UPRAVLJAČKA KONFIGURACIJA SA NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM - ZATVORENO REGULACIONO KOLO - Elementi: Proces (objekat upravljanja) Merni element Regulator Izvršni element

- ZATVORENO REGULACIONO KOLO - Uvod PROMENLJIVE: x - postavna tačka, odnosno željena vrednost regulisanog izlaza y - regulisani izlaz ym - izmerena vrednost regulisanog izlaza ε=x-ym - greška p - upravljački signal m – manipulativna - regulaciona promenljiva l - spoljašnji poremećaj - promenljiva opterećenja

REGULATOR U ZATVORENOM REGULACIONOM KOLU Uloga regulatora: Matematički obrađuje signal greške: i na izlazu daje upravljački signal - naređenje izvršnom elementu Funkcija F definiše upravljački zakon  tip regulatora Proporcionalni (P) regulator Kc – pojačanje regulatora Proporcionalno-diferencijalni (PD) regulator Kc – pojačanje regulatora td – diferencijalno vreme Proporcionalno-integralni (PI) regulator Kc – pojačanje regulatora ti – integralno vreme Proporcionalno-integralno-diferencijalni (PID) regulator Kc – pojačanje regulatora ti – integralno vreme td – diferencijalno vreme Dvopoložajni – ON-OFF regulator

Prenosne funkcije regulatora ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu Prenosne funkcije regulatora Proporcionalni (P) regulator Proporcionalno-integralni (PI) regulator Proporcionalno-diferencijalni (PD) regulator Proporcionalno-integralno-diferencijalni (PID) regulator ti∞, PIDPD td0, PIDPI

Frekventne karakteristike regulatora ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu Frekventne karakteristike regulatora P regulator

ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu – frekventne karakteristike PI regulator -1 Integralno dejstvo

ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu – frekventne karakteristike PD regulator +1 Diferencijalno dejstvo

ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu – frekventne karakteristike PID regulator -1 +1 K Integralno dejstvo Diferencijalno dejstvo

DINAMIKA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA X - Postavna tačka L - Opterećenje (poremećaj) Y - Izlazna (regulisana) promenljiva ε - Greška M – Regulaciona (manipulativna) promenljiva P - Upravljački signal Ym- Izmerena veličine izaza Gp - prenosna funkcija procesa u odnosu na regulacionu promenljivu (Y/M) Gpl - prenosna funkcija procesa u odnosu na promenljivu opterećenja (Y/L) Gm - prenosna funkcija mernog elementa Gc - prenosna funkcija regulatora Gv - prenosna funkcija izvršnog elementa

Prenosne funkcije Prenosna funkcija otvorenog kola Dinamika zatvorenog regulacionog kola Prenosne funkcije Prenosna funkcija otvorenog kola Prenosne funkcije zatvorenog kola - U odnosu na postavnu tačku - U odnosu na opterećenje Karakteristična jednačina ZRK

Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom Dinamika zatvorenog regulacionog kola Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom Primer 1: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke Greška stacionarnog stanja - OFFSET Ekvivalentno pojačanje Ekvivalentna vremenska konstanta

Primer 2: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom Primer 2: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja

Primer 3: Proces II reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom Primer 3: Proces II reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke

Primer 1: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PI regulatorom Za xe<1: Primer 1: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke

Primer 2: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PI regulatorom Za xe<1: Primer 2: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja

Primer 1: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PD regulatorom Primer 1: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu postavne tačke PD P

Primer 2: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PD regulatorom Primer 2: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja

Primer 1: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PID regulatorom Primer 1: Proces I reda, odziv na stepenastu promenu opterećenja

ZAKLJUČCI P regulacija: Ne menja se red sistema Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK - pregled ZAKLJUČCI P regulacija: Ne menja se red sistema Ubrzava se odziv; Kc  brzina odziva  Postoji greška stacionarnog stanja, Kc  GSS  Za sisteme II i višeg reda, Kc , xe i Pe  (oscilatorniji sistem). PI regulacija: Eliminiše grešku stacionarnog stanja (GSS=0) Povećava red sistema za jedan Kc  brzina odziva , Pe , xe  ti , Pe, xe  Smanjuje se stabilnost ZRK PD regulacija Ne menja se red sistema Postoji greška stacionarnog stanja (ista kao za P), Kc  GSS  te veće nego za P regulator, td  te  (smanjuje se brzina odziva) Povećava stabilnost ZRK PID regulacija Eliminiše grešku stacionarnog stanja (GSS=0) Povećava red sistema za jedan Kc  brzina odziva , Pe , xe  ti , Pe, xe  td  brzina odziva ZRK  Može se podesiti stabilnost ZRK

Koreni karakteristične jednačine STABILNOST ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA stabilni nestabilni Stabilnost sistema  Koreni karakteristične jednačine Potreban i dovoljan uslov da je linearan sistem stabilan je da su svi realni koreni karakteristične jednačine negativni, a da kompleksni koreni imaju negativan realni deo. Karakteristična jednačina ZRK Kc (ti, td) 

Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti (Laplasov domen) Stabilnost zatvorenog regulacionog kola Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti (Laplasov domen) Karakteristična jednačina ZRK u obliku: - Moguće samo za sisteme sa nagomilanim parametrima - a0, a1, ..., an – funkcije parametara regulatora Test 1: Ukoliko svi koeficijenti karakterističnog polinoma (a0, a1, ..., an ) nisu istog znaka, sistem je sigurno nestabilan. (Potreban uslov da bi sistem bio stabilan.) Test 2: Rutova šema I II III IV 1 2 3 4 . n+1 a0 a1 b1 c1 w1 a2 a3 b2 c2 w2 a4 a5 b3 c3 a6 a7 Ukoliko su svi koeficijenti u prvoj koloni Rutove šeme istog znaka, sistem je stabilan. (Dovoljan uslov da bi sistem bio stabilan.)

Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti - primer Stabilnost zatvorenog regulacionog kola Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti - primer Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom III reda i P regulatorom Test 1: Svi koeficijenti karakterističnog polinoma su pozitivni. Potrebni uslovi za stabilnost ZRK ispunjeni za  Kc Karakteristična jednačina ZRK:  Test 2: Rutova šema I II III 1 2 3 4 (8-Kc/8)/3 (1+Kc/8) ZRK je: - stabilno za Kc<64 - na granici stabilnosti za Kc=64 - nestabilno za Kc>64 Definicija: Pojačanje regulatora za koje je ZRK na granici stabilnosti naziva se KRAJNJE POJAČANJE - Ku

 Metoda geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine ZRK Stabilnost zatvorenog regulacionog kola Metoda geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine ZRK (Dijagram položaja korena (DPK) karakteristične jednačine ZRK) - Laplasov domen - Definicija: DPK je grafički prikaz, u s-ravni, svih korena karakteristične jednačine ZRK pri promeni pojačanja regulatora (Kc) od 0 do ∞. Svakom korenu odgovara jedna linija u s-ravni – grana. Karakteristična jednačina ZRK Kc  Na osnovu DPK se može zaključiti: Za koje vrednosti Kc je ZRK slabilno (deo dijagrama levo od Im-ose), nestabilno (deo dijagrama desno od Im-ose) i na granici stabilnosti (preseci grana sa Im-osom). Za koje vrednosti Kc je kolo neoscilatorno (svi koreni realni), a za koje oscilatorno (konjugovano-kompleksni koreni). Koji koreni karakteristične jednačine ZRK su za dato Kc dominantni Ograničenje: Samo za sisteme sa nagomilanim parametrima

 Osnovne karakteristike dijagrama položaja korena Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - DPK Osnovne karakteristike dijagrama položaja korena 1. Broj grana, početak i kraj grana u DPK Prenosna funkcija otvorenog kola Karakteristična jednačina ZRK:  Kc  Broj grana u DPK je jednak broju polova prenosne funkcije otvorenog kola Grane polaze iz polova (za Kc=0), a završavaju se u nulama (za Kc∞) prenosne funkcije otvorenog kola Ako je n>m, postoji n-m asimptota, kojima grane teže kad Kc∞

Osnovne karakteristike dijagrama položaja korena - nastavak Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - DPK Osnovne karakteristike dijagrama položaja korena - nastavak 2. Realni i konjugovano-kompleksni koreni - Za sve sisteme drugog i višeg reda, koreni karakteristične jednačine mogu biti realni i/ili konjugovano kompleksni - Pri povećanju Kc par realnih korena može da predje u par konjugovano-kompleksnih korena (tačka razdvajanja) ili obrnuto (tačka spajanja) - Konjugovano-kompleksni koreni uvek javljaju u paru  čitav dijagram mora da bude simetričan u odnosu na reanu osu 3. Preseci grana sa imaginarnom osom Rešenja karakteristične jednačine koja leže na Im-osi (realni delovi jednaki nuli) Ovim rešenjima odgovara ZRK koje je na granici stabilnosti Pojačanje regulatora za koje se dobija presek sa Im-osom – KRAJNJE POJAČANJE (Ku) Odsečak grane na Im-osi odgovara frekvenciji kojom ZRK koje je na granici stabilnosti osciluje sa konstantnom amplitudom – KRITIČNA FREKVENCIJA (w0 ili wu) Grane mogu da seku Im-osu jednom, više puta ili nijednom DEFINICIJA: Krajnje pojačanje je ona vrednost pojačanja regulatora za koju je ZRK sistem na granici stabilnosti. Kritična frekvencija je ona frekvencija sa kojom takvo kolo na granici stabilnosti osciluje sa konstantnom amplitudom. Napomena: Vrednosti Ku i w0 uvek idu u paru. U principu sistem može imati jedan, više ili nijedan takav par vrednosti.

PRIMERI Primer 1. ZRK sa procesom III reda i P regulatorom  Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri PRIMERI Primer 1. ZRK sa procesom III reda i P regulatorom Prenosna funkcija otvorenog kola Kc=64  p1=p2=p3=-1 ZRK je: - Stabilno za Kc<64 - Na granici stabilnosti za Kc=64 - Nestabilno za Kc>64 Ku=64 w0=1.73 ZRK je oscilatorno za svako Kc

Primer 2. ZRK sa procesom III reda i PI regulatorom Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri Primer 2. ZRK sa procesom III reda i PI regulatorom ti=3.03 (b) ti=0.8 p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-0.33 p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-1.25 Kc=43.9 Kc=11.3 s=-0.31, Kc=0.87 s=-1.36, Kc=4.6 Ku=43.9 w0=1.47 Ku=11.3 w0=0.897 ZRK je: - Stabilno za Kc<43.9 - Na granici stabilnosti za Kc=43.9 - Nestabilno za Kc>43.9 ZRK je: - Stabilno za Kc<11.3 - Na granici stabilnosti za Kc=11.3 - Nestabilno za Kc>11.3

Primer 3. ZRK sa procesom III reda i PID regulatorom Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri Primer 3. ZRK sa procesom III reda i PID regulatorom (a) ti=3.03, td=0.4 (b) ti=0.8, td=0.4 (c) ti=0.8, td=0.2 p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-2.11, z2=-0.39 p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-1.251.25j p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=z2=-2 Kc=95.1 Kc=14.6 Kc=26.9 s=-0.63, Kc=0.36 s=-0.29, Kc=0.84 Sistem sa uslovnom stabilnošću Ku=14.6 w0=0.97 Ku1=26.93 w01=1.206 Ku2=95.07 w02=2.05 Stabilno za svako Kc Stabilno za Kc<14.61 Na granici st. za Kc=14.61 Nestabilno za Kc>14.61 Stabilno za Kc<26.9 i Kc>95.1 Na granici st. za Kc=26.9 i Kc=95.1 Nestabilno za 26.9<Kc<95.1

Dodavanje integralne akcije smanjuje stabilnost ZRK Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri Pregled uticaja tipa i parametara regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola Tip ti i td Ku w0 Oblast stabilnosti P - 64 1.73 Kc<64 PI ti=3.03 43.9 1.47 Kc<43.9 ti=0.8 11.3 0.897 Kc<11.3 PID ti=3.03, td=0.4  Kc ti=0.8, td=0.4 26.93, 95.07 1.206, 2.05 Kc<26.96, Kc>95.07 ti=0.8, td=0.2 14.61 0.97 Kc<14.61 ZAKLJUČCI: Dodavanje integralne akcije smanjuje stabilnost ZRK Stabilnost ZRK se smanjuje sa smanjenjem integralnog vremena Dodavanje diferencijalne akcije povećava stabilnost ZRK Stabilnost ZRK se povećava sa povećanjem diferencijalnog vremena

Nestabilan sistem u otvorenom kolu Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri Nestabilan sistem u otvorenom kolu Primer 1: Sistem I reda sa P regulatorom ZRK: - stabilno za Kc>1/Kp - na granici za Kc=1/Kp - nestabilno za Kc<1/Kp Primer 2: Sistem III reda sa P regulatorom (a) ZRK - stabilno za Ku1<Kc<Ku2 - nestabilno za Kc<Ku1 i Kc>Ku2 (b) ZRK nestabilno za svako Kc

Bodeov kriterijum stabilnosti zatvorenog regulacionog kola Stabilnost zatvorenog regulacionog kola Bodeov kriterijum stabilnosti zatvorenog regulacionog kola Bodeov misaoni eksperiment Definicija: Zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno ako je vrednost amplitudne karakteristike otvorenog kola koja odgovara kritičnoj frekvenciji manja od 1, biće nestabilno ako je ova vrednost veća od 1, i biće na granici stabilnosti ukoliko je jednaka 1. Kritična frekvencija w0 AR(w0)<1 – ZRK stabilno AR(w0)=1 – ZRK na granici st. AR(w0)>1 – ZRK nestabilno AR i f – amplitudna i fazna karakteristika otvorenog kola (odgovaraju prenosnoj funkciji G(s))

GRAFIČKA INTERPRETACIJA Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – Bodeov kriterijum GRAFIČKA INTERPRETACIJA U Bodeovim dijagramima U Nikvistovom dijagramu AR(w), f(w), G(jw) – karakteristike otvorenog kola – odgovaraju prenosnoj funkciji otvorenog kola G(s)=Gc(s)Gv(s)Gp(s)Gm(s)

ODREDJIVANJE KRAJNJEG POJAČANJA I KRITIČNE FREKVENCIJE Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – Bodeov kriterijum OSNOVNE KARAKTERISTIKE I OGRANIČENJA: Zaključak o stabilnosti zatvorenog kola se dobijaju na osnovu amplitudne i fazne karakteristike otvorenog kola Može se primeniti i na sisteme sa rasporedjenim parametrima (sisteme sa mrtvim vremenom) Može se primeniti samo za sisteme koji su stabilni u otvorenom kolu (stabilan proces) Mogu se primeniti samo ako su AR i f monotono opadajuće funkcije frekvencije (ne može se primeniti za sisteme sa uslovnom stabilnošću) ODREDJIVANJE KRAJNJEG POJAČANJA I KRITIČNE FREKVENCIJE Kritična frekvencija w0 rešenje jednačine Kc<Ku – ZRK je stabilno Kc=Ku – ZRK na granici stabilnosti Kc>Ku – ZRK nestabilno Krajnje pojačanje Ku

STABILNOST ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA – BODEOV KRITERIJUM PRIMERI Primer 1: Proces sistem I reda sa mrtvim vremenom, P regulator   Uticaj mrtvog vremena na stabilnost ZRK D  f(w)  w0   AR(w0)   Ku  ZAKLJUČAK: - Mrtvo vreme smanjuje stabilnost ZRK - Što je D veće, ZRK je manje stabilno

Primer 2: Proces sistem III reda, P, PI, PID regulator Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – Bodeov kriterijum - Primeri Primer 2: Proces sistem III reda, P, PI, PID regulator (3) PID regulator (1) P regulator (2) PI regulator (a) ti=3.03, td=0.4 (b) ti=0.8, td=0.4 (c) ti=0.8, td=0.2 (a) ti=3.03 (b) ti=0.8

Uticaj integralne i diferencijalne akcije na stabilnost ZRK STABILNOST ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA – BODEOV KRITERIJUM - PRIMERI Primer 2 - pregled Tip ti i td w0 (presek sa f=-p) Ku (1/AR(w0)) Oblast stabilnosti P - 1.73 64 Kc<64 PI ti=3.03 1.47 43.9 Kc<43.9 ti=0.8 0.897 11.3 Kc<11.3 PID ti=3.03, td=0.4  Kc ti=0.8, td=0.4 1.206, 2.05 26.93, 95.07 Bodeov kriterijum stabilnosti neprimenljiv ti=0.8, td=0.2 0.97 14.61 Kc<14.61 Uticaj integralne i diferencijalne akcije na stabilnost ZRK Dodavanje integralne akcije  f(w)  w0   AR(w0)   Ku  ti   f(w)  w0   AR(w0)   Ku  - Dodavanje diferencijalne akcije  f(w)   w0   AR(w0)   Ku  - td   f(w)   w0   AR(w0)   Ku  ZAKLJUČAK: - Dodavanje integralne akcije smanjuje stabilnost ZRK. - Što je ti manje, kolo je manje stabilno - Dodavanje diferencijalne akcije povećava stabilnost ZRK - Što je td veće, kolo je stabilnije

POKAZATELJI RELATIVNE STABILNOSTI ZRK Zatvoreno regulaciono kolo POKAZATELJI RELATIVNE STABILNOSTI ZRK Nije dovoljno da je ZRK stabilno – neophodno je da postoji “rezerva stabilnosti” – stepen sigurnosti Razlozi: - Analiza stabilnosti ZRK se zasniva na približnim modelima - Analiza stabilnosti ZRK se zasniva na linearizovanim modelima – nisu dovoljno pouzdani pri promeni radne tačke - Fizičke i fizičko-hemijske karakteristike mnogih objekata upravljanja se menjaju u toku njihove eksploatacije (prljanje površina, deaktivacija katalizatora i sl.) Korišćenjem logike Bodeovog kriterijuma stabilnosti, pokazatelji relativne stabilnosti se definišu preko frekventnih karakteristika otvorenog kola – kao udaljenost od kritične tačke: odnosno:

Važi samo za P regulator Preporuka: m=1.7 do 2 Zatvoreno regulaciono kolo – Relativna stabilnost Pretek pojačanja (granica pojačanja, rezerva pojačanja, rezerva stabilnosti po modulu) – definiše odstojanje ZRK od granice stabilnosti mereno jedinicama amplitudne karakteristike otvorenog kola. Važi samo za P regulator Preporuka: m=1.7 do 2 Pretek faze (granica faze, rezerva faze, rezerva stabilnosti po fazi) – definiše odstojanje ZRK od granice stabilnosti mereno jedinicama fazne karakteristike otvorenog kola. Preporuka: g=30 do 45o

Zatvoreno regulaciono kolo – Relativna stabilnost w0 1 w1

NIKVISTOV KRITERIJUM STABILNOSTI Stabilnost zatvorenog regulacionog kola NIKVISTOV KRITERIJUM STABILNOSTI Košijeva teorema Z-P=N: Ako kompleksna funkcija F(s) ima Z nula i P polova unutar određene oblasti u ravni nezavisne promenljive s, obuhvaćene zatvorenom konturom C, slika zatvorene konture C u F-ravni će obići oko koordinatnog početka (tačke (0,0)) tačno N=Z-P puta. Pri tome se obilaženje u smeru kazaljke na satu uzima sa pozitivnim znakom, a obilaženje u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu sa negativnim znakom.

Nule f-je F(s)  koreni karakteristične j-ne ZRK Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum Primena Z-P=N teoreme na ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola Funkcija Kontura C Nule f-je F(s)  koreni karakteristične j-ne ZRK Polovi f-je F(s)  polovi f-je G(s) (p.f. otvorenog kola) Oblast: desna poluravan kompleksne s-ravni Z nula f-je F unutar konture C P polova f-je F unutar konture C ZRK stabilno  svi koreni karakteristične jednačine ZRK u levoj poluravni  Z=0 Slučaj 1: Otvoreno kolo stabilno  P=0  N=0 (ZRK je stabilno ako slika konture C u F-ravni ne obilazi oko koordinatnog početka) Slučaj 2: Otvoreno kolo nestabilno  P0  N=-P (ZRK je stabilno ako slika konture C u F-ravni obilazi oko koordinatnog početka tačno – P puta)

Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum Praktična primena: Zbog jednostavnosti se, umesto funkcije F(s)=1+G(s) i njenih nula, obično ispituje funkcija G(s) kojom je definisana prenosna funkcija otvorenog kola i posmatra broj obilazaka slike konture C oko tačke (-1,0) u G-ravni Primer: Nikvistov dijagram (hodograf vektora G(jw)

KONAČNA DEFINICIJA NIKVISTOVOG KRITERIJUMA STABILNOSTI: Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum KONAČNA DEFINICIJA NIKVISTOVOG KRITERIJUMA STABILNOSTI: 1. Ukoliko sistem ne sadrži ni jedan nestabilan element u otvorenom kolu, zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno ako i samo ako Nikvistov dijagram otvorenog kola (hodograf vektora G(jω)) ne obilazi oko tačke (-1,0). Ako Nikvistov dijagram obilazi oko tačke (-1,0) zatvoreno regulaciono kolo je nestabilno, a ako prolazi kroz nju, zatvoreno regulaciono kolo je na granici stabilnosti. 2. Ukoliko sistem sadrži P elemenata koji su nestabilni u otvorenom kolu, zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno ako i samo ako hodograf vektora G(jω) obilazi oko tačke (-1,0) tačno P puta, u smeru suprotnom smeru kretanja kazaljke na satu. ALTERNATIVNA DEFINICIJA: Zatvoreno regulaciono kolo je stabilno ako se tačka (-1,0) uvek nalazi za leve strane posmatrača koji putuje duž hodografa vektora G(jω) u smeru porasta frekvencije.

Primena identična kao za Bodeov kriterijum stabilnosti Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum Slučaj 1: Jednostavni sistemi – stabilan proces, monotono opadajuće frekventne karakteristike otvorenog kola Primena identična kao za Bodeov kriterijum stabilnosti w0 Kc<Ku – ZRK je stabilno Kc=Ku – ZRK na granici stabilnosti Kc>Ku – ZRK nestabilno Stabilno ZRK ZRK na granici stabilnosti Nestabilno ZRK Kritična frekvencija: Krajnje pojačanje:

Slučaj 2: Polovi prenosne funkcije otvorenog kola na imaginarnoj osi Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum Slučaj 2: Polovi prenosne funkcije otvorenog kola na imaginarnoj osi Primer: s-ravan G-ravan w0 Primena identična kao za Slučaj 1 Kc<Ku – ZRK je stabilno Kc=Ku – ZRK na granici stabilnosti Kc>Ku – ZRK nestabilno

Slučaj 3: Sistemi sa uslovnom stabilnošću Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum Slučaj 3: Sistemi sa uslovnom stabilnošću Primer: Nikvistov dijagram DPK

Slučaj 4: Nestabilan proces Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum Slučaj 4: Nestabilan proces Primer: Nisu frekventne karakteristike! P=1 – broj polova O.K. u desnoj poluravni Uslov stabilnosti: N=-1!

Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom (a) ti=3.03 min, td=0.4 min, (b) ti=0.8 min, td=0.4min, (c) ti=0.8 min, td=0.2 min Zamenom s=jw  G(jw) Asimptota kad w 0:

Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak Slučaj (a) ti =3.03 min, td =0.4 min, za Kc=1: Asimptota: Kritična frekvencija: Im(G(jw)=0  Nema preseka sa negativnim delom Re-ose ZRK stabilno za svako Kc

Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak Slučaj (b) ti =0.8 min, td =0.4 min, za Kc=1: ZRK stabilno za Kc<26.93 ili Kc>95.07 ZRK nestabilno za 26.93<Kc<95.07 ZRK na granici stabilnosti za Kc=26.93 i Kc=95.07 Asimptota: Kritična frekvencija: Uslovna stabilnost!

Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak Slučaj (c) ti =0.8 min, td =0.2 min, za Kc=1: Asimptota – ista kao pod (b) Kritična frekvencija: Rešenja: ZRK stabilno za  14.61 ZRK nestabilno za >14.61 ZRK na granici stabilnosti za Kc=14.61

IZBOR I PROJEKTOVANJE REGULATORA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije IZBOR I PROJEKTOVANJE REGULATORA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA Izbor tipa regulatora Definisanje vrednosti parametara regulatora - podešavanje regulatora 3. Definisanje kriterijuma za ocenu kvaliteta ponašanja sistema Osnovni zahtevi koje sistem upravljanja treba da ostvari: Stabilnost Što bolje otklanjanje dejstva poremećaja Dobro praćenje promena postavne tačke Eliminisanje ili svodjenje na malu vrednost greške stacionarnog stanja (Offseta) Izbegavanje jako velikih promena manipulativne promenljive Neosetljivost sistema na promenu radnih uslova i nedovoljnu tačnost modela

KRITERIJUMI ZA OCENU KVALITETA REGULACIJE Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije KRITERIJUMI ZA OCENU KVALITETA REGULACIJE 1. Kriterijumi u vremenskom domenu Greška stacionarnog stanja (P regulacija) Prekoračenje (Pr=B/D) Odnos slabljenja (O.S.=C/B) Vreme uspona tu Vreme smirenja ts x(t) GSS ZRK je najčešće oscilatoran sistem: U principu: Kad Kc: GSS, xe , Pr , O.S. , tu , ts  (Poželjno: GSS=0, malo Pr, mali O.S., malo tu i malo ts) Kompromisno rešenje Kc za koje je O.S.1/4

2. Kriterijumi u Laplasovom domenu Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije t=const x=const 2. Kriterijumi u Laplasovom domenu Za nedovoljno prigušen sistem II reda: Obezbedjuje da ZRK ne bude previše oscilatorno Obezbedjuje da ZRK bude dovoljno stabilno

3. Kriterijumi u frekventnom domenu Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije 3. Kriterijumi u frekventnom domenu - Pretek pojačanja i pretek faze - Pokazatelji relativne stabilnosti m i g w0 w1 1 Preporuka: m=1.7 do 2 g=30 do 45o

2. PI regulator za regulaciju protoka Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora Izbor tipa regulatora Praktična pravila: 1. P regulator za regulaciju nivoa i pritiska u rezervoarima za skladištenje fluida 2. PI regulator za regulaciju protoka 3. PID regulator za regulaciju temperature i sastava Kvalitativni prikaz odziva ZRK na promenu opterećenja Izbor parametara regulatora Treba naći kompromisno rešenje koje će da pomiri osnovne zahteve: ZRK treba da bude što stabilnije ZRK treba da ima što brži odziv ZRK treba što brže da se smiruje Treba zadovoljiti zahteve definisane različitim kriterijuima kvaliteta regulacije

Cigler-Nikols (Ziegler-Nichols) Z-N (1942) Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora Poluempirijske metode za podešavanje parametara regulatora Metode zasnovane na krajnjem pojačanju Ku i krajnjem periodu Pu =2p/w0 Ku i Pu se odredjuju za Gc(s)=1 Kritična frekvencija w0 Krajnje pojačanje Ku Cigler-Nikols (Ziegler-Nichols) Z-N (1942) Tip regulatora Kc ti td P 0.5Ku - PI 0.45Ku Pu/1.2 PID 0.6Ku Pu/2 Pu/8

PRIMER: Odredjivanje parametara regulatora metodom Cigler-Nikolsa Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora PRIMER: Odredjivanje parametara regulatora metodom Cigler-Nikolsa Tip R. Parametar Z-N P Kc 32.00 PI 29.10 τi 3.03 37.65 PID 1.82 τd 0.45 Tip R. Kc ti td P 0.5Ku - PI 0.45Ku Pu/1.2 PID 0.6Ku Pu/2 Pu/8

Kriterijumi kvaliteta regulacije u vremenskom domenu Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora Kriterijumi kvaliteta regulacije u vremenskom domenu tip GSS Pr O.S Vreme usp. (min) P 0.200 0.542 0.390 1.6 PI 0.563 0.583 1.8 PID 0.403 0.169 1.4 Pokazatelji u Laplasovom domenu Tip regulatora t1 (min) t2 (min) wn (rad/min) x P 0.386 - 1.390 0.148 PI 0.406 3.330 1.270 0.092 PID 0.831 1.005 1.469 0.273 Kriterijumi u frekventnom domenu Tip regulatora m g (o) P 2.00 27.00 PI 1.51 14.50 PID ∞ 31.00

Prednosti i nedostaci konfiguracije upravljanja sa negativnom povratnom spregom 1. Deluje na osnovu direktnog merenja izlaza kojim treba upravljati 2. Ne zahteva identifikaciju ni merenje poremećaja 3. Povećava brzinu odziva sistema 4. Smanjuje uticaj nelinearnosti 5. Nije mnogo osetljiva na greške modelovanja (mogu da se koriste približni modeli) 6. Nije mnogo osetljiva na promenu parametrara procesa 1. Upravljačka akcija deluje tek nakon što se uticaj poremećaja odrazi na izlaz iz sistema 2. Ne zadovoljava za regulaciju sporih procesa ili procesa sa velikim mrtvim vremenom 3. Zatvoreno regulaciono kolo može da postane nestabilno