MĂSURAREA ŞI ANALIZA VIBRAŢIILOR STRUCTURILOR Analiză modală şi simulare

Comportarea modală a structurilor La modul general, în funcţia de răspuns în frecvenţă (FRF) a unei structuri se vor observa o mulţime de vârfuri. Fiecare dintre aceste vârfuri, de regulă cu un aspect ascuţit, corespunde unei rezonanţe a structurii. Ca urmare, structura se comportă ca un ansamblu de substructuri, fiecare dintre ele având un singur grad de libertate şi corespunzător o anumită frecvenţă proprie, care face să apară o rezonanţă în spectrul FRF. Acesta este elementul cheie în analiza modală, prin care comportarea unei structuri poate fi analizată identificând şi evaluând toate rezonanţele, sau modurile, care apar în spectrul răspunsului. Analiza modală este metoda prin care se determină parametri modali ai unei structuri, (frecvenţa, amortizarea şi forma modală), pentru toate modurile proprii aflate în domeniul de interes. Scopul următor, folosind parametri modali, este de a construi modelul modal al răspunsului. În final, mai trebuie reţinut că: orice deformaţie dinamică forţată a unei structuri poate fi reprezentată ca o sumă ponderată a formelor modurilor propri ale structurii; fiecare mod poate fi reprezentat ca un sistem cu un singur grad de libertate.

Modelele sistemelor cu un singur grad de libertate Un model analitic poate fi construit în domeniul fizic, rezultând un sistem abstract care conţine o masă concentrată m susţinută de un arc cu constanta k liniară şi fără masă şi un amortizor vâscos de constantă c liniară. Masa este obligată să se mişte într-o singură direcţie x, rezultând un sistem cu un singur grad de libertate. Un model matematic în domeniul timp se obţine din modelul analitic, prin aplicarea primcipiului lui d’Alambert (în orice moment suma forţelor este nulă): este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, în care f(t) reprezintă forţele exterioare.

Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în domeniul frecvenţă Modelul parametric este un model construit în domeniul frecvenţă, capabil să descrie funcţia de răspuns H(ω) în funcţie de masa m şi de coeficienţii de rigiditate şi de amortizare. Să studiem comportarea acestui model sub o excitaţie sinusoidală şi să vedem ce se întâmplă cu amplitudinea │H(ω)│şi cu faza Φ(ω) funcţiei de răspuns H(ω), atunci când frecvenţa de excitaţie creşte.

Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în domeniul frecvenţă Modelul FRF, cunoscut şi sub denumirea de modelul cutiei negre, nu foloseşte parametri, dar se bazează pe definiţia funcţiei de tranfer H(ω): în care H(ω) este funcţie de raportul deplasare/forţă, deci un raport a spectrelor ieşire/intrare şi variază în funcţie de ω. Acest model face legătura dintre modelul analitic şi măsurările efectuate experimental. Modelul fizic este ideal când se foloseşte abordarea analitică a sistemelor. În cazul structurilor reale, deobicei, se cunosc puţine lucruri, uneori deloc, referitoare la distribuţia maselor, rigidităţilor şi a amortizărilor. Următorul model crează o legătură practică între teorie şi măsurări.

Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în domeniul frecvenţă Modelul parametrilor modali este construit folosind doi parametri care pot fi obţinuţi din funcţiile de răspuns în frecvenţă măsurate experimental. Funcţia H(ω) este definită în funcţie de un pol p şi de un reziduu R, precum şi de valorile lor conjugate p* şi H*: Atât polul cât şi rezidul sunt definite în funcţie de parametri modali în felul următor: unde iar în rest sunt notaţiile consacrate: Polul p este un număr complex a cărui parte reală n reprezintă rata de descreştere a oscilaţiilor forţate şi se observă bine în funcţia de răspuns exprimată în domeniul timp:

Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în domeniul frecvenţă Modelul parametrilor modali Partea imaginară a polului p este frecvenţa modală, egală cu frecvenţa proprie a sistemului amortizat ωa, excitat şi lăsat liber să vibreze. Polul dă forma graficului amplitudinii şi fazei în zona de rezonanţă, oferind o măsură calitativă a proprietăţilor dinamice ale sistemului. Rezidul R al unui sistem cu un singur grad de libertate este un număr imaginar care expeimă forţa unui mod de vibraţie. El este un concept matematic, fără o interpretare fizică directă. În capitolele care vor urma acest parametru va fi legat de cel de-al treilea parametru modal, forma modului de vibraţie. Prin reziduu se face o scalare, în valoare absolută, a curbei FRF şi implicit a amplitudinii acestei curbe. Dar amplitudinea nu este dată numai de reziduu, ci de raportul dintre reziduu şi partea reală a polului:

Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în domeniul frecvenţă Modelul parametrilor modali După cum s-a observat din relaţiile de mai sus, atât polul cât şi rezidul se pot obţine efectuând măsurări pe graficul FRF. Modelul parametrilor modali face legătura dintre modelul analitic şi măsurările experimentale. În scopul exemplificării proprietăţilor polului şi rezidului, în continuare, sunt prezentate în tabel, în paralel, două modele simple, care au aceeaşi masă, rigiditate şi amortizare, deci au acelaşi pol. Deşi curbele FRF au aceeaşi formă, răspunsurile celor două sisteme la aceeaşi forţă egală cu unitatea vor fi diferite ca urmare a diferenţei dintre rezidurile lor.

Modelul 1 Modelul 2

Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în domeniul frecvenţă Modelul parametrilor modali

Modele ale sistemelor cu mai multe grade de libertate Modelele anterioare au fost restricţionate numai la un singur grad de libertate – o singură mişcare pe o singură direcţie. Structurile reale au numeroase puncte care se mişcă independent, pe direcţii diferite – au mai multe grade de libertate. S-a văzut că pentru a măsura FRF pe o structură reală trebuie să măsurăm excitaţia şi răspunsul între două puncte. Cum însă fiecare punct are şase posibilităţi de mişcare, trebuie specificată şi direcţia mişcării. În continuare se va folosi indicele i pentru a indica punctul în care se face citirea răspunsului, iar cu j cel în care se aplică forţa. Indicii x, y şi z se vor folosi pentru a indica direcţia. Deci se poate scrie: Scriind Hij(ω) în două moduri diferite: sau se pot obţine două modele: modelul FRF şi modelul parametrilor modali, însă pentru sisteme cu mai multe grade de libertate.

Modele ale sistemelor cu mai multe grade de libertate În modelul FRF funcţia Hij(ω) este o sumă de funcţii de răspuns în frecvenţă, fiecare corespunzătoare unui singur mod propriu de vibraţie, din domeniul frecvenţelor în care s-au făcut măsurările (indicele r este numărul modului, iar m este numărul total de moduri). Modelul parametrilor modali defineşte funcţia Hij(ω) în funcţie de polii şi rezidurile tuturor modurilor proprii de vibraţie din domeniul măsurat. Acest model scoate în evidenţă două proprietăţi importante ale parametrilor modali: frecvenţele şi amortizările modale sunt proprietăţi globale – polul este funcţie de modul r şi este independent de numărul gradelor de libertate folosite în măsurare; rezidul este o proprietate locală – indexul ijr face legătura dintre o anumită combinaţie a gradelor de libertate şi un anumit mod.

Ce este forma modului? Forma modului este un parametru matematic abstract care defineşte, prin valori înscrise într-un vector, deformaţia structurii corespunzătoare acelui mod. Deşi forma modului reprezintă de fapt o funcţie continuă, în analiza modală se preferă folosirea vectorilor (o matrice cu o singură coloană) pentru a descrie forma unui mod. De exemplu, vectorul {ψ}r va descrie forma modului r – indice care corespunde numărului modului. Elementele ψir, din vectorul {ψ}r care descrie forma modului, reprezintă deplasări relative ale fiecărui grad de libertate i şi corespunzătoare modului r. Deobicei, elementele vectorului sunt mărimi complexe, incluzând informaţii referitoare atât la amplitudinea deplasării cât şi a fazei acesteia.

Moduri normale. Moduri complexe Modurile normale sunt modurile pentru care toate secţiunile structurii se mişcă în fază (0o), sau în antifază (180o), unele cu altele. Ca urmare, deplasările modale ψir sunt valori reale, pozitive sau negative. Forma modurilor normale poate fi imaginată sub forma unei unde la care nodurile sunt puncte fixe în spaţiu. Modurile complexe sunt cele la care, între diferite secţiuni ale structurii, există defazaje ce se găsesc într-o anumită relaţie unele cu altele. De data aceasta, deplasările modale ψir au valori complexe care pot avea orice fază. Modurile complexe pot fi considerate ca fiind nişte unde nestaţionare la care nodurile nu au o poziţie fixă.

Legătura dintre reziduu şi formele modurilor În paragrafele anterioare s-a văzut că rezidul este proporţional cu amplitudinea FRF. În dreptul unei frecvenţe modale ωar, unde indicii a = amortizare şi r este numărul modului, amplitudinea funcţiei de răspuns în frecvenţă este: Se poate demonstra că rezidul pentru un anumit mod r este proporţional cu produsul dintre deplasarea modală ψir corespunzătoare gradului de libertate i şi excitaţia ψjr măsurată în punctul j, ( – simbol folosit pentru a marca proporţionalitatea): În figură este prezentată forma celui de al doilea mod propriu de vibraţie, a unei bare încastrate la un capăt şi liberă la celălalt, excitată în punctul 8, iar răspunsul măsurat în trei puncte 10;12 şi 14. Rezultă relaţiile: Trebuie observat faptul că pentru toate cele trei măsurări curba de răspuns la frecvenţa de rezonanţă a modului 2 are aceeaşi alură, diferind doar amplitudinea, care este proporţională cu deplasările modale.

Scalarea formei modurilor Elementele ψir, din vectorul {ψ}r care descrie forma modului, exprimă deplasările relative ale fiecărui grad de libertate, dar ele nu sunt unice. Din măsurarea FRF sunt determinate rezidurile care au valori unice. Relaţia de legătură dintre un reziduu şi deplasările modale asociate permite determinarea unei constante scalare ar, pentru fiecare mod r, astfel: în care φir şi φjr reprezintă deplasările modale scalate. Dacă măsurarea excitaţiei şi a răspunsului se face în acelaşi punct, rezultă: O abordare matematică a problemei stabileşte o relaţie de legătură dintre vectorul {φ}r care descrie forma modului şi masa modală Mr: Aplicând această relaţie în cazul sistemului cu un singur grad de libertate (caz în care există o singură masă şi o singură deplasare), se poate calcula constanta ar:

Scalarea formei modurilor Masa modală nu are legătură cu masa structurii şi nu poate fi măsurată. Este pur şi simplu o noţiune matematică, care poate avea orice valoare cu excepţia lui zero. Din acest motiv, pentru sistemele cu mai multe grade de libertate, se poate considera Mr=1, ceea ce permite calculul constantei ar, rezultând: Efectuând măsurări în mai multe puncte, se poate calcula Rjjr pentru fiecare mod. Calculând apoi constanta ar, se pot obţine valorile deplasărilor φjr scalate. Din măsurarea răspunsului sunt apoi scalate valorile φir, iar în final sunt obţinute formele modale scalate.

Cuplaj modal Cuplajul modal este un termen în general folosit pentru a indica cât de mult un răspuns, corespunzător unei frecvenţe modale, este influenţat de contribuţia celorlalte moduri. Acest lucru poate fi observat studiind curba FRF în vecinătatea unei frecvenţe modale. O structură slab amortizată are modurile bine separate şi distincte şi ca urmare se spune că este o structură slab cuplată. Aceste structuri, în jurul frecvenţelor modale, se comportă ca şi sistemele cu un singur grad de libertate şi sunt considerate nişte structuri simple. O structură puternic amortizată, sau care are o densitate modală mare, va avea funcţii de răspuns în frecvenţă în al căror spectru modurile nu se vor distinge clar. Despre aceste structuri se spune că sunt puternic cuplate, iar răspunsul la orice frecvenţă din spectru este o combinaţie liniară a mai multor moduri. Fiecare dintre aceste moduri intervine cu o pondere proprie q în forma deformată a structurii:

Ce se înţelege prin descriere modală? Liniaritatea. Se presupune că sistemul supus testului are o comportare liniară, atfel încât răspunsul este întotdeauna proporţional cu excitaţia. De aici rezultă: superpoziţia – o FRF măsurată nu depinde de tipul de undă de excitaţie folosit. O sinusoidă la care frecvenţa variază într-un anumit domeniu, va da acelaşi rezultat ca şi o excitaţie impact cu frecvenţe în acelaşi domeniu; omogenitatea – o FRF măsurată este independentă de nivelul excitaţiei; reciprocitatea – în sistemele mecanice liniare există o simetrie particulară descrisă de Teorema reciprocităţii a lui Maxwell. În general, structurile au o comportare liniară dacă sunt supuse la deformaţii mici. Dacă deformaţiile sunt relativ mari, structura se comportă neliniar, iar metoda modală nu poate fi folosită în predicţia defecţiunilor majore.

Ce se înţelege prin descriere modală? Trebuie, de asemenea, să considerăm că structura supusă analizei modale va îndeplini următoarele proprietăţi: cauzală – ea nu va vibra dacă nu este excitată; stabilă – vibraţia încetează atunci când excitaţia încetează; invariantă în timp – caracteristicile dinamice nu se vor schimba pe durata testului. Există situaţii în care unele caracteristici se modifică în timpul testului: masa unei structuri uşoare se poate modifica odată cu montarea traductorului; pe perioade lungi de testare, caracteristicile structurale pot fi influenţate de temperatură sau de alte condiţii de mediu; unele structuri suferă schimbări continue – de exemplu, masa unui avion în timpul zborului descreşte continuu, pe măsură ce se consumă din combustibil. Ca urmare spectrul funcţiei de răspuns în frecvenţă se modifică continuu în timp

Modelul parametrilor concentraţi Modelul parametrilor concentraţi reprezintă o structură cu mai multe grade de libertate sub forma unei mulţimi de mase, legate între ele prin elemente elastice şi de amortizare. În cazul unei structuri reale, distribuţia masei, a amortizării şi a rigidităţii nu este în general cunoscută, dar se pot localiza polii (se pot determina experimental frecvenţele şi amortizările modale), rezidurile şi se pot obţine formele modale scalate. Cu ajutorul acestor parametri calculaţi pe baza datelor experimentale, se poate apoi transforma modelul parametrilor concentraţi. Dacă în ecuaţia matriceală de mişcare se înlocuiesc coordonatele fizice {x} cu produsul dintre matricea modală [φ] – este matricea care are pe coloane vectorii modali scalaţi (numărul de linii este egal cu numărul gradelor de liberatate, iar numărul de coloane cu numărul modurilor proprii de vibraţie din domeniul frecvenţelor de măsură) – şi coordonatele modale {q}, rezultă o transformare într-un alt domeniu – spaţiul modal:

Spaţiul modal Transformarea în spaţiul modal are un foarte mare efect asupra modelului cu parametri concentraţi: ecuaţiile mişcării se decuplează şi formează un sistem de ecuaţii în care fiecare dintre ele corespunde unui sistem cu un singur grad de libertate, grade care corespund gradelor de libertate ale structurii, deci câte o ecuaţie pentru fiecare coordonată modală. Fiecare model are o masă egală cu unu (masă modală=1), o constantă de amortizare egală cu lăţimea de bandă a modului respectiv şi o constantă elastică egală cu pătratul frecvenţei proprii neamortizate a acelui mod. În locul modelului cu m grade de libertate cuplate, prin transformarea efectuată, s-au obţinut m modele individuale, decuplate, fiecare cu câte un singur grad de libertate, asupra cărora acţionează, corespunzător fiecăruia, m forţe modale. Fiecare dintre aceste forţe modale este egală cu produsul scalar dintre vectorul propriu al modului respectiv (cel care dă forma acelui mod) şi vectorul forţelor din spaţiul fizic (forţele reale care acţionează asupra maselor în modelul parametrilor concentraţi) – cu alte cuvinte se face proiecţia forţelor pe forma modului. Forţa modală poate fi interpretată ca fiind proprietatea unei anumite distribuţii a forţelor de a excita numai un anumit mod.

Alegerea gradelor de libertate Prin punct de măsură trebuie înţeles locul şi direcţia pe care se face măsurarea. E firesc să se pună întrebarea: cât de multe grade de libertate sunt necesare în efectuarea unui test? Numărul gradelor de libertate necesar depinde de scopul testului, de geometria structurii şi de numărul modurilor existente în domeniul frecvenţelor de interes. De exemplu, verificarea frecvenţelor modale prezise analitic se poate face printr-un test simplu, în care sunt necesare puţine grade de libertate (puncte de măsură). Dacă scopul testului este acela de a construi un model matematic, atunci trebuie un număr suficient de grade de libertate liniar independente.

Alegerea gradelor de libertate În exemplul cu patru grade de libertate, pot fi observate patru moduri liniar independente – modurile superioare sunt de fapt primele patru moduri care se repetă. Rezultă că modelul care s-ar putea construi pe baza acestor date trebuie să aibă trei, maximum patru, frecvenţe proprii. În exemplul cu treizeci de grade de libertate, eroarea în prezentarea formei deformate a modului apare la modurile superioare. În acest caz mult mai multe moduri sunt liniar independente. În concluzie, numărul gradelor de libertate trebuie astfel ales încât structura să fie complet definită din punct de vedere dinamic, pe întreg domeniul de interes.

Dimensiunile matricei de mobilitate Elementele matricei de mobilitate se determină experimental, iar numărul lor depinde de numărul gradelor de libertate al sistemului, mai exact de combinaţiile care se pot face între acestea, dacă ne gândim că unele dintre ele pot fi intrări iar altele ieşiri. Fiecare element Hij(ω) al matricei [H] reprezintă o anumită FRF măsurată experimental. Fiecare linie a matricei conţine funcţii de răspuns în frecvenţă care au la ieşire acelaşi grad de libertate, în timp ce toate elementele de pe o coloană sunt cele la care intrarea este aceeaşi. Un termen diagonal este cel pentru care excitarea şi măsurarea răspunsului s-a făcut corespunzător aceluiaşi grad de libertate. Termenii de pe diagonala principală se numesc termenii mobilităţii directe, iar ceilalţi sunt ai mobilităţii de transfer.Din fericire la sistemele liniare – la care se aplică principiul reciprocităţii dintre intrare-ieşire – pentru alcătuirea matricei de mobilitate, nu este necesar un număr atât de mare de măsurări. Este suficientă completarea unei linii sau a unei coloane şi a termenilor diagonali, din moment ce Hij=Hji.

Analiza modală a unei structuri simple Pentru a înţelege mai bine metoda de extragere a parametrilor modali, în continuare se va analiza o structură simplă, exemplul putând fi considerat ca fiind tipic în rezolvarea problemelor de vibrodiagnoză. Ne interesează doar primele moduri de încovoiere şi ca urmare vor fi suficiente patru grade de libertate (patru puncte de măsură) aliniate pe verticală. Privind alura funcţiilor de răspuns în frecvenţă, se trage concluzia că sistemul este slab amortizat, nu prezintă cuplaje puternice între gradele de libertate alese În jurul frecvenţelor modale prezintă comportarea unui sistem cu un singur grad de libertate şi, ca urmare, răspunsul din aceea zonă este dat doar de modul propriu corespunzător. Din FRF-urile măsurate se determină frecvenţele şi amortizările modale. Astfel, frecvenţele modale sunt acele frecvenţe care corespund amplitudinilor maxime din graficul FRF. Spre deosebire de acestea, amortizările modale nu se determină atât de uşor şi în plus prezintă un oarecare grad de incertitudine.

Analiza modală a unei structuri simple O metodă folosită la măsurarea amortizării este de a găsi lăţimea de bandă corespunzătoare nivelului de –3 dB sub nivelul amplitudinii maxime. O structură slab amortizată are răspunsul la rezonanţă ascuţit, iar lăţimea de bandă corespunzătoare va fi prea îngustă şi deci greu de măsurat cu precizie. Uneori, acest neajuns se poate rezolva mărind (analiză zoom) zona de interes. Există şi o altă metodă pentru a determina amortizarea modală, metodă în care se izolează pe rând fiecare mod în parte. Aplicând atât transormata Fourier cât şi Hilbert, se va obţine funcţia de răspuns de tip impuls a modului respectiv. Reprezentând această funcţie într-un grafic la care axa ordonatelor este logaritmică, ea va avea alura unei drepte cu panta negativă. Din acest garfic se poate măsura timpul τ care corespunde unei descreşteri de 8,7 dB a graficului. Coeficientul de amortizare n este inversul acestui timp n =1/τ. În continuare trebuie determinate şi formele modurilor proprii de vibraţie.

Metoda cuadraturii pentru determinarea formei modurilor Se ştie că la rezonanţă, indiferent de valoarea amortizării, între excitaţie şi răspuns există un defazaj de 90o. Se mai spune că răspunsul este în cuadratură cu excitaţia. Efectuând măsurări în lungul structurii aflate la rezonanţă se poate determina forma modului. Anterior, s-a văzut că pentru un model cu un singur grad de libertate, în dreptul frecvenţei modale (de rezonanţă) se poate scrie: Dar din moment ce măsurările efectuate cu accelerometrul sunt valori ale acceleraţiei, modelul trebuie modificat, ecuaţiile lui fiind integrate de două ori rezultă: Dacă modelul are mai multe grade de libertate, rezidul se va scrie sub forma: ceea ce va duce la: Trebuie reţinut faptul că A(ω) este un număr imaginar calculat în dreptul frecvenţei modale. Relaţia anterioară stă la baza metodei în cuadratură, putându-se astfel determina forma modurilor. FRF devine pur imaginară în dreptul frecvenţei modale. Amplitudinea FRF este proporţională cu deplasarea modală, iar semnul este pozitiv dacă deplasarea este în fază cu excitaţia.

Metoda cuadraturii pentru determinarea formei modurilor Se poate determina forma modului dacă se alege un grad de libertate fix pentru răspuns, sau pentru excitaţie, iar apoi se fac măsurări pentru toate celelalte grade de libertate. Părţile imaginare ale funcţiilor de răspuns în frecvenţă măsurate experimental în dreptul frecvenţelor proprii reprezintă deplasarea modală corespunzătoare acelui grad de libertate. În exemplul considerat, gradul de libertate notat cu 2 este considerat ca fiind răspuns de referinţă. Excitând structura în toate celelalte patru grade de libertate, corespunzător fiecăruia, se obţin funcţiile de răspuns în frecvenţă. Cele patru părţi imaginare ale FRF pentru fiecare frecvenţă modală reprezintă forma modului asociat. Dacă aparatele de măsură sunt bine calibrate, se poate face atunci scalarea formei modurilor.

Estimarea parametrilor din curbele FRF În exemplul anterior, structura fiind slab amortizată (cuplaj scăzut al gradelor de libertate), s-au determinat parametri modali prin alegerea unor valori discrete din FRF măsurate. Atunci când datele măsurate indică moduri puternic cuplate sau contaminări cu zgomot în semnal, sau atunci când parametri modali trebuie determinaţi cu o mare acurateţe, trebuie făcută o analiză modală cu ajutorul calculatorului. Pentru a îmbunătăţi estimarea parametrilor modali se folosesc aşa zisele metode de suprapunere sau potrivire a curbelor FRF. Pentru acest tip de analiză au fost creaţi numeroşi algoritmi, la alegerea cărora trebuie să ţinem cont că: etapa cea mai importantă în analiza modală o constituie măsurarea mobilităţii; nicio metodă de suprapunere a curbelor nu va da o estimare corectă a parametrilor dacă măsurările efectuate sunt sărace în informaţie.

Ce se înţelege prin suprapunerea (potrivirea) unei curbe? Foarte pe scurt, lucrul acesta presupune suprapunerea dintre teoria matematică şi măsurările experimentale. Teoria furnizează, cu ajutorul unui model matematic parametric, curbele FRF teoretice, în timp ce măsurările efectuate furnizează curbele FRF reale. Potrivirea curbelor este o metodă analitică de determinare a parametrilor matematici care vor da aproximaţia cea mai bună în raport cu datele măsurate experimental. Un exemplu simplu: notând elongaţia unui resort pentru diferite sarcini şi reprezentând prin puncte aceste date experimentale rezultă graficul din figura. Teoretic se poate considera o relaţie liniară între forţa aplicată şi săgeata arcului de forma: x = F / k. Deşi în acest caz nu avem decât o singură necunoscută (k=?) şi deci ar fi suficientă o singură pereche (F,x) măsurată experimental, folosind totuşi toate datele măsurate se va obţine cea mai bună estimere a lui k. Dacă greutăţile aplicate pe resort sunt precise (bine calibrate), forţa aplicată este cunoscută exact şi orice deviere de la linia dreaptă din grafic este cauzată de erorile de citire ale săgeţii x.

Ce se înţelege prin suprapunerea (potrivirea) unei curbe? Metoda celor mai mici pătrate este o metodă prin care se poate minimiza deviaţia (eroarea ε) dintre datele măsurate experimental şi cele calculate teoretic: condiţia de minimizare a erorii în funcţie de 1/k este următoarea: de unde Această metodă se poate folosi atât pentru sistemele cu un singur grad de libertate cât şi pentru cele cu mai multe grade de libertate.

Suprapunerea curbelor în analiza modală Există numeroase tehnici de suprapunere (potrivire) a curbelor teoretice cu cele experimentale. Cu toate că prezentarea lor nu face obiectul acestui curs, sunt făcute totuşi câteva observaţii: termenul de suprapunere a curbelor este dat de tehnica generală prin care, după estimarea parametrilor, curba analitică este generată şi suprapusă peste cea măsurată, astfel încât operatorul să evalueze erorile; de obicei se aleg mai multe seturi de date care, prelucrate analitic, vor da mai multe curbe; se va alege în final acel set care duce la o cât mai bună potrivire cu cele obţinute experimental; scopul suprapunerii curbelor este de a permite extragerea din datele măsurate a unor valori cât mai apropiate de realitate pentru parametri modali. O bună potrivire a curbelor nu este neapărat suficientă în obţinerea unui model optim, experienţa operatorului fiind hotărâtoare.

Suprapunerea curbelor în analiza modală În cazul sistemelor slab amortizate, la care modurile sunt slab cuplate, se poate aplica metoda în care „potrivirea” curbelor se face pentru fiecare grad de libertate în parte, caracteristicile modale calculându-se din valori măsurate, aflate în jurul frecvenţei modale. Operatorul este cel care decide în jurul cărei frecvenţe se va aplica metoda, făcându-se un compromis dintre includerea unui număr cât mai mare posibil de puncte măsurate experimental, în scopul creşterii estimării statistice, şi posibilitatea apariţiei dominante a altor moduri, odată cu îndepărtarea prea mult de frecvenţa considerată. În cazul sistemelor amortizate, la care modurile sunt cuplate, operatorul este cel care stabileşte zona din domeniul frecvenţelor măsurate în care se vor căuta parametri modali (fig. 2.79 - dreapta). Uneori, algoritmii folosiţi vor permite găsirea unui număr suficient de moduri pentru o bună suprapunere a curbelor FRF; unele moduri însă trebuie calculate direct de către operator, ceea ce face ca rezultatele să fie influenţate de către priceperea şi experienţa acestuia în alegerea unui număr corect de moduri pentru model.

Analiza modală a caroseriei unui microbuz Scopurile analizei sunt: studierea primelor două moduri verticale ale caroseriei unui microbuz, verificarea modelului calculat analitic şi predicţia răspunsului său dinamic la anumite forţe excitatoare. Metoda presupene parcurgerea a patru paşi: pregătirea structurii şi a echipamentelor; efectuarea măsurărilor; estimarea parametrilor folosind curbele FRF; prezentarea datelor finale şi concluzii.

Analiza modală a caroseriei unui microbuz Pasul 1: Pregătirea structurii şi a echipamentelor Alegerea gradelor de libertate. Pentru că primele două moduri proprii de vibraţie în plan vertical nu au o formă complicată, numărul gradelor de libertate poate fi limitat la 18, corespunzătoare unor puncte egal distribuite în lungul caroseriei, în partea inferioară a cesteia, pe direcţie verticală. Prinderea structurii Alegerea excitaţiei Modul de excitare Montarea accelerometrului

Analiza modală a caroseriei unui microbuz Pasul 2: Efectuarea măsurărilor În această etapă se înregistrează şi se stochează datele referitoare la valorile forţei excitatoare şi ale răspunsurilor măsurate în punctele stabilite anterior. Pentru fiecare grup de date este bine să se noteze poziţia punctelor de măsurare, ora înregistrărilor precum şi unele observaţii legate de fiecare grup în parte. Operatorul joacă un rol important în această etapă, verificând continuu, pe ecranul analizorului forma curbelor de răspuns în frecvenţă, în ceea ce priveşte coerenţa şi convergenţa acestora, acceptând sau nu înregistrarea datelor şi ia decizii privind unele corecţii care trebuie făcute. Această etapă este hotărâtoare pentru tot ceea ce va urma. Crearea modelelor şi analiza ce se va efectua sunt direct dependente de precizia cu care se face măsurarea. Pasul 3: Estimarea parametrilor folosind curbele FRF După ce măsurarea funcţiilor de răspuns în frecvenţă s-a încheiat se poate trece la aflarea parametrilor modali. Trebuie parcurse următoarele trei faze: Operatorul hotărăşte care dintre funcţiile de răspuns în frecvenţă măsurate este cea mai potrivită, care sunt modurile care prezintă interes şi pe ce domeniu al frecvenţelor. Pe parcursul acestei faze sunt determinaţi doi parametri modali: frecvenţa şi amortizarea pentru fiecare mod în parte. Se estimează şi se înregistrează rezidurile pentru toate modurile de interes. Informaţiile privind deplasările şi defazajele punctelor în care s-a măsurat răspunsul sunt prelucrate şi transformate în vectori scalaţi.

Analiza modală a caroseriei unui microbuz Pasul 4: Prezentarea datelor finale. În acest moment rezultatele pot fi tipărite sub fomă de tabele, deşi, mai ales pentru structurile complexe cu un număr mare de grade de libertate, se preferă prezentarea grafică a datelor. În definirea modelului modal nu s-a inclus nicio informaţie asupra geometriei structurii. Ca urmare, în această etapă, trebuie schiţată o geometrie simplă a structurii, în care, în mod obligatoriu, trebuie să apară nodurile în care s-au făcut măsurările. Vizualizarea formei modurilor proprii scalate poate fi făcută fie ca o simplă reprezentare a formei deformate a structurii, fie cu ajutorul animaţiei. Pot fi folosite facilităţi suplimentare pentru a roti sau a mării anumite zone ale structurii. Modelul geometric simplu poate fi „expandat” rezultând o figură geometrică care se apropie mult mai bine de caroseria microbuzului studiat

Modelul dinamic şi modelul modal Rezultatul direct al testului modal efectuat a fost vizualizarea formei modurilor şi a rezonanţelor asociate. Folosind în continuare datele deja obţinute, se poate alcătui un model dinamic matematic al structurii studiate. Ce este modelul dinamic? Modelul dinamic este o formulare matematică a proprietăţilor dinamice ale structurii, în puncte discrete ale acesteia şi pe anumite direcţii. El nu este un model al structurii fizice. De exemplu, dacă structura are o singură mărime de intrare şi o singură mărime de ieşire, atunci modelul matematic poate fi: Ce este modelul modal? Modelul modal este un model dinamic generalizat: în care vectorul {X} este o listă a spectrelor de vibraţie în funcţie de gradele de libertate alese. {F} este o listă a spectrelor de excitaţie pentru aceleaşi grade de libertate, iar [H] este o matrice care se poate calcula folosind parametri modali estimaţi:

Modelul dinamic şi modelul modal Ce este modelul modal? Modelul modal este un model dinamic generalizat: în care vectorul {X} este o listă a spectrelor de vibraţie în funcţie de gradele de libertate alese. {F} este o listă a spectrelor de excitaţie pentru aceleaşi grade de libertate, iar [H] este o matrice care se poate calcula folosind parametri modali estimaţi:

Modelul dinamic şi modelul modal Această formulare are avantajul că parametri sunt măsurabili. Este suficient să se măsoare un singur rând sau o singură coloană a matricei [H] pentru a construi apoi întreaga matrice, deoarece se poate calcula orice element din moment ce se cunoaşte forma modurilor proprii, frecvenţele modale şi amortizările:

Verificarea şi utilizarea modelului modal Este relativ simplu să se compare formele modurilor şi frecvenţele proprii (printr-o comparare directă) cu valorile parametrilor modali estimaţi. Dar acest lucru nu este deajuns. Pentru ca, din punct de vedere calitativ, modelul modal să poată fi folosit, sunt necesare investigaţii suplimentare care să ateste acurateţea modelului. Verificarea preciziei prin sintetizarea FRF. Dacă calibrarea aparaturii şi realizarea testului au fost făcute corect, atunci modelul va descrie cu o mare precizie comportarea dinamică a structurii. Se foloseşte un procedeu simplu pentru a testa acurateţea modelului. În timpul testului, se măsoară fie o linie completă – test prin impact, fie o coloană completă – vibrator ataşat, a matricei [H], obţinându-se m (m = nr. de moduri), respectiv n (n = nr. grade de libertate) funcţii de răspuns în frecvenţă. Folosind datele măsurate, programul de calcul furnizează date privind sintetizarea unor noi funcţii de răspuns în frecvenţă, corespunzătoare unor puncte în care nu s-au făcut măsurări. Curbele funcţiilor sintetizate în acest fel sunt suprapuse peste cele obţinute (ulterior) experimental, realizându-se astfel rapid o comparare între răspunsul sintetizat şi cel real. În felul acesta se poate afla rapid dacă modelul este precis sau nu. Precizia poate fi observată în jurul frecvenţelor modale, locul în care vărfurile se vor suprapune exact. Operatorul este cel care hotărăşte dacă modelul este bun, ţinând cont de precizia obţinută prin suprapunerea spectrelor şi de aplicaţiile ulterioare la care va fi folosit modelul.

Trunchierea datelor Din punct de vedere teoretic, formularea modelului modal este exactă din moment ce nu este făcută nicio aproximare. Dar cât de bun este modelul măsurat/estimat? Presupunând valabile considerentele iniţiale, privind liniaritatea etc., atunci eventualele nepotriviri sunt cauzate de trunchieri. Pentru că domeniul frecvenţelor în care s-a făcut testarea este limitat, rezultă că nu au fost luate în calcul toate modurile structurii. Practic, adesea se ignoră mişcările de corp rigid, care au loc la frecvenţe foarte joase, precum şi modurile care se manifestă local, pentru anumite părţi ale structurii. De asemenea, se încearcă să se păstreze cât mai jos posibil domeniul de frecvenţă, pentru a se obţine maximum de rezoluţie a frecvenţelor. În felul ecesta are loc o trunchiere a domeniului frecvenţelor care va reduce precizia modelului, mai ales în zonele de antirezonanţă. Acestea constitue aşa zisa trunchiere modală. Deşi structurile sunt continue, modelele acestora au un număr finit de grade de libertate. Mai mult chiar, dintre cele şase grade de libertate ale unui punct în spaţiu se măsoară doar pe una sau două direcţii în acel punct. Toate acestea fac ca acest tip de trunchiere să poarte numele de trunchiere spaţială. În cazul exemplului de mai sus, caroseria microbuzului a fost descrisă de un grup de date măsurate vertical.

Simularea numerică Cea mai importantă dintre aplicaţiile modelului modal, considerat precis, este procesul de simulare numerică. Simularea numerică ajută să răspundem la întrebări de tipul „Dar dacă ...?”, întrebări puse în general atunci când se doreşte fie optimizarea prototipului aflat în satadiul de proiect, fie cunoaşterea comportării dinamice a structurii sub anumiţi factori posibili. Simularea răspunsului poate prezice răspunsul vibraţiei structurii dacă sunt aplicate diferite forţe excitatoare în oricare dintre punctele care definesc gradele de libertate. Forţele excitatoare, folosite în simulări, se pot împărţi în forţe sinusoidale şi forţe aleatoare. Excitaţia sinusoidală corespunde multor aplicaţii, iar implementarea ei în model este simplă. Dacă forţa este aplicată într-un singur punct atunci toate celelalte puncte vor vibra cu aceeaşi frecvenţă ca şi a forţei excitatoare. Dacă sunt aplicate mai multe forţe, în mai multe puncte, atunci răspunsul dintr-un punct va fi suma răspunsurilor individuale. De exemplu, forţa dată de un dezechilibru masic se poate modela prin două forţe perpendiculare, defazate cu 90o.

Simularea numerică Forţele aleatoare sunt folosite atunci cînd dorim de exemplu să prezicem confortul şoferului microbuzului sau, în general, comportarea la oboseală a unei componente în situaţii speciale, de turbulenţă. Folosirea acestui tip de excitaţie presupune mai degrabă existenţa unor parametri statistici decât a unor valori discrete, iar rezultatele trebuie evaluate luând în vedere metodele statistice. Autospectrul forţei GFF se poate obţine prin calcule, din standarde sau prin măsurări. Programul de calcul sintetizează funcţiile de răspuns în frecvenţă dintre forţă şi oricare dintre gradele de libertate ale modelului.

Simularea numerică Simularea modificărilor se foloseşte pentru a prezice ce se întâmplă cu modelul, din punct de vedere al parametrilor săi modali, dacă se fac modificări fizice (masă, rigiditate, amortizare, substructurare). Ea răspunde la întrebarea „Dar dacă ...?”. Majoritatea problemelor structurilor legate de zgomote şi vibraţii sunt cauzate de rezonanţe. Ele amplifică un semnal provenit de la forţe a căror valoare, în timpul funcţionării, poate fi normală, rezultând un răspuns al structurii de neacceptat. În astfel de situaţii, sarcina inginerului este de a găsi soluţii. Acestea, de cele mai multe ori, presupun modificări structurale în scopul deplasării frecvenţei proprii a structurii şi evitării, în acest fel, a rezonanţei. Efectuarea modificărilor structurale pe structura reală ar duce la costuri suplimentare şi la timp pierdut. Alternativa constă în folosirea modelului modal, modificările fiind făcute doar în calculator, iar timpul de soluţionare a problemei se reduce simţitor. Prin folosirea modelului modal se poate prezice orice modificare structurală (rigiditate, masă sau amortizare). Aceste modificări produc, de fapt, un nou model modal, cu un nou răspuns.

Simularea numerică

Simularea numerică Calcularea modificărilor. În general nu se cunosc parametri spaţiali, ci doar cei în coordonate modale. O modificare fizică – descrisă local prin parametri spaţiali, îşi va produce efectul – prin transformarea modală, în toate coordonatele modale. Ecuaţia de modificare este una standard de vectori şi de valori proprii, soluţia ei dând frecvenţele şi amortizările noului model, precum şi noile forme ale modurilor proprii de vibraţie. Din moment ce toate calculele sunt bazate pe modelul modal, modificările pot fi simulate în punctele de măsură şi pe direcţiile de măsură. Exactitatea metodei depinde în întregime de calitatea modelului obţinut în urma efectuării măsurărilor. Verificare. Răspunsul prezis poate fi transformat în zgomot, tensiune, oboseală etc. pentru a putea fi comparat cu date de referinţă, norme sau standarde. Dacă rezultatul nu este satisfăcător atunci inginerul va trebui să găsească soluţii pentru remedierea problemelor.

Simularea numerică În vederea măririi performanţelor unei structuri, procesul de simulare poate fi repetat ciclic ori de câte ori este necesar. Ciclul cuprinde trei etape mai importante: simularea răspunsului, verificarea şi modificarea simulării. Datorită vitezei mari a calculatoarelor actuale timpul scurs pentru parcurgerea unui ciclu complet este de câteva minute, astfel încât optimizarea este posibilă într-un timp relativ scurt.

Exemplul 1: caz real – vibraţii la o navă În ciuda condiţiilor normale de funcţionare ale unui vapor, pe puntea sa superioară se înregistrau vibraţii puternice. O analiză, efectuată în urma unor măsurări de vibraţii efectuate pe puntea superioară a vasului, a evidenţiat faptul că vibraţiile creşteau exponenţial odată cu creşterea turaţiei elicei. Spectrul vibraţiei a arătat o concentrare a energiei acesteia în dreptul frecvenţei de 8,2 Hz, frecvenţă care corespundea cu frecvenţa de rotire a palelor elicei, care a fost astfel diagnosticată ca fiind principala sursă a vibraţiei.

Exemplul 1: caz real – vibraţii la o navă Niciuna dintre funcţiile de răspuns în frecvenţă măsurate, H12, H22, H32, H42, H52, nu prezintă rezonanţe puternice la frecvenţa de 8,2 Hz, nici măcar când se măsoară în punctul 2, pe puntea superioară (acest lucru semnifică inexistenţa unei rezonanţe locale la 8,2 Hz în zona respectivă – zona cu probleme). Dar niciuna dintre sursele de vibraţie considerate iniţial nu acţionează la nivelul punţii principale. Ce este de făcut? Pe baza măsurărilor efectuate, s-a construit modelul modal care a permis sintetizarea răspunsului în punctul 1 ca urmare a unei forţe aplicate în punctele 3,4 şi 5, puncte inaccesibile unei amplasări uşoare a excitaţiei, rezultînd H13, H14, H15.

Exemplul 1: caz real – vibraţii la o navă În acest moment, problema care trebuia rezolvată era determinarea locului pe unde energia „intra” în structură. Sursele potenţiale erau: lagărul axului cârmei (două grade de libertate), lagărul arborelui elicei (un grad de libertate), cutia de viteze (două grade de libertate) sau variaţiile de presiune asupra pereţilor vasului în vecinătatea elicei. S-a hotărât să se cerceteze prin analiză modală pentru un număr relativ mic de grade de libertate: la pupa navei, pe puntea principală, s-a montat un vibrator cu mase excentrice cu rolul de a excita structura, punctul 2, iar răspun-surile, sub forma FRF, au fost înregistrate în punctele: 2 – unde s-a excitat structura, 1– puntea superioară, 3– lagărul axului cârmei, 4 – lagărul arborelui elicei şi în punctul 5 – cutia de viteze.

Exemplul 1: caz real – vibraţii la o navă Dintre cele trei spectre ale mobilităţii doar una prezintă un maxim relativ mare în dreptul frecvenţei de 8,2 Hz, H14, care corespunde mobilităţii dintre puntea superioară şi lagărul arborelui elicei. Pentru a se rezolva problema s-a mărit rigiditatea structurii în zona lagărului cu probleme printr-un factor egal cu cinci. Măsurări ulterioare au confirmat o reducere a nivelului vibraţiilor în zona punţii superioare prin aproximativ acelaşi factor.

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Răspunsul dinamic al unei structuri slab amortizate, aşa cum este şi structura aleasă în exemplul de aplicaţie, măsurat la coordonată j, produs de forţa de excitaţie aplicată la coordonata l poate fi exprimat prin mobilitatea: unde ψjl(r) este elementul j al vectorului propriu { ψ(r)} de ordinul r, ωr este pulsaţia proprie de ordinul r, mr= { ψ(r)}T[M] { ψ(r)} este masa modală corespunzătoare, iar Ajl(r) este o constantă modală definită astfel: Măsurând mobilitatea la p valori distincte ale frecvenţei de excitaţie Ω1, Ω2, ... Ωp, poate fi scrisă următoarea ecuaţie matriceală:

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Constantele modale pot fi uşor determinate în funcţie de valorile măsurate, astfel: Ţinând cont de extinderea ecuaţiei constantelor modale prin includerea tuturor termenilor j şi l, poate fi construită matricea constantelor modale pentru fiecare mod r: Grupul de matrice [A(1)], [A(2)], ... [A(N)], unde N este numărul gradelor de libertate ale sistemului, caracterizează complet modelul modal. Deşi obţinerea lor se face prelucrând date experimentale, nu este necesară excitarea structurii şi măsurarea într-un număr atât de mare de puncte; mai întâi pentru că matricele [A(r)], sunt simetrice, Ajl=Alj şi în al doilea rând pentru că excitând structura numai într-un singur punct l şi măsurând răspunsul în k puncte (k ≥ N) se pot calcula constantele modale Ajl(r) (unde l este fixat, j = 1, 2, ... k, iar r = 1, 2, ... N).

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Cu ajutorul acestor constante modale se pot sintetiza acum toate celelalte constante modale, fiind utilizată următoarea relaţie: care arată că răspunsul în punctul j produs de o forţă aplicată în punctul i poate fi calculat din constantele modale ale răspunsurilor în punctele i, j şi l, produse de o forţă aplicată în punctul l. Spre deosebire de metodele discutate anterior, în care se consideră masele modale egale cu unitatea (mr = 1), în acest exemplu s-a considerat lungimea vectorului propriu din modul r egal cu unitatea, putându-se determina, în acest caz, masele modale mr. Astfel, având în vedere proporţionalitatea existentă în matricea constantelor modale, elementele vectorului modal ortonormat (scalat) au fost obţinute din relaţia:

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Acum se poate forma matricea modală [ψ] = [{ψ (1)}{ψ (2)}…{ψ (N)}], unde {ψ(r)} reprezintă vectorul modal ortonormat corespunzător modului r.Folosind următoarele două relaţii, se pot determina masele modale şi constantele elastice modale: şi se pot construi matricele diagonale [mr] = diag(mr) şi [kr] = diag(kr). Structura a fost excitată armonic în punctul 1, iar răspunsul a fost măsurat în punctele 1, 2 şi 3. S-au obţinut curbele de răspuns în frecvenţă, exprimate sub forma mobilităţii şi notate cu M11, M21 şi M31, fiind reprezentate cu linie punctată în următoarele trei spectre.

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator M11 M21 M31

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator S-au luat în considerare numai primele trei moduri proprii de vibraţie (N = 3). Frecvenţele de rezonanţă s-au determinat în dreptul maximelor de pe curbele mobilităţii, obţinându-se: f1 = 13,5 Hz, f2 = 73 Hz şi f3 = 218 Hz. În continuare, pentru determinarea modelului modal sunt necesare un număr de p perechi de valori frecvenţă–mobilitate măsurate experimental. Alegerea lor, precum şi modul în care s-au făcut măsurările sunt hotărâtoare pentru obţinerea unui bun model modal. Pentru a exemplifica acest lucru, se consideră două seturi de date de intrare: Mobilitatea măsurată Frecvenţa, Hz Mobilitatea, x10 – 3 m/Ns Exemplul 1 Exemplul 2 M 11 20 125 250 130 160 –0,001 –0,010 –0,174 0,005 0,059 M 21 30 150 50 110 –0,003 –0,152 0,052 0,121 –0,176 M 31 40 90 –0,154 0,056 –0,054 0,163

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Calculele au fost făcute cu ajutorul unui program de calcul scris pe baza relaţiilor prezentate anterior. Au rezultat următoarele matrice: MATRICEA MODALĂ Exemplul 1 Exemplul 2 MATRICEA MASELOR MODALE (kg)

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator MATRICEA CONSTANTELOR ELASTICE MODALE (x103 N/m) Exemplul 1 Exemplul 2 Pentru a afla care dintre seturile de date de intrare corespunzătoare celor două exemple sunt cele care au condus la obţinerea unui model care să descrie cât mai corect structura reală, este necesară utilizarea unor metode de comparare.

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Compararea răspunsurilor dinamice. Prima şi cea mai directă metodă de comparare o constituie suprapunerea curbelor de răspuns în frecvenţă (în cazul exemplelor considerate – curbele mobilităţii) calculate cu ajutorul relaţiei: peste cele determinate experimental. Aşa cum se observă din figurile de mai jos, ambele exemple conduc la o suprapunere bună a curbelor mobilităţii, necoincidenţa din dreptul frecvenţelor de antirezonanţă datorându-se faptului că s-au neglijat rotirile, ţinându-se cont numai de deplasările liniare transversale. M11 M21 M31

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Compararea proprietăţilor modale. Modelele modale obţinute sunt incomplete (N = 3). În relaţiile prezentate anterior nu s-a ţinut cont de influenţa modurilor superioare, nici măcar prin adăugarea unor termeni reziduali. Cu toate acestea, dintre modelele modale obţinute din mai multe seturi de date experimentale, trebuie ales cel care se apropie cel mai mult de un model obţinut prin aplicarea metodei elementelor finite (MEF). Astfel, pentru detremninarea primelor trei moduri de vibraţie ale sistemului s-a făcut o analiză teoretică preliminară, folosind un model de element finit format din 12 elemente de tip bară, nodurile având două grade de libertate, de translaţie şi de rotaţie. Au rezultat următoarele frecvenţe proprii: f1 = 12,92 Hz, f2 = 73,92 Hz şi f3 = 210,4 Hz şi următoarea matrice modală prezisă: Compararea frecvenţelor proprii. Frecvenţele proprii măsurate, egale cu frecvenţele proprii ale modelului modal, sunt comparate cu cele prezise de modelul obţinut prin aplicarea MEF. Compararea poate consta în simpla observare a celor două şiruri de valori ale frecvenţelor pentru fiecare mod, dar se recomandă marcarea lor pe un grafic ca cel din figură.

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Compararea grafică a formei modurilor proprii. O metodă directă de comparare este reprezentarea, prin suprapunere, a formei modurilor proprii pentru fiecare model – experimental şi prezis – de-a lungul liniilor care caracterizează structura. Această metodă prezintă dezavantajul unei interpretări dificile a diferenţelor care apar şi a suprapunerii confuze, datorată bogatei informaţii ce o includ. De aceea, se recomandă folosirea unor grafice asemănătoare cu cele de mai jos. Aşa cum se observă din figurile de mai sus, formele modurilor proprii coincid mult mai bine în Exemplul 2 decât în Exemplul 1. Deci modelul modal corespunzător Exemplului 2 va descrie mai exact proprietăţile dinamice ale structurii reale.

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Compararea numerică a formei modurilor proprii. O alternativă la compararea grafică prezentată anterior o constituie calculul unor proprietăţi statistice simple ale fiecărei perechi de moduri, care de această dată pot fi şi complexe. Factorul modal de scară (FMS) reprezintă panta liniei drepte care trece cât mai aproape de punctele reprezentate în figurile anterioare şi este definit astfel: în funcţie de modul propriu de vibraţie, experimental {xψ(r)} sau prezis {pψ(r)}, care a fost luat drept bază. Trebuie observat că cele două relaţii de mai sus nu dau indicaţii asupra calităţii apropierii punctelor de o linie dreaptă, ci numai panta ecesteia. Rezultatele aplicării relaţiei FMS pentru cele două exemple considerate sunt trecute în următorul tabel: Modul de vibraţie FMS (x,p) Exemplul 1 Exemplul 2 1 2 3 0,992 0,986 0,974 0,998 0,994 0,995

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Un alt parametru este Criteriul de confidenţă modală (CCM), care corespunde pătratului de corelaţie din statistica matematică şi poate lua valori cuprinse în intervalul [0,1]: În cazul ideal, dacă CCM(x, p) = 1 rezultă că există o corelare perfectă între moduri, respectiv dacă CCM(x, p) = 0 nicio relaţie între ele. Practic însă, dacă vectorul propriu determinat experimental {xψ(r)} se referă la acelaşi mod ca şi cel prezis {pψ(r)}, se pot admite satisfăcătoare rezultatele în care CCM(x, p) ≥ 0,9 şi respectiv CCM(x, p) ≤ 0,05 pentru modurile necorelate. Valorile care nu se înscriu în aceste limite pot fi cauzate de neliniarităţile structurii, de datele experimentale eronate sau de neluarea în considerare a influenţei modurilor superioare. Deşi acest parametru este folosit în cuantificarea comparării dintre cele două seturi de date ale formei modurilor proprii, el nu dă o imagine completă şi se recomandă a fi folosit alături de reprezentări grafice precum cele menţionate. Aplicarea CCM asupra datelor celor două exemple a condus la obţinerea rezultatelor din următorul tabel: CCM(x, p) Exemplul 1 Exemplul 2

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Modelul fizic. Pe baza modelului modal, se poate obţine un model fizic incomplet caracterizat, în cazul sistemelor slab amortizate, de matricele [M] şi [K]: în care [mr] şi [kr] sunt matrice diagonale, care au elemente numai pe diagonala principală, mai exact masele modale şi respectiv constantele elastice modale. Utilizarea matricelor [M] şi [K] de mai sus în problema de valori proprii: conduce la frecvenţele proprii ωr şi vectorii proprii {ψ(r)} identificaţi. Pentru cele două exemple considerate s-au obţinut astfel rezultatele prezentate în tabelul următor: Matricea Exemplul 1 Exemplul 2 [M] kg 12,73 –1,53 –0,11 3,08 –0,28 simetrică 2,62 9,57 –1,53 –0,12 5,76 –0,44 simetrică 3,07 [K] X106 N/m 21,28 –5,47 1,63 1,96 –0,72 simetrică 0,31 16,09 –6,09 1,30 3,37 –0,96 simetrică 0,33

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Modificări structurale. Efectele modificărilor structurale din sistemul real pot fi prezise prin modificări corespunzătoare efectuate în matricele [M] şi [K] ale modelului fizic. Astfel, în cazul structurii simple alese, s-a renunţat la masa m2, de valoare 2,8 kg şi s-au reluat măsurările experimentale obţinându-se mobilităţile, trasate punctat, din figurile 2.99, 2.100 şi 2.101 (curba 1). Se observă noile frecvenţe proprii, măsurate experimental: f1 = 13,7 Hz, f2 = 92 Hz şi f3 = 233 Hz. S-a înlocuit apoi termenul corespunzător din matricea [M] a modelului fizic cu noua valoare de 0,28 (3,08 kg – 2,8 kg = 0,28 kg) în loc de 3,08 pentru Exemplul 1 şi de 2,96 în loc de 5,76 (5,76 kg – 2,8 kg = 2,96 kg) pentru Exemplul 2. Matricea Exemplul 1 Exemplul 2 [M] kg 12,73 –1,53 –0,11 3,08 –0,28 simetrică 2,62 9,57 –1,53 –0,12 5,76 –0,44 simetrică 3,07 [K] X106 N/m 21,28 –5,47 1,63 1,96 –0,72 simetrică 0,31 16,09 –6,09 1,30 3,37 –0,96 simetrică 0,33

Exemplul 2: analiză modală efectuată în laborator Modificări structurale. Aplicând relaţia prin care s-a definit mobilitatea, relaţie în care s-a considerat pentru masa modală corespunzătoare modului doi valoarea de 2,96 kg în loc de 5,76 kg, au rezultat curbele de răspuns în frecvenţă, reprezentate cu linie continuă în figurile de mai jos (curba 2). Ele au fost suprapuse cu cele determinate experimental (curba 1). Erorile obţinute au drept cauză neglijarea influenţei modurilor superioare. Dacă se reiau calculele dar în relaţia care defineşte mobilitatea se mai însumează un termen de tipul ΩRjl, care ţine cont de influenţa modurilor superioare asupra celor trei moduri analizate, se obţin curbele notate cu 3. M11 M21 M31