II ELEKTRISKAIS POTENCIĀLS

2.1. Elektriskā lauka intensitātes E līnijas integrālis Lauka intensitātes vektora līnijas integrālis pa brīvi izvēlētu ceļu starp punktiem P1 un P2 līdzinās (sk. zīm): Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Nekustīgu lādiņu elektriskajā laukā E līnijas integrālis nav atkarīgs no integrēšanas ceļa, kas savieno punktus P1 un P2. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

2.2. Elektriskā lauka potenciāls Elektrostatisku lauku var raksturot ar skalāru lielumu - skalāro elektriskā lauka potenciālu φ.Potenciāls φ kādā lauka punktā ir vienāds ar darbu, ko veiktu lauks,pārvietojot vienu vienību lielu pozitīvu lādiņu no apskatāmā punkta līdz punktam, kurā potenciāls pieņemts vienāds ar nulli. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Divu punktu potenciālu starpību sauc par spriegumu. Kā izriet no definīcijas (enerģija uz lādiņa vienību), potenciāla un sprieguma vienība ir volts (V). 1 J/C = 1 (V∙A∙s)/(A∙s) = 1 V. Divu punktu P1 un P2 potenciālu starpību var atrast ar līnijas integrāļa palīdzību: Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Ja punkta P1 potenciāls ir vienāds ar nulli, punkta P2 potenciāls Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Ja integrēšana notiek pa noslēgtu kontūru L, kad ceļa beigu punkts sakrīt ar sākuma punktu, tad Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls 2.3. Skalāras funkcijas gradients Pēc zināmās lauka intensitātes E var noteikt lauka potenciālu φ un, otrādi, pēc zināmā lauka potenciāla – intensitāti. Lauka intensitāte ir potenciālās funkcijas atvasinājums. Dota nepārtraukti diferencējama koordinātu funkcija φ(x,y,z). Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Zinot šīs funkcija parciālos atvasinājumus katrā lauka punktā var uzzīmēt vektoru, kura x, y un z komponentes ir vienādas ar attiecīgajiem parciālajiem atvasinājumiem. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Šo vektoru sauc par funkcijas φ gradientu un apzīmē ar “grad φ” vai “ (lasa nabla fi): ir vektors, kas izsaka funkcijas φ izmaiņu punkta (x,y,z) apkārtnē. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Vektors norāda to virzienu, kurā funkcija pieaug visstraujāk. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

2.4. Lauka intensitātes E iegūšana no potenciāla φ Apskata potenciāla φ lielumu divos tuvu esošos punktos (x,y,z) un (x+dx, y+dy, z+dz). Funkcijas φ izmaiņa No potenciāla definīcijas dφ = -E∙dl. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls dl var izteikt ar tā projekcijām dl = x0dx+y0dy+z0dz. Ja E pielīdzina (- ), abas potenciāla izteiksmes iznāk vienādas. Tātad elektriskā lauka intensitāte līdzinās negatīvam lauka potenciāla gradientam E = - grad φ. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Ņemot vērā, ka skalāri reizinot: x0∙x0 = 1; x0∙y0 = 0; x0∙z0 = 0; y0∙y0 = 1; y0∙z0 = 0; z0∙z0 = 1, iegūstam Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

2.6. Spēks, kas darbojas uz virsmas lādiņu Uz sfēras virsmas ar rādiusu r0 vienmērīgi izkliedēts virsmas lādiņš ar blīvumu σ. Viss lādiņš Lauka potenciāls uz sfēras virsmas Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Konstantas funkcijas gradients līdzinās nullei. No iepriekšējā zināms, ka sfēriska apvalka iekšpusē elektriskā lauka nav. Elektriskā lauka intensitāte sfēras iekšpusē ir nulle (Eiekšpusē = 0) un ārpusē Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Lai aprēķinātu spēku, kas iedarbojas uz elementārlādiņu dq, ņem Evid. Spēks uz laukuma vienību σ2/2ε0. Tas ir vērsts uz ārpusi. Ja uzlādētu elastīgu balonu, tad spēks σ2/2ε0 balonu izplēstu. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Ja balonu saspiestu, tad būtu jāpadara Darbs. Ja saspiežot, balona rādiuss izmainās no r0 līdz (r0-dr), tad padarītais darbs jeb lādiņu sistēmas enerģijas pieaugums būs Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

2.7. Elektriskā lauka enerģija Iegūto izteiksmi var pārveidot, pieņemot, ka dv = 4π(r0)2dr, Nointegrējot pa visu tilpumu, var iegūt enerģiju W, kas nepieciešama šīs sistēmas izveidošanai Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Šeit E2 = E∙E (skalārs reizinājums). Tā ir elektriskā laukā uzkrātā enerģija. Diskrētu lādiņu sistēmas enerģiju var izteikt Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Apskata kvadrātiekavas. Katrs šīs summas loceklis ir viena lādiņa radītais potenciāls lādiņa qj atrašanās punktā. Apzīmējot šo summu φj, iegūst Tilpumā V izkliedēta lādiņa enerģija Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

2.9. Vektoru lauka diverģence Elektriskā laukā apskata tilpumu V, kuru ierobežo noslēgta virsma S. Intensitātes vektora plūsma caur šo virsmu Tilpumu V sadala N daļās, kurām ir norobežojošās virsmas S1, S2,...,SN: Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Samazinot tilpumu Vi, samazinās arī plūsma caur vismu Si. Robežgadījumā, kad Vi→0 un Si→0, t.i.Vi tiecas kļūt par punktu, plūsmas attiecība pret tilpumu tieksies uz Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Samazinot tilpumu Vi, samazinās arī plūsma caur vismu Si. Robežgadījumā, kad Vi→0 un Si→0, t.i.Vi tiecas kļūt par punktu, plūsmas attiecība pret tilpumu tieksies uz pilnīgi noteiktu šim lauka punktam raksturīgu vērtību, ko sauc par vektoru lauka diverģenci un apzīmē ar div E. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls div E ir plūsma no tilpuma Vi uz ārpusi, attiecināta uz laukuma vienību, bezgalīgi maza Vi robežgadījumā. Diverģence ir skalārs lielums un tā mainās no punkta uz punktu. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

2.10. Gausa likums diferenciālā formā Vektora E virsmas integrāli var uzrakstīt formā Robežgadījumā, kad N→ ∞, Vi → 0, iekavu vērtība kļūst par funkcijas E diverģenci un summa pāriet tilpuma integrālī: Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Šo izteiksmi sauc par Gausa vai diverģences teorēmu. Salīdzinot to ar, iegūst Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Šī izteiksme ir Gausa likums diferenciālā formā. Tas lokāli saista lauka intensitāti ar lādiņa blīvumu. Ja vektoru lauka diverģence kādā punktā nav nulle, tad šajā punktā atrodas kāds lauka avots. Elektrostatiskā lauka avoti ir elektriskie lādiņi. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls 2.11. Puasona vienādojums Ir divas ar elektrisko lauku saistītas skalāras funkcijas: potenciāla funkcija φ un diverģence div E. Dekarta koordinātu sistēmā Ievietojot to diverģences izteiksmē, iegūst Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Operāciju “div grad” apzīmē 2 un sauc par Laplasa operatoru vai laplasiānu. Lokāla sakarība starp lādiņu blīvumu un potenciālu ir Šo vienādojumu sauc par Puasona vienādojumu. 2 = -  /0. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls 2.12. Laplasa vienādojums Tajos elektriskā lauka punktos, kur lādiņu blīvums ir nulle, potenciālam φ jāapmierina vienādojums 2 = 0, kuru sauc par Laplasa vienādojumu. Funkcijas, kuras apmierina Laplasa vienādojumu, sauc par harmoniskām funkcijām. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls 2.13. Vektoru lauka rotors Apskata vektoru lauka E(x,y,z) līnijas integrāli pa noslēgtu kontūru L. Kontūrs L norobežo noteiktu virsmu S apskatāmajā laukā. Integrēt pa kontūru L pēc dl nozīmē sasummet vektora E projekciju vērtības uz kontūru L, izvēloties noteiktu kontūra apiešanas virzienu. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Šādu līnijas integrāļa lielumu sauc par cirkulāciju. Dalot virsmu S sīkākās daļās, iegūst mazākus kontūrus L1, L2,...,LN. Cirkulāciju summa Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Jo mazāks cirkulāciju kontūrs, jo lokālāk cirkulācija raksturo vektoru lauku. Samazinot kontūru, samazinās arī kontūra ierobežotais virsmas laukums Si. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Lai iegūtu lielumu, kas viennozīmīgai raksturotu attiecīgo punktu, atrod cirkulācijas attiecību pret norobežotās virsmas laukumu pārejot uz robežu, kad kontūrs savelkas ap apskatāmo punktu. Laukuma elementam Si ir noteikta orientācija, ko raksturo virsmas ārējās normāles vienības vektors n0. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Izvēlas tādu virsmas elementa Si orientāciju, lai vektors n0 un apiešanas virziens pa Li pakļautos labās skrūves likumam. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Cirkulācijas un virsmas attiecības robeža raksturo cirkulāciju apskatāmajā punktā. Ja izvēlas trīs savstarpēji perpendikulārus orientāciju virzienus Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls x0, y0 un z0, tad iegūst trīs lielumus, kas ir kāda vektora komponentes. Šo vektoru apzīmē ar rot E. Definīcija. Vektoru laukā no konkrēta punkta vilkto vektoru, 1) kuram perpendikulārā plaknē vektorfunkcijai ir vislielākā cirkulācija šajā punktā, Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls 2) kura virziens saskaņots pēc labās skrūves likuma ar cirkulācijas virzienu un 3) kura garums vienāds ar vislielāko cirkulāciju šajā punktā, sauc par vektoru lauka rotoru šajā punktā. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls 2.14. Stoksa teorēma Uzrakstīsim vektora cirkulācijas izteiksmi sekojošā formā Robežgadījumā, kad N→ ∞ un Si → 0, iekavās esošā attiecība ir rot E, Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls summa dod integrāli pa virsmu S, kas ir rot E plūsma Šis vienādojums izsaka Stoksa teorēmu: vektora cirkulācija pa kādu kontūru L ir vienāda ar vektora rotora plūsmu caur virsmu S, kuru norobežo šis kontūrs. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls No iepriekšējā: potenciālā laukā intensitātes vektora integrālis pa noslēgtu kontūru ir vienāds ar nulli. Tagad var teikt, ka intensitātes vektora cirkulācija pa noslēgtu kontūru L ir vienāda ar nulli. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Tad no iepriekšējās izteiksmes izriet, ka visiem elektrostatiskā lauka punktiem rot E = 0, t.i. elektrostatiskais lauks ir bezvirpuļu lauks. Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls Laplasa operators skalārai funkcijai 2 taisnleņķa, cilindriskajā un sfēriskajā koordinātu sistēmā Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls

Ņ.Nadežņikovs Elektriskais potenciāls