Matematinė analizė ir tiesinė algebra 3-4 paskaitos.

Funkcijos išvestinė Tegu y=f(x) ir Δx yra funkcijos argumento pokytis taške x, o Δy=f(x+Δx)-f(x) – atitinkamas funkcijos pokytis. Funkcijos išvestine taške x (žymima f’(x)) vadinama riba Jei riba neegzistuoja, sakoma, kad funkcija išvestinės taške neturi. Jei funkcija turi išvestinę taške x, tai ji vadinama diferencijuojama taške x. Išvestinės skaičiavimas vadinamas funkcijos diferencijavimu. Jei funkcija f(x) turi išvestinę taške x, tai ji yra tolydi šiame taške.

Išvestinės interpretacijos Išvestinės f’(x) geometrinė interpretacija: tai yra kampo, kurį sudaro funkcijos f(x) liestinė taške (x, f(x)) su Ox ašimi, tangentas. Kita vertus, santykis Δy/Δx yra funkcijos kitimo vidutinis greitis, kai argumentas kinta intervale [x; x+Δx]. Vadinasi, riba rodo funkcijos kitimo momentinį greitį (funkcijos kitimo greitį momentu x). Pavyzdžiui, tegu K=K(x) yra gamybos kaštų K priklausomybė nuo produkcijos kiekio x. Šios funkcijos pokytis ΔK=K(x+Δx)-K(x) yra gamybos kaštų pokytis, atitinkantis produkcijos kiekio pokytį Δx. Tuomet santykis ΔK/Δx yra vidutinis kaštų kitimo greitis produkcijos kiekio intervale [x; x+Δx] ir momentinis (ribinis) gamybos kaštų kitimo greitis, esant gamybos lygiui x, gaunamas apskaičiavus ribą

Diferencijavimo taisyklės Pastoviosios funkcijos išvestinė lygi nuliui. Jei f(x) yra diferencijuojama funkcija, tai su bet kuria konstanta c Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos, tai Išvada. Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos, tai su bet kuriomis konstantomis a ir b

Diferencijavimo taisyklės Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos, tai Jei f(x) yra diferencijuojama funkcija ir f(x)≠0, tai Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos ir g(x)≠0, tai

Diferencijavimo taisyklės Pažymėję u=f(x), v=g(x), galime parašyti

Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė

Diferencijavimo taisyklės Teorema (atvirkštinės funkcijos diferencijavimas). Tarkime, kad f(x) yra diferencijuojama ir monotoniška intervale (a; b). Tada f(x) turi atvirkštinę funkcija g(x), funkcija g(x) yra diferencijuojama savo apibrėžimo srityje (c; d), ir kiekvienam x iš intervalo (c; d) Teorema (sudėtinės funkcijos diferencijavimas). Tarkime, kad f(x) yra diferencijuojama taške x, o funkcija g(y) yra diferencijuojama taške y=f(x). Tuomet sudėtinė funkcija F(x)=g(f(x)) taip pat yra diferencijuojama taške x ir arba

Diferencialas Funkcijos f(x) diferencialu dy taške x vadinama sandauga f’(x)Δx, t.y. Vietoje Δx galime rašyti dx, nes dx=x’Δx=Δx. Taigi arba t.y. funkcijos išvestinė yra lygi funkcijos diferencialo ir argumento diferencialo santykiui. Šiuo santykiu dažnai žymima išvestinė. Kai argumento pokytis Δx yra mažas, tai Δy ≈ dy. Todėl diferencialas yra naudojamas skaičiuojant funkcijų reikšmes ir vertinant paklaidų didumą. Tarkime Δy yra f(x) pokytis taške x, atitinkantis argumento pokytį Δx. Tuomet, jei f(x) yra žinoma, tai funkcijas reikšmes x aplinkoje galima įvertinti kaip

Aukštesniųjų eilių išvestinės Funkcijos f(x) n-oji išvestinė yra (n-1)-osios išvestinės išvestinė. Šios išvestinės žymimos arba Leibnico formulė

Elementariųjų funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinių lentelė

Išvestinės taikymai. Elastingumas Dar viena ekonomikoje taikoma rodiklių kitimo greičio charakteristika yra elastingumas. Funkcijos y=f(x) santykine išvestine, arba elastingumu, kintamojo x atžvilgiu taške x vadinama riba Elastingumas nesunkiai išreiškiamas funkcijos y=f(x) išvestine Elastingumo ekonominė prasmė yra procentinis funkcijos y pokytis argumento reikšmei pakitus vienu procentu: Ex(y) didumas rodo, keliais procentais pakito y, kai kintamasis x pakito vienu procentu.

Išvestinės taikymai. Netiesinių lygčių sprendimas Niutono metodu. Sprendžiame lygtį f(x)=0. Jei pradinis artinys x0 toks, kad tai kur a yra lygties šaknis: f(a)=0, o

Išvestinės taikymai. Lopitalio taisyklė Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos taško a aplinkoje, išskyrus galbūt patį tašką a, g(x)≠0 ir g’(x)≠0 toje aplinkoje, ir Tuomet: jei dešinės pusės riba egzistuoja arba yra +∞ arba -∞. Pastaba. Lopitalio taisyklė taikytina ir tada, kai f(x)/g(x) yra neapibrėžtumas ∞/∞ taške a. Taisyklė galiojo ir kai a=∞ arba a=-∞.

Išvestinės taikymai. Teiloro formulė Tarkime, kad funkcija f(x) turi visas išvestines taško a aplinkoje. Tuomet toje aplinkoje

Išvestinės taikymai. Funkcijos ekstremumai Lagranžo teorema. Jei funkcija y=f(x) yra tolydi uždarame intervale [a; b] ir turi išvestinę bent atvirame intervale, tai yra toks taškas c, a<c<b, kad galioja lygybė vadinama Lagranžo, arba baigtinių pokyčių, formule. Išvestine yra patogu naudotis, tiriant funkcijas bei braižant jų grafikus. Remiantis Lagranžo teorema, įrodomas funkcijos pastovumo kriterijus ir didėjimo bei mažėjimo požymiai. Funkcija y=f(x) yra pastovi intervale tada ir tik tada, kai jos išvestinė šiame intervale yra lygi nuliui. Jei funkcija y=f(x) intervale didėja (mažėja), tai jos išvestinė šiame intervale tenkina nelygybę f’(x)≥0 (f’(x)≤0 ). Jei funkcijos y=f(x) išvestinė intervale yra teigiama (neigiama), tai funkcija šiame intervale yra didėjanti (mažėjanti).

Išvestinės taikymai. Funkcijos ekstremumai Funkcijos y=f(x) reikšmė f(a) vadinama funkcijos lokaliu maksimumu (minimumu), jei yra taško a aplinka, kurioje galioja nelygybė f(x) < f(a) (f(x) > f(a)). Funkcijos maksimumai ir minimumai vadinami jos ekstremumais, o tos argumento reikšmės, kuriose įgyjami ekstremumai, - ekstremumo taškais. Kaip randami funkcijos ekstremumo taškai? Teorema. Tegu funkcija y=f(x) intervalo (a; b) taške c įgyja ekstremumą. Jei šiame taške egzistuoja išvestinė f’(c) , tai ji yra f’(c)=0. Ieškant ekstremumo reikia tirti ne tik tuos taškus, kuriuose išvestinė lygi nuliui, bet ir tuos, kuriose išvestinė neegzistuoja. Visi tokie taškai vadinami kritiniais taškais.

Išvestinės taikymai. Funkcijos ekstremumai Teorema (pakankamos ekstremumo sąlygos). Tarkime, kad funkcija y=f(x) yra tolydi atvirame intervale ir diferencijuojama kiekviename to intervalo taške, išskyrus galbūt jo vidinį tašką c. Tuomet jei f’(x)>0 į kairę nuo c ir f’(x)<0 į dešinę nuo c, tai f(c) yra lokalusis maksimumas; jei f’(x)<0 į kairę nuo c ir f’(x)>0 į dešinę nuo c, tai f(c) yra lokalusis minimumas; jei f’(x) turi tą patį ženklą abipus taško c, tai f(c) nėra nei minimumas, nei maksimumas. Teorema. Tarkime, f’(c)=0. Jei f’’(c)<0, tai f(c) yra lokalusis maksimumas. Jei f’’(c)>0, tai f(c) yra lokalusis minimumas.