مبادئ نظرية الاحتمالات الباب السابع مبادئ نظرية الاحتمالات

تلعب الاحتمالات دورا كبيرا في الحياة اليومية وفي كثير من العلوم لأنها تستخدم في قياس عدم التأكد , فكثيرا ما نتخذ قرارات بناءً على معلومات ناقصة وتساعدنا الاحتمالات على الاختيار , فمثلا : . قد يهمل الطالب دراسة جزء صغير من المقرر لأن احتمال أن يأتي في سؤال احتمال صغير . . قد نلغي رحلة رتبنا لها منذ مدة لأن احتمال رداءة الجو كبير . . وقد نتحدث عن احتمال ارتفاع درجة الحرارة باليوم التالي . . وقد نتحدث عن فوز فريق كرة قدم على آخر . . وقد نعبر عن الاحتمالات بصورة عددية , وقد بدأت دراسة الاحتمالات في القرن السابع عشر في أوروبا على موائد القمار , ولكنها انتشرت وأصبحت ضرورة لا غنى عنها في كافة فروع المعرفة

ونظرية الاحتمالات هي فرع من فروع الرياضيات التطبيقية الذي يهتم بدراسة تأثير الصدفة على الظواهر والأشياء. إيضاح الفرق بين كلمتي " صدفة " و " مؤكد " : لفظ مؤكد Certain يدل على شيء معلوم لدينا كل الظروف التي تؤدي إلى حدوثه . كلمة صدفة Chanceيدل على شيء غير معلوم لدينا تماما كل الظروف التي تؤدي إلى حدوثه . فإذا ألقيت قطعة نقود إلى الأعلى فإنه من المؤكد سقوطها على الطاولة , ولكن لا نعلم على أي وجه سوف تسقط أو أي الوجهين سوف يظهر وهذا يسمى بـ الصدفة .

التجربة هي إجراء يمكن وصفه وصفا دقيقا وملاحظة ما ينتج عنه . أنواع التجارب تجربة محددة أو مكررة بمعنى أنه إذا تكررت التجربة تحت نفس الظروف فمن المؤكد ملاحظة النتيجة نفسها مثل إلقاء تفاحة في الهواء فإنه لابد ان تسقط على الارض تجارب عشوائية Random Experiment هي إجراء نعلم مسبقا جميع النتائج الممكنة له وإن كنا لا نستطيع التنبؤ أي منها سيتحقق فعلا مثل إلقاء قطعة نقود

فراغ العينة Sample Space : عدد عناصر فراغ العينة إذا تكررت التجربة = ( عدد العناصر الممكنة للتجربة في المرة الواحدة )عدد مرات تكرار التجربة أمثلة : فراغ العينة لتجربة إلقاء قطعة عملة مرة واحدة فراغ العينة لتجربة إلقاء زهر نرد مرة واحدة :

حادثة مستحيلة (Φ) Impossible Event هي أي مجموعة جزئية من فراغ العينة، ويرمز لها بالرمز A, B, C, حادثة مركبة وتحتوي على مجموعة من العناصر حادثة بسيطة أو أولية وتحتوي على عنصر واحد فقط حادثة مستحيلة (Φ) Impossible Event تمثل الحالة التي لا يكون فيها للتجربة نتائج؛ والمجموعة الخالية جزئية من أي مجموعة حادثة مؤكدةSure Event حيث أن أي مجموعة جزئية من نفسها؛ وعلى ذلك فإن

العمليات على الحوادث Operation on Events ثانيا : إذا كانت A و B حادثتين في S فإن : 1. الاتحاد Union : أو كليهما معا و بلفظ آخر ترمز B أو A هي الحادثة التي تتكون من عناصر لوقوع إحداهما على الأقل . S B A اذا كانت حادثة في فإن هى الحادثة التى تتكون من عناصر S والتى لاتنتمى الى A أولا : المتممةComplement 2 . التقاطع Intersection : وترمز B و A هي الحادثة التي تتكون من العناصر المشتركة بين لوقوعها معا . S B A ٍٍ S A حادثتان غير متنافيتان غير مانعتان تعريف : الحوادث المتنافية أو المانعة :Mutually Exclusive يقال أن حادثتان متنافيتان أو مانعتان بالتبادل إذا كان وقوع أحدهما يمنع لا يمكن أن A,B وهذا يعني أن الحادثتين وقوع الأخرى . أي أن . يقعا معًا A S B A

تعاريف الاحتمالات : أولاً : التعريف الكلاسيكي Classical Definition : إذا كان عدد النتائج الممكنة لتجربة ما هو n وكانت جميعها لها نفس الفرصة في الظهور وكان من بينها m نتيجة يمكن أن تظهر بها حادثة معينة , فإن احتمال وقوع هذه الحادثة هو . أي أن احتمال وقوع الحادثة A يرمز له بالرمز ويساوي : حيث أن : عدد عناصر فراغ العينة S = عدد الطرق التي يمكن أن تظهر بها S . : عدد عناصر الحادثة A = عدد الطرق التي يمكن أن تظهر بها A . ثانيًا : التعريف الرياضي Mathematical Definition : إن هذا التعريف مبني على أساس افتراض بعض المسلمات والتي تسمى مسلمات نظرية الاحتمالات ومنها تنشق نظريات الاحتمالات وهذه المسلمات هي axiom of probability theory . المسلمة الأولى : يرافق كل حادثة عدد معين يسمى احتمال ويحقق : المسلمة الثانية : احتمال وقوع حادثة مؤكدة يساوي واحد صحيحا . أي أن : المسلمة الثالثة : إذا كانت حادثتين مانعتين فإن : ويمكن تعميم المسلمة الثالثة إلى أكثر من حادثتين . فإن كانت عبارة حادثة مانعة بالتبادل فيم بينها . أي أن فإن :

نظريات ونتائج : نظرية (3-1) : إذا كانت هي مكملة الحادثة فإن : وهذا يعني أن : احتمال وقوع الحادثة + احتمال عدم وقوعها =1 نتيجة (3-1) : احتمال وقوع حادثة مستحيلة = صفر. أي أن نتيجة ((2-3 : لأي حادثة : ملاحظة : من المسلمة 1 والنتيجة(1-3) نستنتج أنه لأي حادثة

نظرية (1-3) : إذا كانت أي حادثتين فإن : من المسلمة الثالثة والنظرية الثالثة نحصل على ما يسمى بقاعدتي الجمع : إذا كانت حادثتين مانعتين فإن : إذا كانت أي حادثتين فإن : تعريف : إذا كانت ؛ فراغ عينة يحتوي على n عنصر فإنه يمكن الحصول على الفراغ الاحتمالي المحدود والمرافق لفراغ العينة وذلك بتخصيص أو تعيين عدد حقيقي لكل عنصر يسمى احتمال العنصر على أن يحقق الشرطين التاليين : (ii) (i) يعرف احتمال الحادثة بأنه مجموع احتمالات العناصر المكونة لها .

أمثلة 1. من تجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة : فراغ العينة : 1. من تجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة : فراغ العينة : احتمال ظهور صورة احتمال ظهور كتابة ( حادثتان مانعتان )

2. من تجربة إلقاء زهرة نرد مرة واحدة ؛ مثلي الحوادث التالية واحسبي احتمالاتها : احتمال ظهور عدد من 1-6 على السطح العلوي = , أي أن : : حادثة ظهور العدد 3 : حادثة بسيطة : حادثة ظهور عدد زوجي : حادثة مركبة : حادثة ظهور عدد فردي : حادثة ظهور عدد أكبر من 4 : حادثة ظهور عدد أكبر من 6 : حادثة مستحيلة : حادثة ظهور عدد يقبل القسمة على 3

تطبيقات على عمليات على الحوادث : 1. حادثة ظهور عدد لا يقبل القسمة على 3 :هي الحادثة المكملة للحادثة : حادثة ظهور عدد يقبل القسمة على 3 وتحتوي على عناصر والتي لا تنتمي إلى ويرمز لها بالرمز , 2. حادثة ظهور عدد فردي و يقبل القسمة على 3 نلاحظ أن الحادثتين هما حادثتين غير مانعتين لأن 3. حادثة ظهور عدد فردي أو يقبل القسمة على 3 4. حادثة ظهور عدد زوجي وعدد فردي نلاحظ أن الحادثتين هما حادثتين مانعتين لأن 5. حادثة ظهور عدد زوجي أو عدد فردي

مثال (6): في تجربة إلقاء قطعة نقود مرتين (قطعتي نقود مرة واحدة) : فإن فراغ العينة : نجد فراغ العينة مكون من 4 أحداث : كل حدث منهم احتمال ظهور أي عنصر في فراغ العينة = فإذا كان الحدث A ظهور أوجه متشابهة :

استقلال الحوادث Independence of Events: إذا كان احتمال وقوع الحادثة A لا يعتمد و لا يتأثر بوقوع أو عدم وقوع الحادثة B . في هذه الحالة يقال أن الحادثتين A ، B مستقلتان ويكون : كما يمكن تعميمها لأكثر من حادثتين، فيقال أن الحوادث هي n حادثة مستقلة في فراغ العينة إذا كانت : أما إذا كان احتمال وقوع الحادثة A يعتمد ويتأثر بوقوع الحادثة B . في هذه الحالة يقال أن الحادثتين A ، B غير مستقلتان و يكون : أو أن تكون : وذلك يعتمد على أي الحادثتين قد وقع أولاً. و القاعدتان السابقتان تسمى بقاعدتي الضرب: . إذا كانت الحادثتان A ، B مستقلتين فإن : . إذا كانت الحادثتان A ، B غير مستقلتين فإن :

مثال (7) : إذا كان احتمال وصول الطائرة من مطار لندن إلى مطار جدة في موعدها (0.9)، واحتمال وصول الطائرة من مطار القاهرة إلى مطار جدة في موعدها (0.6) ، (إذا كانت الطائرتان مستقلتان) : . ما احتمال وصول الطائرتين في موعدها ؟ على اعتبار A حادثة وصول الطائرة الأولى ي موعدها و B حادثة وصول الطائرة الثانية في موعدها مثال (8) : صندوق يحتوي على 10 كرات (6) بيضاء:W و (4) سوداء: B . سحبت منه كرة واحدة : فراغ العينة لهذه التجربة S = {w , b} احتمال أن تكون الكرة بيضاء احتمال أن تكون الكرة سوداء احتمال أن تكون بيضاء و سوداء احتمال أن تكون بيضاء أو سوداء