Süsteemiteooria ISS0010 2-1-1 E 5 EAP Juhitavus, jälgitavus, rakendused Eduard Petlenkov eduard.petlenkov@ttu.ee, TTÜ U02-303A, tel. 6202105 TTÜ Arvutisüsteemide instituut Arukate süsteemide keskus

Juhitavus, jälgitavus (A,B) JUHITAVUS Juhitavus (definitsioon) Juht- arvuti Süsteem JUHITAVUS (A,B) Juhitavus (definitsioon) Süsteem (A,B) on täielikult juhitav parajasti siis, kui on võimalik leida selline juhttoime u(t), mis viib süsteemi algolekust x(0) suvaliselt valitud lõppolekusse x(T) etteantud aja T>0 jooksul.

Juhitavuse kriteeriumid 1. Pidevaja süsteem (A,B) on täielikult juhitav, kui maatriksi astak on n, kus n = dim[x(t)]. 2. Diskreetaja süsteem (Φ, Γ) on täielikult juhitav, kui maatriksi: astak on n, kus n = dim[x(k)]

Näide No.1 Juhitavus (SISO) Süsteem juhitavuse sisu kus

Kriteerium: rank QC=n n-võrrandit u(0),u(1),,u(n-1) x(0) x(n) st. on täielikult juhitav. Jälgitavus (definitsioon) Süsteem (A,C) on täielikult jälgitav parajasti siis, kui algolek x(0) on määratav väljundi vaatluste alusel vahemikus 0  t  T.

Jälgitavuse kriteeriumid 1. Pidevaja süsteem (A,C) on täielikult jälgitav, kui maatriksi astak on n, kus n = dim[x(t)]. 2. Diskreetaja süsteem (Φ, C) on täielikult jälgitav, kui maatriksi: astak on n , kus n = dim[x(k)]. Näide No.2 Jälgitavus (SISO)

rank Q0T = n → n-võrrandit → x(0) määramiseks.

Näide No.3 Jälgitavus (SISO) Antud veel: u(1)=1; u(2)= -1; y(1)=0, y(2)=1. Leida x(3) ? 1) rank Q0 = 2 → täielikult jälgitav 2) k=1 väljundvõrrand

k=2 k=1 olekuvõrrand k=2 Vastus:

Juhitavuse ja jälgitavuse rakendused Juhtimissüsteem pidevaja süsteemi näitel süsteem tagasiside u(t)= -Kx(t) Olgu süsteem (A,B) täielikult juhitav. Mida juhtimissüsteem peab tegema? Sisuliselt on tegemist stabiliseerimissüsteemiga, mis hoiab süsteemi olekus

* on tagasisidestatud süsteemi vabaliikumise võrrand. Vabaliikumise võrrandi karakteristlik polünoom * kus tagasisidestatud süsteemi (soovitavad) omadused on antud φ(s) kujul; 2) võrrandist * leitakse tagasisidemaatriks K.

Juhtimissüsteem diskreetaja süsteemi näitel ↔ on täielikult juhitav ↔ on tagasiside ↔ on tagasisidestatud süsteemi vabaliikumise võrrand Vabaliikumise võrrandi karakteristlik polünoom ? antud arvutatakse ?

u(t) = -Kx(t) Näide No.4 Pidevaja juhtimissüsteem: süntees, analüüs Antud: 1) 2) u(t) = -Kx(t) 3) tagasisidestatud süsteemi karakteristlik polünoom Leida: 1) K 2) Tagasisidestatud süsteemi analüüs:

Lahendus: 1) Juhitavuse kontroll täielikult juhitav 2) Süntees – tagasisidemaatriksi K arvutus

3) Analüüs x(0) m.o.t.t.

Näide No.5 Diskreetaja juhtimissüsteem: süntees, analüüs Antud: 1) 2) 3) tagasisidestatud süsteemi karakteristlik polünoom (finiitne süsteem) ! Leida: 1) K; 2) Analüüs Lahendus: 1) Juhitavuse kontroll 2) Süntees - K arvutus

3) Analüüs 

Jälgimissüsteem kus Võrrand on tagasisidestatud süsteemi täielikult jälgitav u(t) y(t) kus Võrrand on tagasisidestatud süsteemi vabaliikumise võrrand.

Vabaliikumise võrrandi karakteristlik polünoom NB! Vabaliikumise võrrandi karakteristlik polünoom antud karakteristlik polünoom (soovitud omadused) ? Sisuliselt on L tagasisidemaatriks.

Jälgimissüsteem diskreetaja süsteemi näitel Olekutaastaja (olekuhindaja): Tagasisidestatud süsteemi vabaliikumise võrrand - antud ?

Näide No.6 Pidevaja jälgimissüsteem: süntees, analüüs Antud: 1) 2) 3) Tadasisidestatud süsteemi karakteristlik polünoom (soovitud omadused) Leida: 1) L 2) analüüsida süsteemi

K=LT Lahendus: 1. Jälgitavuse kontroll Veenduge, et antud süsteem on täielikult jälgitav!? 2. Süntees- tagasisidemaatriksi L arvutus ? vt. Näide No.4 ja võrdle !? K=LT

Kontroll: 3. Analüüs

Kontrolliks kasutame veel piirväärtusteoreeme. m.o.t.t.

Näide No.7 Diskreetaja jälgimissüsteem: süntees, analüüs Antud: 1) 2) 3) Karateristlik polünoom Leida: 1) L 2) Analüüsida tagasisidestatud süsteemi ?

Lahendus: 1. Jälgitavuse kontroll Veenduge, et antud süsteem on täielikult juhitav. 2. Tagasisidemaatriksi L arvutus kus

Kontroll: 3. Analüüs k=0 k=1 

Süsteemide dekompositsioon juhitavuse ja jälgitavuse alusel Vaatleme probleemi näite alusel. Olgu antud süsteem kujul: Kontrollime süsteemi juhitavust?    B AB A2B dim [x(t)] = 3 QC astak = 2 Süsteem ei ole täielikult juhitav

Järgnevalt kontrollime süsteemi jälgitavust? CT ATCT (AT)2CT dim [x(t)] = 3 QC astak = 2 Ei ole täielikult jälgitav Rakendame olekumudelile Laplace’i teisendust kus

Esitame võrrandid graafiliselt. x2(0) 1 U1(s) V2(s) 1/s Y2(s) -3 Esitame võrrandid graafiliselt. x1(0) x3(0) 1 1 V1(s) V3(s) 1/s U2(s) 1/s Y1(s) -1 -5

x1(t), x2(t) – jälgitavad olekud x2(t), x3(t) – juhitavad olekud x2(t) – juhitav ja jälgitav olek Üldistus – Kalmani dekompositsioon [ Rudolf Emil Kalman (sünd.1930)] Olekuvektor on tükeldatud x4(t) II y(t) u(t) x2(t) x4(t) I IV I – juhitav, mittejälgitav II – juhitav, jälgitav III – mittejuhitav, mittejälgitav IV – mittejuhitav, jälgitav x3(t) x4(t) III

Olekumudel → Ülekandemudel Ülekandemaatriks iseloomustab ainult süsteemi täielikult juhitavat ja jälgitavat osa (alamsüsteemi).