα διανυσμάτων Είναι η θερμοκρασία διάνυσμα; Είναι ο χρόνος διάνυσμα; Είναι η απόσταση διάνυσμα; Είναι η μετατόπιση διάνυσμα; 1

 Από τα προηγούμενα μεγέθη μόνο η μετατόπιση είναι διάνυσμα. Τα άλλα μεγέθη είναι μονόμετρα

Το διάνυσμα της μετατόπισης Διάνυσμα μετατόπισης: Πρώτη μετατόπιση Ολική μετατόπιση Δεύτερη μετατόπιση

Ακόμη ένα παράδειγμα μετατόπισης Παρατηρούμε ότι η ολική μετατόπιση εξαρτάται από τη θέση της ΑΡΧΗΣ και του ΤΕΛΟΥΣ Η Ολική μετατόπιση ονομάζεται διανυσματικό άθροισμα των επί μέρους μετατοπίσεων Ολική μετατόπιση 1η μετατόπιση Αρχή Ολική μετατόπιση Ολική μετατόπιση 4η μετατόπιση 5η μετατόπιση 2η μετατόπιση Ολική μετατόπιση 3η μετατόπιση Τέλος

Το διάνυσμα της ταχύτητας Πώς ορίζουμε το διάνυσμα της ταχύτητας; Πώς σχεδιάζουμε το διάνυσμα της ταχύτητας; Πώς μεταβάλλεται το διάνυσμα της ταχύτητας; 3

Ορισμός της ταχύτητας Η ταχύτητα ορίζεται από το πηλίκο του διανύσματος της μετατόπισης δια του χρόνου που χρειάστηκε να γίνει αυτή η μετατόπιση 4

Πως σχεδιάζουμε το διάνυσμα της ταχύτητας Το διάνυσμα της ταχύτητας είναι παράλληλο με το διάνυσμα μετατόπισης Μετατόπιση Ταχύτητα 5

Πώς μεταβάλλεται το διάνυσμα της ταχύτητας Αφού η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος θα μεταβάλλεται αν μεταβάλλεται: Το μέτρο της Η κατεύθυνση της Η φορά της

Επιτάχυνση στην καμπυλόγραμμη κίνηση Μεταβολή της ταχύτητας=ταχύτητα2 - ταχύτητα1 Ταχύτητα2 Ταχύτητα1 Ταχύτητα2 που μεταφέρθηκε παράλληλα έτσι που η αρχή της να συμπίπτει με την αρχή της ταχύτητα1 Επιτάχυνση = μεταβολή της ταχύτητας δια του χρόνου που χρειάστηκε να γίνει αυτή η μεταβολή

Θέμα: Χρήση των διανυσμάτων. Τα διανύσματα μπορούμε να τα χειριζόμαστε ευκολότερα όταν τα λογαριάζουμε ΟΛΟΚΛΗΡΑ χωρίς να τα αναλύουμε σε ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ. Αρκεί να τα σχεδιάζουμε σωστά. Για να είναι το άθροισμα των διανυσμάτων μηδέν θα πρέπει να τα τοποθετήσουμε το ένα μετά το άλλο: Η αρχή του ενός να συμπίπτει με το τέλος του προηγούμενου (μύτη του βέλους):

Αν το τέλος του τελευταίου διανύσματος συμπίπτει με την αρχή του πρώτου το ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟ ΜΕ ΜΗΔΕΝ (Όπως στην εικόνα δεξιά). Η ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ μπορεί να μας χρησιμεύσει ως ένα μοντέλο για τα άλλα διανύσματα. Αν ξαναεπιστρέψουμε εκεί από όπου ξεκινήσαμε τότε η μετατόπιση είναι μηδέν. Αρχή = Τέλος

Παράλληλη μεταφορά του διανύσματος της τελικής ταχύτητας

Το κλειστό πολύγωνο Εδώ ο φοιτητής έκανε ένα κλειστό πολύγωνο με χρωματιστά βέλη…..Αν τα βέλη αυτά είναι δυνάμεις έχουμε ισορροπία

Αντιπαραβολή κλειστού πολυγώνου και συντρεχουσών δυνάμεων Τα διανύσματα που παριστάνουν δυνάμεις έχουμε μεταφερθεί στο σημείο όπου δρουν.

Κ Προεκτείνεται η γραμμή κατά την οποια δρα το βέλος Π v. Αν μετρήσουμε τις γωνίες α και β τότε έχουμε ισορροπία: Προβάλουμε τα διανύσματα Μ και Κ πάνω στο Π, οπότε Μ b a Μ συν a + Κ συν b = Π Κάθετα προς το Π τα δύο διανύσματα είναι αντίθετα Μ ημ a = Κ ημb Π

Σμίκρυνση της προηγούμενης εικόνας: Προβολές των δύο διανυσμάτων πάνω στην κατεύθυνση του Π: Κ Μ b a Μπλε βέλος Μ συν α Κόκκινο βέλος Κ συν β Π

Μεταφορές των προβολών: Βλέπουμε ότι το άθροισμα τους είναι ίσο με το Π Κ Μ b a Μπλε βέλος Μ συν α Κόκκινο βέλος Κ συν β Μ συν a + Κ συν b = Π Π

Μπλε βέλος (διακεκομμένο) =Μ ημ a Κάθετα:: Προβάλουμε τα Μ και Κ κάθετα προς το Π Κ Μ b a Μπλε βέλος (διακεκομμένο) =Μ ημ a Κόκκινο βέλος= Κ ημb Π

Κάθετα:: Βλέπομε ότι είναι ίσες σε μέτρο και αντίθετης κατεύθυνσης, άρα η μία εξουδετερώνει την άλλη Κ Μ b a Μ ημ a = Κ ημb Π

Πως θα βρω τα μέτρα της κάθετης αντίδρασης και της ΤΡΙΒΗΣ; Από τις δύο άκρες του βάρους φέρω δύο ευθείες: μία παράλληλη προς το κεκλιμένο επίπεδο και μία κάθετη ΚΑΘΕΤΗ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗ ΤΡΙΒΗ Πρώτα σχεδιάζω το Βάρος Βάρος θ Πως θα βρω τα μέτρα της κάθετης αντίδρασης και της ΤΡΙΒΗΣ;

Πάνω σ’ αυτές τις ευθείες σχεδιάζω την τριβή και την κάθετη αντίδραση ΚΑΘΕΤΗ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗ ΤΡΙΒΗ ΤΡΙΒΗ Δυναμοπολύγωνο ΚΑΘΕΤΗ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗ Βάρος θ Προσοχή: Στο σώμα οι 3 δυνάμεις είναι ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΕΣ δηλαδή περνάνε από το ίδιο σημείο!

Σ’ αυτό το σύστημα έχουμε δύο νήματα που συνδέονται με δυναμόμετρα Σ’ αυτό το σύστημα έχουμε δύο νήματα που συνδέονται με δυναμόμετρα. Πώς ισορροπούν; Κάνουμε μια μεγέθυνση της περιοχής

Σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τον κόμβο:

Μεταφέρομε παράλληλα το βάρος και σχεδιάζομε από τις άκρες δύο γραμμές παράλληλες προς τα νήματα:

Μεταφέρομε παράλληλα τις τάσεις των δύο νημάτων.

Διορθώνουμε τα άλλα βέλη έτσι που να δίνουν ένα κλειστό πολύγωνο: Μπορούμε τώρα με κατάλληλη κλίμακα να μετρήσουμε τα μήκη των βελών σε Newton: