Stredové premietanie 2. časť - metrické úlohy Margita Vajsáblová Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 151 Margita Vajsáblová Stredové premietanie 2. časť - metrické úlohy
Obraz útvaru ležiaceho v rovine rovnobežnej s Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 152 Obraz útvaru ležiaceho v rovine rovnobežnej s Nech útvar U , kde: , potom U US . Útvar U a útvar US sú rovnoľahlé, kde stredom rovnoľahlosti je S a koeficient rovnoľahlosti je d H S d’
Deliaci pomer bodov na priamke v stredovom premietaní Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 153 Ak je priamka rovnobežná s priemetňou,v stredovom premietaní sa na nej zachováva deliaci pomer. Dané: A, B na hlavnej priamke roviny . Konštrukcia bodu C, ak (A, B; C) = - . uS H 4 3 2 Riešenie pomocou podobnosti trojuholníkov. 1 d hS AS CS BS p Ak priamka a nie je rovnobežná s priemetňou,v stredovom premietaní sa na nej nezachováva deliaci pomer. Dané: A, B na ľubovoľnej priamke roviny a(Pa, USa). Konštrukcia bodu C, ak (A, B; C) = - . d H US uS USa Zvolíme ľubovoľnú rovinu , v ktorej leží priamka a. Bodom A zostrojíme hlavnú priamku roviny . Na hlavnej priamke hS zostrojíme body B´ a C´ tak, aby platilo (A, B; C) = (A, B´; C´). Zostrojíme bod US - tzv. úbežník delenia, ako priesečník priamky BSB´ a úbežnice uS , teda US = BSB´ uS . Z bodu US premietneme bod C´ na priamku aS, CS = USC´ aS . aS BS CS hS AS 1 = C´ 2 3 4 = B´ Pa p
Otáčanie smerovej roviny ´ roviny do priemetne Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 154 Konštrukcia otočenej polohy stredu premietania S v otáčaní smerovej roviny α´ roviny α: Os otáčania – uSα. Kružnica otáčania bodu S – v rovine kolmej na os otáčania v kolmo premietacej rovine priamky smerovej spádovej sα´. Stred otáčania bodu S – úbežník spádových priamok roviny α USs. Polomer otáčania bodu S je rs =S USs (zistíme v sklopení premietacej roviny priamky sα´). Otočená poloha bodu S je bod S0 = uSα (ks) = [USs , rs = (S) USs ]. S0 s1’ kS s1’ USs rS S0 uS (kS ) . S H ’ s’ uS USs rS . d p (S) H d (s’ ) p
S Použitie otočenia smerovej roviny α´ do priemetne : Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 155 Zistiť graficky uhol priamok a, b ležiacich v rovine α. Uhol priamok a, b sa rovná uhlu ich smerových priamok: (a, b)= (a´, b´)= (a 0´, b 0´) Otočená poloha priamok a´, b´: a0´= S0 USa , b0´= S0 USb. S0 kS a´0 b´0 USb s1’ S0 USs uS rS a´0 (a, b) USa b´0 USa S uS USs (kS ) USb a’ ’ H rS Pb H b’ p (S) d (s’ ) Pa aS bS a b p Pa Pb
Zistiť graficky dĺžku úsečky. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 156 1. Úsečka AB leží na hlavnej priamke roviny α: Posunieme úsečku AB na stopu p ľubovoľným smerom, teda zvolíme U uS USAS p = A*, USBS p = B*. AB = A*B*. uS US Pb S US uS H ’ H d p BS h B* AS hS B p A* AB A* B* AB AB A a
Zistiť graficky dĺžku úsečky. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 157 2. Úsečka AB leží na ľubovoľnej priamke a: Zvolíme ľubovoľnú rovinu α, v ktorej leží priamka a = AB. Otočíme úsečku AB na stopu p okolo stopníka Pa do A*B* a platí: AB = A*B*. Otočenie nahradíme rovnobežným premietaním, úbežník tohto smeru premietania a nazývame merací bod priamky a a platí: a uS , aUSa = USa S = USa S 0. Potom aAS p = A*, aBS p = B*, AB = A*B*. a´0 S0 k USa S s1’ a kS a´0 S0 USa S USs k USa uS USa S uS USs (kS ) a’ a ’ H p B* AB s’ aS (S) BS d (s’ ) H A* Pa A B AS AB a p Pa B* A* AB Kružnica meracích bodov priamok smeru a leží v priemetni a k = [USa,r = USa S].
Priamka kolmá na rovinu Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 158 Kolmica na rovinu je kolmá na všetky priamky roviny α, teda aj na spádovú priamku roviny α. Smerová kolmica k´ na rovinu α leží v spoločnej premietacej rovine ´ so smerovou spádovou priamkou roviny α USk - úbežník kolmíc na rovinu α leží na priamke s1’ k1´ . V sklopení premietacej roviny ´ platí: (s’ ) (k´). Teda USk= (k´ ) k1´ s1’ . s1’ k1´ uS p d uS kS=USkAS . USs . (s’ ) (k’ ) s1’ k1´ uS Pk k BS uS . (S) H . B* k’ p USs AB AS s’ ’ sS A* kS S p . H . . ’ PS USk p Merací bod k kolmice k leží na úbežnici roviny (s, k), kde uS s1’ k1´ a platí |USk(S)| = |USkk| . p - stopa roviny prechádza stopníkom Ps spádovej priamky sS =AS USs a je rovnobežná s uS . Dĺžku úsečky ležiacej na priamke k zistíme premietnutím na stopu p cez k: ASk p = A*, BSk p = B*, AB = A*B*. k USk s AS .