A. Mărimi fizice A.1. Mărimi fizice scalare A.2. Mărimi fizice vectoriale A.3. Adunarea (compunerea) vectorilor A.4. Scăderea vectorilor A.5. Inmulțirea unui vector cu un scalar A.6. Descompunerea vectorilor. Axe de coordonate A.7. Dependența funcțională a marimilor fizice scalare A.8. Funcția putere și radical A.9. Funcții trigonometrice A.10. Derivata unei funcții A.11. Funcția exponentială și logaritmică A.12. Numere complexe A.13. Formula lui Euler A.14. Derivarea funcțiilor compuse A.15. Funcții vectoriale A.16. Aplicații: a. Compunerea vectorilor perpendiculari b. Compunerea vectorilor în cazul general

Mărimile fizice sunt de doua feluri: Mărimi scalare Mărimi vectoriale

A.1. Mărimi fizice scalare sunt caracterizate de valoare (pozitivă sau negativă) Exemple: timpul, masa, volumul, densitatea, presiunea, energia, puterea

A.2. Mărimi fizice vectoriale sunt caracterizate de: valoare, direcție, sens Exemple: viteza, accelerația, forța Vectorii se notează cu litere îngrosate: v sau cu litere obișnuite cu sageată desupra: v Vectorul este reprezentat de o sageată Direcția sa este determinată de dreapta suport Sensul este spre dreapta sau stânga pe această direcție

A.3. Adunarea (compunerea) vectorilor a + b = c se face dupa regula paralelogramului: suma a doi vectori este egală cu diagonala paralelogramului având drept laturi cei doi vectori

Regula de adunare a triunghiului Vectorii se pozitionează astfel încat originea celui de-al doilea să coincidă cu capatul primului. Suma vectorilor este egală cu vectorul care unește originea primului cu capatul celui de-al al doilea c b a

A.4. Scăderea vectorilor a + b = c → b = c - a este operația inversă adunării și se face astfel încât vectorul diferentă c să unească capetele celor doi, cu sensul dinspre scăzător (a) spre descăzut (c)

A.5. Inmulțirea unui vector cu un scalar este operația de multiplicare a vectorului de λ ori b = a λ Dacă λ˃0 vectorul rezultant are același sens Dacă λ˂0 vectorul rezultant are sens opus a b

A.6. Descompunerea vectorilor este operația inversa compunerii Vectorii se pot descompune în plan dupa doua componente. Un caz important este descompunerea dupa direcțiile unui sistem de axe de coordonate perpendiculare (X,Y), numit și sistem cartezien: a=ax+ay =axex+ayey Aici am definit vectorii unitari: ex ey drept vectorii pe directiile X si Y care au marimea 1 Y a ay Rezulta ca un vector în plan este echivalent cu a defini o pereche de marimi scalare (ax,ay) numite componentele vectorului dupa axele X si Y ey ex X ax

A.7. Dependenta funcțională a mărimilor fizice scalare Doua mărimi fizice scalare pot depinde una de cealaltă, definind astfel o funcție de o variabilă. Reprezentare grafică a funcției într-un sistem de coordonate perpendiculare este dată de mulțimea punctelor reprezentate de curba: y=f(x) y=x Funcția inversă: x=f-1(y): este curba simetrica față de prima bisectoare: y=x deoarece rolul celor doua axe se schimbă reciproc

A.8. Funcția putere și radical Funția putere: y(x)=xn, unde n este număr natural dat Funcția inversă radical: y-1(x)=x1/n prima bisectoare

A.9. Funcții trigonometrice definite în triunghiul dreptunghic Suma unghiurilor în orice triunghi este 180o c (ipotenuza) 90o-φ b (catetă) 90o φ a (catetă) cateta opusă / ipotenuză cateta alturată / ipotenuză cateta opusă/ catata alaturată

Cercul trigonometric este un cerc de raza 1 în care unghiurile se masoară în sens orar invers cos φ sin φ y x O A φ Funcțiile trigonometrice sunt definite ca de obicei: sin φ = AP / OP = AP cos φ = OA / OP = OA Din teorema lui Pitagora AP2 + OA2 = OP2 = 1 rezultă: sin2φ + cos2φ = 1

Masurarea unghiurilor în radiani Corespondenta cu gradele obișnuite se face astfel: 360o → 2πR/R=2π 180o → π 90o → π/2 Numărul irațional π≈3.141593 este egal cu raportul dintre lungimea cercului și diametru

a. Caz particular: φ=45o sau în radiani: Teorema lui 45o Pitagora:

b. Caz particular: φ=30o si 60o Completăm triunghiul dreptunghic ABC cu triunghiul egal ACD formând dreptunghiul ABCD sau în radiani: Folosind teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC exprimăm latura a funcție de latura b D C Ipotenuza AC este diagonală care se imparte în doua segmente egale: c=2b 60o b 60o b 60o b b 60o 30o 30o A B a

Ecuații trigonometrice simple A,C B B sin φ (2n+1)π 2nπ D φ cos φ C A B,D A -π/2+2nπ C D

A.10. Derivata unei funcții se definește ca limita raportului dintre variația funcției și variația argumentului dreapta secantă MM1 la limita devine dreapta tangentă la M Δx: este variația argumentului Δy: este variația funcției, dy: este variația pe dreaptă tangenta in x. Observație: Δx=dx Concluzie: derivata în punctul M(x,y) este tangenta trigonometrică a unghiului α dintre dreapta tangenta la curba în punctul M și axa Ox

Exemplu de utilizare a derivaței Calculul punctelor de extrem (maxime, minime): y=f(x) funcția crește funcția scade derivata scade, deci derivata de ordinul doi este negativă: unde derivata de ordinul doi este derivată derivatei: x

Derivarea funcției putere Caz particular: y(x)=x2 Observație: n poate fi orice număr real pozitiv sau negativ In cazul general Funcția putere y(x)=xn se derivează dupa formula: Caz particular: pentru n=0 obținem o constanta y(x)=C Produsul dintre o constantă și o funcție se derivează astfel: Derivata sumei de funcții este:

A.11. Funcția exponentială si logaritmică Numarul irational e≈2.71828 se poate defini ca baza a funcției exponentiale y(x)=ex, pentru care derivata coincide cu funcția: sau cu alte cuvinte: rata de creștere a acestei mărimi este egală cu marimea însăși în fiecare punct x. Funcția inversă funcției exponențiale în baza e notata: y(x)=ln x (evident echivalenta cu: x=ey) se mai numește logaritm natural . Derivata funcței inverse se calculează astfel:

Funcția exponențială (albastru): f(x) = ex, e ≈ 2.71828 Funcția inversă logaritmică (roșu): f-1(x) = loge(x) = ln(x) Argumentul funcției logaritmice trebuie sa fie pozitiv ! Valori particulare

Operații cu exponențiale si logaritmi Observație: ultimele egalități sunt valabile chiar daca numarul n are valori reale Operații cu exponențiale si logaritmi Schimbarea bazei cu numarul real a>0 Toate relațiile de mai sus sunt valabile în orice bază

Logaritmul în baza a=10 se numește logaritm zecimal, care se poate calcula folosind logaritmul natural: Logaritmul zecimal Invers, logaritmul natural se poate calcula folosind logaritmul zecimal: Urmatoarele relații sunt utile:

A.12. Numere complexe Un numar complex este definit asfel: Numarul i se numește unitate imaginară. Numarul complex z poate fi reprezentat de un vector cu doua componente (a,b) având mărimea (denumită și modul) r și formând unghiul φ cu axa X z b r φ a

A.13. Formula lui Euler Un număr complex având modulul r=1 poate fi reprezentat de relația de mai jos, care poartă numele de formula lui Euler Importante sunt urmatoarele cazuri particulare: Formula permite definirea logaritmului din numere negative

Matematician de origine elvețiana Leonard Euler (1707-1783) Matematician de origine elvețiana care a trăit în St. Petersburg (Rusia)

Derivarea funcțiilor trigonometrice poate fi facută folosind formula lui Euler sau egalitatea echivalenta: Identificand partea reala și cea imaginară obținem formulele de derivare ale funcțiilor sin și cos

Concluzie: Prin derivare faza numarului complex z și a funcțiilor trigonometrice crește cu π/2 φ+π/2 φ

Relațiile trigonometrice pot fi deduse în mod simplu folosind formula lui Euler Identificand parțile reale și maginare din egalitate obținem: Cazul particular α=β conduce la relațiile (folosind sin2α+cos2α=1):

A.14. Derivarea funcțiilor compuse f(x)=f(g(x)) se face înmulțind și împarțind cu dg: Exemple

A.15. Funcții vectoriale Vectorul dependent de timp poate fi considerat ca o funcție vectorială dependentă de un scalar (timpul) Exemplu: vectorul de poziție r(t) este un vector cu originea fixă, al cărui capăt se mișcă pe o curbă numită traiectorie r(t)

b. Funcția de două variabile poate fi considerată o funcție scalară, care depinde de un vector bidimensional, definit de cele doua coordonate (x,y) Reprezentare grafică a funcției de 2 variable este suprafața z=z(x,y)=f(x,y) Curba de nivel: mulțimea punctelor (x,y) pentru care funcția are o valoare data

Patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor catetelor a. Compunerea vectorilor perpendiculari A.16. Aplicatii F (ipotenuza) Marimile celor doi vectori sunt respectiv: F1=3 si F2=4 Conform teoremei lui Pitagora: Patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor catetelor deci marimea rezultantei este: F1 (cateta) F2 (cateta)

b. Compunerea vectorilor în cazul general se face completand triunghiul de adunare a vectorilor OAB cu triunghiul dreptunghic ABC, astfel încât să rezulte triunghiul dreptunghic OBC. Notăm cu φ unghiul între vectorii F1 si F2 B Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul OBC obținem: F F2sin φ F2 φ φ F2cos φ O F1 A C