گرد آورنده و مدرس : محمد ریخته گر آمار کاربردی گرد آورنده و مدرس : محمد ریخته گر

فصل اول : مقدمات فصل دوم : مقیاسهای اندازه گیری فصل سوم : هدف توزیعهای فراوانی و نمودارها فصل چهارم : اندازه های گرایش مرکزی فصل پنجم : شاخصهای پراکندگی فصل ششم : نمره های استاندارد فصل هفتم : منحنی طبیعی فصل هشتم : همبستگی فصل نهم : رگرسیون و پیش بینی

فصل اول مقدمات

آمار چیست؟ آمار چارچوب روشهای علمی را که در تجزیه و تحلیل داده های مقداری به کار برده می شوند بنیانگذاری می کند.

روشهای آماری دارای دو وظیفه مهم هستند: 1- به پژوهشگر در طبقه بندی ، خلاصه کردن، توصیف و تفسیر و برقراری ارتباط از طریق اطلاعات جمع آوری شده کمک می کند.

2- به پژوهشگران امکان می دهد که با استفاده از اطلاعات جمع آوری شده از نمونه کوچکی از آزمودنیها ویژگیهای جامعه ای را که نمونه از آن انتخاب شده است برآورد یا استنباط کنند.

انواع روشهای آماری که برای وظایف اول و دوم به کار برده می شوند: 1- آمار توصیفی: مجموعه روشهایی است که به خلاصه کردن، طبقه بندی ،توصیف و تفسیر داده ها می پردازد. 2- آماراستنباطی: مجموعه روشهایی است که معمولا برای بیان رابطه بین دو یا چند متغیر و تعمیم ویژگیهای نمونه آماری به جامعه آماری به کار برده می شوند.

نکته: اولین و مفیدترین قدم در سازمان دادن به دادها ، مرتب کردن آنها بر اساس یک ملاک منطقی است. نکته: با استفاده از روشهای آمار توصیفی می توان دقیقا ً ویژگیهای یک دسته از اطلاعات را بیان کرد.

نکته : روشهای آمار توصیفی همیشه برای تعیین و بیان ویژگیهای اطلاعاتی به کار برده می شود که به وسیله پژوهشگران جمع آوری شده اند. نکته:هدف نهایی آمار استنباطی برآورد ویژگیهای جامعه است.

دلایل مطالعه آمار: 1- کاربرد روزانه 2- حل مسائل 3- پژوهش نظریه ایی 4- کاربرد پژوهش و درک و فهم ان

1) کاربرد روزانه : در تسریع برنامه ها، تهیه آزمون و تفسیر کمک می کند. (مثلا : تفسیر نمره ها توسط معلم، تفسیر مشاهدات توسط روانشناسان، ارزشیابی اطلاعات و تعمیم آنها توسط جامعه شناسان و ...)

2) حل مسائل : پژوهش غالبا ً در یک مقیاس محدود و به منظور کشف اطلاعات ضروری برای حل مسائل عملی انجام می شود.در زندگی موضوعات و مسائل مختلفی وجود دارد که از طریق آمار به آنها پاسخ داده می شود.

3) پژوهش نظریه ای: از طریق آمار می توان نظریه ها)مثلا : روانشناسی، تربیتی و جامعه شناسی و ...( را مورد آزمون قرار داد.

4) کاربرد پژوهش و درک و فهم آن: برای درک نتایج پژوهشی و تشخیص اینکه روشهای آماری درست انتخاب و تفسیر شده اند خواننده باید با روشهای آماری آشنایی داشته باشد.

اطلاع درباره گروههای کوچک و توصیف ویژگیهای آنها غالبا ً هدف اصلی پژوهشگر نیست بلکه تعمیم اصول و یافته ها به نحوی که قادر باشد حوادث را تبیین و پیش بینی کند می باشد.

در کل آمار استنباطی سهم عمده ای در پژوهش دارد که از آن به عنوان علم تصمیم گیری عاقلانه با استفاده از اطلاعاتی که کامل نیستند نام برده می شود. برای پی بردن به اختلاف بین آمار توصیفی و استنباطی بحث درمورد جامعه و نمونه ضروری است.

جامعه هدف نهایی آمار استنباطی برآورد ویژگیهای جامعه است. جامعه فقط به گروهی از افراد محدود نمی شود . ممکن است شامل تمام روشهای آزمایشگاهی، انواع سیگار، انواع محصولات صنعتی و غیره باشد.

تعریف جامعه به گروهی از افراد، اشیاء، حوادث و ... که حداقل دارای یک صفت مشترک باشند جامعه آماری گفته می شود. در یک تحقیق کلیه افراد یا واحدهای مورد بررسی جامعه آماری می باشند.مثلا ً در تحقیق (بررسی عوامل افزایش اضطراب دانشجویان پیام نور در جلسه امتحانات) کلیه دانشجویان دانشگاه پیام نور جامعه آماری می باشند.

نمونه نمونه عبارتست از زیر جامعه ایی که از کل جامعه انتخاب می شود و معرف آنست . دلیل انتخاب نمونه اینست که اندازه گیری ویژگی مورد پژوهش برای تک تک افراد یا عناصر جامعه غیر ممکن است

نمونه باید نماینده واقعی جامعه باشد نمونه باید نماینده واقعی جامعه باشد. مراد از نماینده واقعی بودن اینست که بین ویژگیهای نمونه و جامعه شباهت تقریبا ً کاملی وجود داشته باشد.معرف یا نماینده واقعی بودن نمونه غالبا ً از طریق انتخاب تصادفی نمونه امکانپذیر است.

اندازه هایی که از نمونه به دست می آیند آمار یا آماره نامیده می شوند و اندازه هایی که ویژگیهای جامعه را تعیین می کند پارامتر نامیده می شوند. معمولا آماره با حروف انگلیسی و پارامتر با حروف یونانی نوشته می شود.

علائم مربوط به پارامتر و آمار تعداد مشاهدات همبستگی نسبت انحراف استاندارد واریانس میانگین ویژگی شاخص n r P s آمار N - پارامتر M یا μ σ

متغییر ها ویژگیهایی که پژوهشگران مشاهده و اندازه گیری می کنند متغیر نامیده می شود. واژه متغیر به ویژگی اطلاق می شود که بیش از یک ارزش به آن اختصاص داده می شود و تغییرات را از فردی به فردی یا از شیئی به شیئ دیگر نشان می دهد. مانند: قد، سن، وزن، بهره هوشی و...

ویژگیهایی که در یک پژوهش به عنوان متغیر اندازه گیری یا مشاهده می شود ممکن است در پژوهش دیگر ثابت نگاه داشته شوند. واژه ثابت به ویژگیهایی که مقدار یا ارزش آنها در نزد افراد مختلف یکسان است اطلاق می شود. مثلا ً در پژوهشی که در مورد دانش آموزان کلاس چهارم است ، درجه تحصیلی ثابت است.

انواع متغیر: الف: متغیرها از نظر ماهیت به دو دسته کمی و کیفی تقسیم می شوند: 1- متغیر کمی: به متغیرهایی اطلاق می شوند که از نظر مقدار یا ارزش متفاوت هستند و به صورت عدد نوشته می شوند مانند سن، نمرات درسی و ... 2- متغیر کیفی: هر متغیری که نتوان آن را بصورت عددی نمایش داد مانند :جنس، رنگ مو، مذهب.

ب: انواع متغیر از نظر نقشی که در پژوهش دارد 1- متغیر مستقل: متغیری است که بر متغیرهای دیگر اثر می گذارد، متغیر پیش فرض است و از طریق آن متغیر وابسته اندازه گیری و تعیین می شود. در تحقیق آزمایشی متغیر مستقل متغیری است که توسط محقق دستکاری می شود تا تأثیرش بر متغیر وابسته مشخص شود.

2- متغیر وابسته: متغیری است که ارزش یا مقدار آن به متغیر مستقل بستگی دارد. متغیر وابسته در اختیار محقق نیست و محقق نمی تواند در آن دخل و تصرف و دستکاری به عمل آورد.

ج: انواع متغیرها از نظر اینکه فاصله بین اعداد در نظر گرفته می شود یا خیر. اگر متغیر را در مورد تک تک افراد جمعیت یا نمونه ای از آن با مقیاسی مناسب اندازه گیری کنیم یک مجموعه از اعداد به دست می اید که آن را داده می نامند . داده ها دو نوع هستنند: 1- داده های گسسته : متغیری که فاصله بین اعداد را درنظر نمی گیرد و ارزشهای موجود بین دو مقدار دارای معنی نیست . مانند : تعداد دانشجویان، تعداد معلمان...

2- داده های پیوسته: متغیری که هر ارزش یا مقداری (کسری، اعشاری) را می توان به آن اختصاص داد مانند: قد، وزن و...

در عمل تشخیص بین متغیر پیوسته و گسسته به صورت نظری امکان پذیر نیست در عمل تشخیص بین متغیر پیوسته و گسسته به صورت نظری امکان پذیر نیست .دلیل این امرفقدان وسایل اندازه گیری دقیق و مناسب است. در پژوهش غالبا ً متغیرهایی که ذاتا ً پیوسته هستند به صورت گسسته مورد بحث قرار می گیرند مثلاً سن (پیوسته)به دلیل طبقه بندی کردن افراد به متغیر گسسته تبدیل می شود.

محدودیتهای اعداد: به دلیل وجود برخی مسائل در اندازه گیری متغیرهای پیوسته ، به بیشتر متغیرها ارزش عددی گسسته داده می شود.برای تفسیر چنین ارزشهایی باید حدود واقعی ریاضی آنها را مورد توجه قرار داد . حدود واقعی 5/. واحد پایینتر و بالاتر هر عددی می باشد. مفهوم حدود واقعی مخصوصا ًزمانی مفید است که اعداد گروهبندی یا طبقه بندی شوند.

مثال: پس از اجرای یک آزمون ریاضی مشاهده می شود که 10 نفر نمره 12 گرفته اند. این بدان معنی نیست که همه توانایی یکسان دارند بلکه دقیق نبودن وسیله اندازه گیری ممکن است موجب این امر شده باشد به این خاطر نیاز به حدود واقعی می باشد یعنی 12/5- 11/5

فصل دوم مقیاسهای اندازه گیری فصل دوم مقیاسهای اندازه گیری

مقیاسهای اندازه گیری: اساس فعالیت در هر پژوهشی اندازه گیری است. به طور کلی اندازه گیری عبارتست از نسبت عددی دادن به یک صفت یا حادثه بر اساس یک قانون معین . چهار نوع مقیاس اندازه گیری وجود دارد که به صورت سلسله مراتب هستند. 1- اسمی 2- ترتیبی 3- فاصله ایی 4- نسبی

مقیاس اسمی ساده ترین مقیاس اندازه گیری و سنجش می باشد که فقط به نامگذاری و طبقه بندی داده ها می پردازد مانند :جنس که به دو طبقه مرد و زن تقسیم می شود. نکته: مقیاس اسمی باید کامل باشد به این معنی که باید در هر طبقه کلیه افراد هم نوع جایگزین شود.

مقیاس ترتیبی این مقیاس علاوه بر اینکه داده ها را نامگذاری و طبقه بندی می کند به هر طبقه رتبه ای هم می دهد یعنی افراد یا اشیاء بر اساس ویژگیهای مورد اندازه گیری از بالاترین به پایینترین مرتب می شوند.در این مقیاس فاصله ها یکسان نیست.

مقیاس فاصله ای: این مقیاس علاوه بر طبقه بندی و نامگذاری داده ها,نسبت دو تفاضل یا دو فاصله را حفظ میکند.مانند درجه حرارت و... در این مقیاس صفر مطلق وجود ندارد .مثلاً دانش آموزی که در یک آزمون هوش صفر می گیرد به این معنی نیست که اصلا ً هوشی ندارد.

مقیاس نسبی این مقیاس کاملترین نوع مقیاس سنجش می باشد و تمام خصوصیات مقیاسهای قبلی را دارا است و می توان هر گونه عملیات و کاری با آن انجام داد.در این مقیاس صفر مطلق است به این معنی که صفر به معنی وجود نداشتن می باشد مثلا ً اگر درآمد فردی صفر باشد یعنی هیچگونه درآمدی ندارد.

فصل سوم هدف توزیعهای فراوانی و نمودارها فصل سوم هدف توزیعهای فراوانی و نمودارها

پژوهشگران غالبا ً با توده ای از اطلاعات که نیاز به تفسیر دارند، روبرو هستند که برای معنی بخشیدن به اطلاعات باید آنها را خلاصه و سازمانبندی کنند. یکی از کارامدترین روشها برای خلاصه و سازمانبندی کردن اطلاعات توزیع فراوانی می باشد.

توزیع فراوانی عبارتست از سازمان دادن اندازه ها یا مشاهدات به صورت طبقات همراه با فراوانی هر طبقه . توزیع فراوانی داده ها را بصورت خلاصه و مرتب ، به نحوی که تفسیر آنها آسان شود ، نمایش می دهد.

مراحل ساخت جدول توزیع فراوانی 1- مرتب کردن اعداد از کوچک به بزرگ یا برعکس. 2-مشخص کردن تعداد دفعاتی که هرعدد تکرار شده است (تعداد فراوانی)

زمانی که همه اعداد تک تک در جدول آورده شوند ، جدول توزیع فراوانی منفرد یا طبقه بندی نشده گفته می شود. اما زمانی که نمره ها یا اعداد دارای دامنه گسترده ایی هستند و تنظیم اعداد بصورت توزیع فراوانی طبقه بندی نشده وقتگیر و طاقت فرسا است، اعداد را طبقه بندی می کنیم و از جدول توزیع فراوانی طبقه بندی شده استفاده می کنیم.

نکته: در جدول فراوانی ، ستون داده ها ( طبقات) را با x نشان می دهند نکته: در جدول فراوانی ، ستون داده ها ( طبقات) را با x نشان می دهند. نکته: فراوانی مطلق (f) برابر است با مقدار دفعات تکرار هر داده در هر طبقه.

مثال : در توزیع فراوانی درس آمار یک کلاس، نمرات به شرح ذیل می باشد جدول فراوانی مربوط به توزیع را فراهم کنید؟ 10-12- 11- 10- 11- 12- 10- 13- 15- 10 جواب: X f 15 13 12 11 10 1 2 4

نکته : با توجه به جدول فوق ، عدد 4 در ستون f بیانگر اینست که عدد 10 چهار بار تکرار شده است. نکته: اگر داده های ستون فراوانی (f) را با هم جمع کنیم تعداد کل داده ها بدست می آید . یعنی در مثال فوق 10N =

توزیع فراوانی طبقه بندی شده زمانی که تعداد اعداد یک توزیع و همچنین فاصله بین آنها خیلی زیاد باشد ، از توزیع فراوانی طبقه بندی شده استفاده می شود. نکته: زمانی که تفاضل بین بزرگترین و کوچکترین نمره یا عدد مساوی یا بزرگتر از 20 باشد از توزیع فراوانی طبقه بندی شده استفاده می شود

نکته : طبقات بایستی ناسازگار باشند نکته : طبقات بایستی ناسازگار باشند. یعنی یک عدد معین فقط در یک طبقه قرار داده شود.

نحوه ساختن توزیع فراوانی طبقه بندی شده 1- تعیین دامنه تغییرات 2- تعیین تعداد طبقات با استفاده از قانون استرژ 3- تعیین اندازه یا حجم هر طبقه(فاصله طبقات) 4- نوشتن طبقات 5- نوشتن فراوانی طبقات

نکته: اگر تعداد طبقات بزرگتر از 20 باشد تهیه و تنظیم جدول نیاز به وقت و کار بیشتر است . نکته: اگر تعداد طبقات کوچکتر از 10 باشد اندازه طبقات بزرگ می شود و اطلاعات بیشتری از دست می رود.

نماینده طبقات(نقاط وسط طبقات) نماینده طبقات یا نقاط میانی را با x' نمایش می دهند و از طریق فرمول زیر به دست می آید: حدبالای طبقه + حد پایین طبقه 2

توزیع فراوانی تراکمی اگر پژوهشگری علاقمند به دانستن تعداد افراد یا نمره هایی باشد که در پایین نمره یا عدد خاصی وجود دارند، نیاز به توزیع فراوانی تراکمی دارد. فراوانی تراکمی با (cf)نشان داده می شود که از جمع کردن فراوانی های ساده هر طبقه با طبقه بزرگتر به دست می آید.

نکته: فراوانی تراکمی کوچکترین طبقه همیشه برابر با فراوانی ساده یا مطلق آن طبقه است. نکته: فراوانی تراکمی بزرگترین طبقه همیشه برابر با مجموع داده ها ( ) یا N می باشد.

درصد فراوانی مطلق و تراکمی P = x100 Cf %= تعداد كل فراواني ها فراواني مطلق هر طبقه فراواني تراكمي هر طبقه

نمودارهای فراوانی اطلاعات جدول به سرعت قابل درک نیست و برای این کار باید جدول بطور تفکیک وجزء به جزء مورد مطالعه قرار گیرد به همین خاطر از نمودار استفاده می شود که سرعت انتقال اطلاعات در آن بالا است

نمودار ابزاری است تصویری که برای توصیف و نمایش داده های جمع آوری شده به کار برده می شود. انواع نمودارهای فراوانی: الف) هیستوگرام ب) ستونی ج) چندضلعی د) چندضلعی تراکمی و)دایره ای

نمودار هیستوگرام این نمودار از ستونهایی که به هم چسبیده شده اند تشکیل شده است و وسیله مناسبی برای نمایش داده های پیوسته و متغیرهایی در سطح مقیاس فاصله ای و نسبی می باشد. در این نمودار در محور طولی (Y ) فراوانی مطلق نوشته می شود و در محور عرضی (X )حدود واقعی طبقات نوشته می شود.

شکل نمودار هیستوگرام

نمودار ستونی این نمودار همانند نمودار هیستوگرام است اما ستونها مجزا از یکدیگر هستند و زمانی استفاده می شود که داده ها گسسته و در سطح مقیاس اسمی باشند ، در این نمودار روی محور طولی (Y) تعداد فراوانی و در روی محور عرضی (X ) طبقات نمایش داده می شود.

شکل نمودار ستونی

نمودار چند ضلعی برای رسم نمودار چند ضلعی روی محور طولی(Y) تعداد فراوانی و روی محور عرضی (X) نقاط میانی یا نماینده طبقات نوشته می شود.

شکل نمودار چند ضلعی

نکته: غالبا ً در ابتدا و پایان محور افقی دو طبقه در نظر گرفته می شود که فراوانی آنها صفر است . اضافه کردن این دو طبقه به خاطر اینست که شروع و خاتمه محور چند ضلعی به محور افقی ختم شود.

نکته: در صورتی که دو دسته فراوانی مختلف وجود داشته باشد هنگام ترسیم نمودار چند ضلعی احتمال اینکه خطوط برروی هم قرار گیرد زیاد است در نتیجه مقایسه نمودارها به صورت مستقیم امکان پذیر نیست در چنین شرایطی بهترین راه تبدیل فراوانی ها به درصد یا نسبت می باشد.

نمودار چند ضلعی تراکمی این نمودار وقتی مفید است که پژوهشگر علاقمند باشد وضعیت یک نمره یا یک فرد را نسبت به بقیه نمره ها یا افراد مشخص کند. برای ترسیم این نمودار در روی محور طولی(Y) درصد فراوانی تراکمی و در روی محور عرضی (X) حدود واقعی طبقات قرار می گیرد.

شکل نمودار

شکلهای مختلف نمودار چند ضلعی كجي منفي متقارن كجي مثبت

فصل چهارم اندازه های گرایش مرکزی فصل چهارم اندازه های گرایش مرکزی

برای طبقه بندی و خلاصه کردن اطلاعات روشهای دقیق تری از جدول توزیع فراوانی نیاز می باشد . یکی از این روشها تعیین جایگاه و موقعیت کلی نمره ها است . سه شاخص گرایش مرکزی به نام نما ، میانه و میانگین وجود دارد.

نما نما ساده ترین شاخص گرایش مرکزی است که عبارتست از عدد یا نمره ای که در توزیع فراوانی دارای بیشترین فراوانی است .

نکته: نما همیشه در مرکز توزیع فراوانی قرار ندارد به همین دلیل نمی توان به عنوان یک شاخص مرکزی به آن اطمینان داشت. نکته: یک توزیع ممکن است تک نمایی، دو نمایی، چند نمایی باشد.

ویژگیهای نما 1- زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که نیاز به تعیین شاخص مرکزی به صورتی تقریبی و سریع باشد. 2- به سهولت محاسبه می شود.

محاسبه نما در داده ای طبقه بندی شده ) ( 2 1 d i L MO + = حد واقعی پایین طبقه ای که دارای بیشترین فراوانی است L= طول یا فاصله طبقات i= تفاضل فراوانی ساده طبقه ایی که دارای بیشترین فراوانی است با فراوانی ساده طبقه کوچکتر d1= تفاضل فراوانی ساده طبقه نما با طبقه بزرگتر = d2

مثال: X F 56- 54 59- 57 62- 60 65- 63 68- 66 1 3 6 8 2 ← طبقه نما

میانه میانه نقطه وسط در توزیع نمره ها است. به عبارت دیگر میانه نقطه ای است که نیمی از نمره ها در بالای آن و نیم دیگر در پایین آن قرار دارند . میانه را با m نشان می دهند.

مراحل محاسبه میانه 1- مرتب کردن اعداد. 2- تعیین نقطه ای که نیمی از داده ها بالاتر و نیمی دیگر پایین تر از آن هستند. نکته: در صورتی که تعداد داده ها فرد باشد میانه عددی است که در وسط قرار دارد و اما در صورتی که تعداد داده ها زوج باشد، میانه عبارتست از معدل دو نمره ای که در وسط واقع می شوند.

مثال: 9- 7 - 6 - 4 6/5 13-10-8-5-1

محاسبه میانه در داده های طبقه بندی شده (میانه در جدول فراوانی) 1- تقسیم تعداد کل فراوانی ها (N) بر دو 2- مشخص کردن طبقه میانه ، یعنی طبقه ای که فراوانی تراکمی آن مساوی یا بزگتر از باشد. 3- جایگزینی مقادیر در فرمول.

فرمول محاسبه میانه در داده های طبقه بندی شده L= حد پایین واقعی طبقه ای که میانه در آن قراردارد N=تعداد کل فراوانی ها CF= فراوانی تراکمی طبقه کوچکتر از میانه f=فراوانی ساده طبقه میانه i =فاصله طبقات

مثال: میانه توزیع فراوانی زیر را محاسبه کنید. x f cF 44-40 39- 35 34-30 29- 25 24-20 19- 15 14-10 8 7 5 6 10 50 42 35 30 24 14 ← طبقه میانه

نکته: همیشه باید عددی که برای میانه بدست می آید در طبقه میانه باشد در غیر این صورت در محاسبه میانه اشتباهی صورت گرفته است.

ویژگیهای میانه 1- نسبت به اعداد بزرگ یا کوچک حساس نیست. بنابراین بهترین شاخص است که تمرکز اعداد را در وسط توزیع نشان می دهد.

2- مجموع قدر مطلق انحرافهای نمره ها از میانه کوچکتر یا مساوی مجموع قدر مطلق انحرافهای نمره ها از هر عدد دیگری است(بدون در نظر گرفتن علامت). نمره ها قدر مطلق انحرافات میانه(6) 4 5 7 9 6 2 1 3 11 8 14

حاصل جمع كل نمره ها = ميانگين تعداد كل نمره ها میانگین مشهورترین و معتربرترین شاخص گرایش مرکزی میانگین است. میانگین معدل حسابی گروهی از نمره هاست. = ميانگين حاصل جمع كل نمره ها تعداد كل نمره ها

محاسبه میانگین در جدول توزیع فراوانی X f fx 18 17 15 12 11 1 2 3 5 34 30 36 55 13 173

محاسبه میانگین اعداد طبقه بندی شده برای محاسبه میانگین اعداد طبقه بندی شده ابتدا باید نقاط میانی طبقات (X') را محاسبه و بعد تعداد فراوانی هر طبقه را در نقطه میانی طبقات ضرب و مجموع حاصل ضربها را بر تعداد کل فراوانیها تقسیم کرد.

محاسبه میانگین اعداد طبقه بندی شده X f 9- 5 14- 10 19- 15 24-20 3 7 5 12 17 22 21 84 85 110

میانگین مرکب(میانگین میانگین ها) دو روش برای محاسبه میانگین مرکب وجود دارد. الف: در صورتی که حجم هر یک از نمونه ها یا تعداد اعضای هر یک از گروهها مساوی باشد. میانگین مرکب عبارتست از مجموع میانگین ها تقسیم بر تعداد گروه ها (میانگین ها) = میانگین مرکب N= تعداد میانگین ها

مثال: N 10 15 20 45

ب: در صورتی که گروه ها دارای حجم نامساوی باشند n =تعدا فراوانی هر گروه N = تعداد کل فراوانی

مثال: 10 12 16 5 8 50 96 160 23 306

میانگین هندسی میانگین هندسی برابر است با ریشه N ام حاصل ضرب اعداد یا داده ها مثلا:در کارهای اقتصادی یا جمعیت شناسی

میانگین همساز (هارمونیک) 2-3-4-6 مثلا:درعینک سنجی ومطالعه شبکه های برق

رابطه بین میانگین ها همیشه بین میانگین های حسابی ( ) ، هندسی(G) و هارمونیک(HM) رابطه زیر برقرار است.

ویژگیهای میانگین 1- به تک تک اعداد توزیع فراوانی حساس است. 1- به تک تک اعداد توزیع فراوانی حساس است. 2- دارای ثبات بیشتری نسبت به میانه و نما است. 3- میانگین در نمونه های مختلف یک جامعه بیشتر از نما و میانه به همدیگر نزدیک می باشند.

4-اگر تمام اعداد یا داده ها با عدد ثابتی جمع یا تفریق یا ضرب یا تقسیم شوند میانگین در آن عدد جمع ، تفریق ، ضرب و تقسیم می شود. 5- مجموع انحراف نمره ها از میانگین برابر صفر است.

7- مجموع مجذورهای انحراف نمره ها از میانگین همیشه کوچکتر یا مساوی با مجموع مجذور انحراف نمره ها از هر عدد دیگری است.

مقایسه نما، میانه ، میانگین Mo m X X m Mo X m Mo

اگر منحنی نرمال باشد اگر کجی مثبت باشد اگر کجی منفی باشد

فصل پنجم شاخصهای پراکندگی فصل پنجم شاخصهای پراکندگی

توزیعهای دو آزمون هوش با میانگینهای مساوی شاخصهای پراکندگی، میزان پراکندگی یا تغییراتی که در بین داده های یک توزیع وجود دارد را نشان می دهند. ممکن است توزیعهایی وجود داشته باشند که میانگینهای آنها مساوی باشد ولی پراکندگی آنها در اطراف میانگین اختلاف داشته باشد. توزیعهای دو آزمون هوش با میانگینهای مساوی

انواع شاخصهای پراکندگی الف: دامنه تغییرات ب: انحراف چارکی ج: واریانس د: انحراف استاندارد. دامنه تغییرات:

نکته: وجود یا فقدان پراکندگی ضرورتا ً نه خوب است نه بد بلکه بستگی به هدف پژوهش دارد. مثلا ً : در صورتی که تعیین میزان معلومات یک گروه مد نظر باشد پراکندگی زیاد مطلوب است. ولی در صورتی که میزان یادگیری مطالب تدریس شده مد نظر باشد پراکندگی کم مطلوب است.

نکته: به دلیل اینکه دامنه تغییرات فقط پراکندگی بین بزرگترین و کوچکترین نمره ها را تعیین می کند قادر به توصیف توزیع نمره ها به صورت حقیقی نیست. نکته: دامنه تغییرات یک شاخص پایدار پراکندگی نیست زیرا مقدار آن با تغییر یک نمره (کوچکترین یا بزگترین) تغییر می کند.

این شاخص میزان پراکندگی را در اطراف مرکز توزیع نمره ها نشان می دهد. انحراف چارکی این شاخص میزان پراکندگی را در اطراف مرکز توزیع نمره ها نشان می دهد. Q =انحراف چارکی Q = چارک سوم = چارک اول نقطه 75/0 نقطه 25/0

محاسبه انحراف چارکی در اعدا د طبقه بندی شده L = حد پایین طبقه ایی که چارک اول یا سوم در آن است N = تعداد داده ها CF =فراوانی تراکی طبقه قبل از طبقه ای که چارک اول یا سوم در آن وجود دارد f = فراوانی مطلق طبقه ایی که چارک اول یا سوم در آن است i = فاصله طبقات

مراحل محاسبه انحراف چارکی در اعداد طبقه بندی شده 1- به دست آوردن یا 2- پیدا کردن طبقه ای که فراوانی تراکمی آن بزرگتریا مساوی با یا باشد. 3- جایگزین کردن اعداد در فرمول چارک اول و سوم. 4 - محاسبه انحراف چارکی

مثال: در توزیع زیر انحراف چارکی را محاسبه کنید. X f CF 14-13 12-11 10-9 8-7 6-5 4-3 3 4 2 1 16 13 9 6

نکته: انحراف چارکی همانند میانه تحت تأثیر نمره های خیلی بزرگ یا کوچک قرار نمی گیرد. نکته: بهترین مورد استفاده آن زمانی است که نمره های خیلی بزرگ یا خیلی کوچک شکل توزیع نمره ها را ازبین می برد.

انحراف متوسط یا میانگین قدر مطلق انحرافات در آمار فاصله بین هر عدد از یکی از شاخص های مرکزی انحراف نامیده می شود و میانگین قدر مطلق انحرافات از میانگین را نیز انحراف متوسط می گویند. نکته: در محاسبه انحراف متوسط علائم در نظر گرفته نمی شود. N = تعداد داده ها

نکته: طریقه محاسبه انحراف متوسط برای داده های طبقه بندی نشده همانند اعداد طبقه بندی شده است با این تفاوت که ابتدا انحراف نماینده طبقات محاسبه می شود، سپس در فراوانی طبقات ضرب می شود و در نهایت تقسیم بر تعداد داده ها می شود.

نکته: مقدار آن از توزیعی به توزیعی دیگر به صورت چشمگیری دستخوش تغییر می شود.

واریانس به دلیل اینکه در محاسبه انحراف متوسط علائم اعداد و در محاسبه انحراف چارکی کلیه ارزشهای مقداری تمام اعداد مورد بررسی قرار نمی گیرند یک شاخص پراکندگی با ثبات و معتبر لازم است که ارزشهای عددی کلیه نمره مورد استفاده قرار گیرد. این شاخص واریانس می باشد.

واریانس عبارتست از میانگین انحراف نمره ها از میانگین یا مجموع مجذورات انحراف نمره ها از میانگین تقسیم بر تعداد نمره ها . واریانس را با نشان می دهند. در واقع برای نشان دادن واریانس نمونه و برای نشان دادن واریانس جامعه به کار برده می شوند. نکته: زمانی که بخواهیم را محاسبه کنیم مخرجN می باشد و زمانی که بخواهیم را محاسبه کنیم مخرج 1-Nمی باشد.

محاسبه واریانس اعداد طبقه بندی نشده

واریانس اعداد زیر را محاسبه کنید: مثال واریانس اعداد زیر را محاسبه کنید: 8-6-4-2 2 4 6 8 16 36 64 20 120

محاسبه واریانس اعداد طبقه بندی شده

مثال نکته: X نقطه میانی طبقات است X F FX 4- 2 7- 5 10- 8 13- 11 1 2 3 6 9 12 18 36 81 144 72 162 432 69 270 675 X FX نکته: X نقطه میانی طبقات است

انحراف استاندارد جذر واریانس ،انحراف استاندارد می باشد نکته: تمام روشهایی که برای محاسبه واریانس بکار برده می شوند برای بدست آوردن انحراف استاندارد هم کاربرد دارند.

نکته : در صورتی که عدد ثابتی به همه اعداد یک توزیع اضافه شود یا از آنها کم شود واریانس و انحراف استاندارد تغییری نخواهد کرد اما اگر عدد ثابتی در اعداد خام ضرب شود همان عدد در واریانس و انحراف استاندارد ضرب می شود.

محاسبه انحراف استاندارد مرکب

مثال A B C N 70 20 10 10 9 8 250 250 160

ویژگیهای انحراف استاندارد: 1- انحراف استاندارد معتبرترین شاخص پراکندگی است. 2- اگر پراکندگی نمرات بالا باشند انحراف استاندارد بزرگ خواهد شد.

ضریب تغییرات(پراکندگی) این ضریب برابر است با نسبت انحراف استاندارد به میانگین که اغلب به صورت درصد بیان می شود.این ضریب در عمل برای مقایسه بکار می رود.

مثال: کارخانه ای 2 نوع لاستیک تولید میکند مثال: کارخانه ای 2 نوع لاستیک تولید میکند.اگر و نوع اول به ترتیب 10000 و 2000 کیلومترباشد و اگر و نوع دوم به ترتیب 11000 و 1000 کیلومترباشد، کدام نوع لاستیک بهتر است؟ v1 = v2= نتیجه : نوع دوم بهتر است زیرا هم میانگین عمر ان بیشتر .است و هم ضریب تغییرات ان کمتر است

انحراف استاندارد به دسته ای از شاخصهای آمار توصیفی که گشتاورها نامیده می شوند ، تعلق دارند. فرمول اصلی ← مثال: گشتاوری رتبه چهارم ←

نشان دادن کجی منحنی با استفاده از چارکها کجی مثبت = متقارن = کجی منفی =

کشیدگی کشیدگی بیانگر نحوه پراکندگی توزیع است کشیدگی کشیدگی بیانگر نحوه پراکندگی توزیع است كشيدگي منفي (پراكندگي زياد ) كشيدگي مثبت(پراكندگي متوسط) كشيدگي 0 (پراكندگي خيلي كم)

فصل ششم نمره های استاندارد فصل ششم نمره های استاندارد

تفسیر نمرات خام کار دشواری است تفسیر نمرات خام کار دشواری است . بهترین راه برای تفسیر نمرات تعیین جای نمره در توزیع است بدین معنی که آیا نمره در بالا یا پایین میانگین است و یا چند درصد نمرات پایین تر و یا بالاتر از نمره مورد نظر قرار دارند. برای تعیین موقعیت نسبی هر یک از اعداد شاخصهای مختلفی وجود دارد.

رتبه درصدی، رتبه نسبی و نمره های استاندارد موقعیت و محل نمره ها را براساس میانگین و انحراف استاندارد توزیع نمره ها مشخص می کنند.

رتبه درصدی: رتبه درصدی، رتبه نسبی یک نمره یا داده در توزیع نمره ها یا داده ها را بر اساس مقیاس 100 تعیین می کند. رتبه درصدی در واقع درصدی از نمره ها یا داده ها است که در توزیع پایین تر از داده مورد نظر قرار دارند. معنی رتبه درصدی 80 این است که 80 درصد نمره ها در زیر این نمره واقع شده اند.

نکته: رتبه درصدی در صورتی دارای معنی است و قابل محاسبه می باشد که تمام نمرات یک توزیع در دست باشد. نکته: - رتبه درصدی نزدیک به صفر نمره پایین است. - رتبه درصدی نزدیک به 50 نزدیک به میانگین است. - رتبه درصدی نزدیک به 100 نمره خیلی خوب است.

نکته: رتبه درصدی یک نمره بر اساس تعداد نمره هایی که این نمره از آنها بزرگتر است محاسبه می شود.

نقاط درصدی نقاط درصدی اعدادی هستند که توزیع را به درصدهای مختلف تقسیم می کنند. نقاط درصدی عکس رتبه های درصدی می باشند، در محاسبه رتبه درصدی با داشتن یک نقطه یا عدد رتبه آن محاسبه می شد، ولی در نقاط درصدی ، رتبه یا درصد نمره مشخص است و باید نمره یا داده مورد نظر که داده ها را به درصدهای جداگانه تقسیم کرده است، پیدا کرد.

نکته: نقاط درصدی را با نشان می دهند نکته: نقاط درصدی را با نشان می دهند . مثلا ً نودمین درصد به صورت نوشته می شود. نکته: نقاط درصدی زمانی به کار برده می شوند که پژوهشگر بخواهد از یک جامعه قسمتی یا تعدادی را انتخاب کند. نکته:

محاسبه نقاط درصدی 1- ضرب P (نقطه درصدی مورد نظر) در N 2- تشکیل ستون فراوانی تراکمی 3- پیدا کردن طبقه ای که فراوانی تراکمی آن مساوی یا بزگتر ازPN باشد. 4- جایگزینی مقادیر در فرمول.

مثال: نقطه 60 درصدی را محاسبه کنید X f CF 13-14 11-12 9-10 7-8 5-6 3-4 1-2 1 2 4 5 3 20 19 17 13 8

دهکها دهکها نقاطی هستند که توزیع را به ده قسمت مساوی تقسیم می کنند . بنابراین در هر توزیع 9 دهک وجود دارد. D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 نکته : و...

نمره های استاندارد از طریق رتبه درصدی نمی توان مشخص کرد که نمره یک فرد تا چه اندازه از نمره افراد دیگر بهتر است. بعلاوه تغییر جزئی در نمره های درصدی خیلی بالا یا پایین موجب اختلاف در نمره های خام می شود لذا نمره های استاندارد ملاک خوبی برای نشان دادن وضعیت افراد یا نمره ها نسبت به میانگین هستند.

نکته: نمره های استاندارد نشان می دهند که یک نمره در چه محلی در بالا یا پایین میانگین واقع شده اند. نکته: نمرات استاندارد تعیین می کنند یک نمره چند انحراف استاندارد بالاتر یا پایین تر از میانگین قرار دارد.

ویژگیهای نمرات استاندارد مستقیما از نمره های خام بدست می آیند. به همین دلیل نشان دهنده اندازه هر یک از اعداد خام هستند.

نمره Z نمره Z یک نمره استاندارد بنیادی است و عبارتست از انحراف نمره خام از میانگین تقسیم بر انحراف استاندارد. یا

مثال: در یک آزمون که و است نمره استاندارد عدد 95 را محاسبه کنید مثال: در یک آزمون که و است نمره استاندارد عدد 95 را محاسبه کنید. نکته: اگر تمام داده ها تبدیل به Z شوند توزیع جدیدی به دست می آید که میانگین آن برابر صفر و انحراف استاندارد آن برابریک خواهد بود.

ویژگیهای نمره های Z اگر نمره خام بزرگتر از میانگین باشد نمره Z مثبت، اگر مساوی میانگین باشد Z صفر و اگر کوچکتر از میانگین باشد Z منفی خواهد شد.

موارد استفاده نمره Z علوم Zعلوم ریاضی Z ریاضی میانگین انحراف استاندارد مقایسه عملکرد فرد در ویژگیهای مختلف نتایج حاصل از اجرای دو آزمون ریاضی و فیزیک علوم Zعلوم ریاضی Z ریاضی میانگین انحراف استاندارد نمره احمد 72 15 60 -0.8 50 20 35 -0.75

چون این دو ازمون با مقیاسهای مختلف به عمل امده , مقایسه اعداد 60 و 35 مفهومی ندارد.اگر نمره ها ی دو ازمون تقریبا دارای منحنی فراوانی نرمال باشند, تنها بعد از استاندارد کردن می توان انها را با هم مقایسه کرد. بنا بر این علی در ریاضی بهتر است. زیرا-0.75>-0.8 است.

معایب نمره Z 1- به سادگی برای کلیه افراد جامعه قابل تفسیر نیستند. 1- به سادگی برای کلیه افراد جامعه قابل تفسیر نیستند. 2- این نمره در برخی از موارد منفی و اعشاری است وهمین امر موجب می شود که معنی آن را تمام افراد درک نکنند.

نمره T در استفاده از نمره Z پژوهشگر در برخی از موارد با نمره های منفی و اعشاری روبرواست. این مسأله درک و تفسیر آن را دشوار می کند. برای از بین بردن اعشار نمره Z را در عدد ثابتی ( S ) ضرب و برای از بین بردن علامت منفی نمره Z را با عدد ثابتی ( ) جمع می کنند حاصل عددی است که به آنT می گویند.

نکته: در نتیجه تبدیل Z به T میانگین و انحراف استاندارد توزیع جدید صفر و یک نخواهد شد. نکته: برعکس نمره Z نمره T همیشه مثبت است.

نکته: یکی از معمول ترین و در عین حال ساده ترین روش تبدیل نمره Z به توزیعی با میانگین 50 و انحراف استاندارد 10 است.

فصل هفتم منحنی طبیعی

اگر تعداد زیادی از نمرات یا اعداد مربوط به اندازه گیری یک متغیر به طور مثال قد را روی یک نمودار نشان دهیم شکل نمودار مانند زنگوله خواهد شد که به این شکل ، منحنی طبیعی یا استاندارد می گویند. X M m - +

منحنی طبیعی به وسیله گاووس ریاضی دان آلمانی کشف شده است منحنی طبیعی به وسیله گاووس ریاضی دان آلمانی کشف شده است . گاووس توزیع خطاهایی را که در مشاهده های ستاره شناسی انجام شده بود مطالعه کرد و آنها را به صورت نمودار نشان داد . به همین خاطر منحنی طبیعی را منحنی گاووس نیز می گویند. نکته: منحنی خیلی از حوادث فیزیکی مانند قد، وزن طبیعی است.

منحنی طبیعی دارای معادله ای به شرح زیر است که ارتفاع منحنی را در هر نقطه از X نشان می دهد. Y = X ارتفاع منحنی در هر نقطه ای از X = متغیر اندازه گیری شده σ = انحراف استاندارد μ = میانگین

نکته: شکل توزیع طبیعی به میانگین و انحراف استاندارد بستگی دارد به عبارتی هر دفعه که میانگین و انحراف استاندارد تغییر کند منحنی توزیع طبیعی تغییر خواهد کرد. نکته: هرگاه بخواهیم بگوییم متغیری مانندX دارای توزیع طبیعی است آن را بصورت نشان می دهیم X~N(μ¸σ)

ویژگیهای منحنی طبیعی 1- منحنی طبیعی متقارن است و حداکثر ارتفاع آن در میانگین قرار دارد. 2- در منحنی طبیعی میانگین، میانه و نما بر روی هم قرار دارند.

3- دنباله های منحنی با محور X موازی هستند -∞ +∞

منحنی طبیعی استاندارد برای یکسان کردن منحنیهای توزیعهای مختلف طبیعی می توان آنها را به توزیع نمره های استاندارد (نمره Z )تبدیل کرد. بنابراین هنگامی که نمره های توزیع به نمره های استاندارد تبدیل می شود توزیعی با میانگین صفر و انحراف استاندارد یک بدست می آید که به آن منحنی طبیعی استاندارد می گویند.

نکته: محور(X) منحنی طبیعی استاندارد براساس Z تقسیم بندی می شود نه نمره خام . نکته: بهترین مرز در منحنی استاندارد میانگین می باشد که Z آن برابر با صفر است که در واقع همان میانه و نما هم می باشد.

سطح زیر منحنی طبیعی استاندارد -3 -2 -1 1 2 3 %68/26 %95/44 %99/72

فصل هشتم همبستگی

حوادث متعددی در طبیعت اتفاق می افتد که بین آنها همبستگی یا رابطه وجود دارد. منظور از رابطه بین متغیرها وجود رابطه علت معلولی نیست. نکته: همبستگی رابطه بین دو متغیر در جامعه را توصیف می کند که متغیرها را یکی را X و دیگری را Y می نامند.

نکته: ضریب همبستگی با (rxy) نشان داده می شود

نمودارهای پراکندگی یکی از روشهایی که می توان به وسیله آن همبستگی بین دو متغیر را نشان داد نمودار پراکندگی است. اشکال مختلف نمودار پراکندگی: الف: زمانی که با افزایش متغیر X متغیر Yهم افزایش پیدا می کند.

ب: اگر با افزایش یک متغیر (X) متغیر دیگر (Y) کاهش پیدا کند

ج: زمانی که با افزایش یک متغیر، متغیر دیگر افزایش پیدا کند ولی مقادیر افزایش یکسان نباشد رابطه مستقیم خواهد بود ولی کامل نیست. مثلاً

د: زمانی که با افزایش یک متغیر مقدار متغیر دیگر کاهش پیدا می کند اما مقادیر یکسان نیست. مثلا ً

ه: زمانی که رابطه ای بین متغیرها وجود نداشته باشد

در برخی از مواقع رابطه بین متغیرها به صورت خطی نیست بلکه شبیه منحنی است.

محاسبه ضریب همبستگی برای محاسبه ضریب همبستگی شاخصهای متعددی تدوین شده است. معروفترین و در عین حال پر مصرفترین آنها زمانی به کار برده می شود که متغیرهای مورد مطالعه با استفاده از مقیاس فاصله ای یا نسبی اندازه گیری شده باشند. این روش توسط کارل پیرسون تهیه و تنظیم گردیده است و ضریب همبستگی گشتاوری پیرسون نامیده می شود.

برای محاسبه ضریب همبستگی پیرسون سه روش وجود دارد: 1- استفاده از اعداد خام

X Y XY 10 15 5 8 12 14 11 13 100 225 25 64 144 196 121 169 150 210 55 104 50 65 558 855 663 X Y

2- محاسبه ضریب همبستگی از راه انحراف از میانگین :

مثال: X Y χ y χy 10 15 5 8 12 14 11 13 5- 2- 2 1 1- 25 4 50 65 58 χ y

محاسبه ضریب همبستگی از راه نمرات استاندارد

مثال: X Y Zx Zy ZxZy 10 15 5 8 12 14 11 13 1/47 -1/47 -0/59 +0/59 1/41 1/47 -1/47 -0/59 +0/59 1/41 0/71 -1/41 -0/71 1/04 2/1 -0/42 50 65 2/72

ضریب همبستگی اسپیرمن ضریب همبستگی اسپیرمن صورتی از ضریب همبستگی پیرسون است و زمانی به کار برده می شود که نمره ها رتبه بندی شده باشند یا به جای اعداد رتبه های آنها دردست باشد. P = ضریب همبستگی رتبه ای اسپیرمن مجذور تفاوت رتبه ها N = تعداد داده ها یا نمره ها

مراحل محاسبه ضریب همبستگی رتبه ای اسپیرمن 1- اعداد متغیر X به ترتیب از بزرگ به کوچک مرتب می کنیم(Rx) و بعد از آن اعداد Y مربوط به هرعدد X را در ستون Y ها قرار می دهیم و به آنها رتبه می دهیم (Ry) 2- Ry را از Rx کم می کنیم و اختلاف آنها را D می نامیم .

3- Dها را به توان دو می رسانیم و مجموع آنها را محاسبه می کنیم

ضریب همبستگی اسپیرمن داده های زیر را محاسبه کنید. X Y Rx Ry D 47 46 45 43 41 38 51 32 39 50 48 1 2 4 6 7 5 3 -5 -3 -1 25 9 16 68

عواملی که بر ضریب همبستگی تأثیر می گذارند: 1- اساس رابطه از جامعه ای به جامعه دیگر فرق می کند. مثلا ً در افراد بشر در سنین 16-10 سالگی بین سن تقویمی و توانایی فیزیولوژکی همبستگی بالایی وجود دارد. ولی بین این دو متغیر در سنین 26-20 سالگی همبستگی وجود ندارد.

2- پراکندگی متغیرها در جوامع مختلف متفاوت است بدین معنی که هر چه تجانس بیشتر باشد همبستگی کمتر است. به عنوان مثال، در یک دانشکده (جامعه) بین قد و موفقیت در بازی بسکتبال همبستگی مثبت و بالای وجود دارد. اما در تیم بسکتبال یک کشور چنین رابطه ای وجود ندارد.

3- همبستگی بین دو متغیر تحت تأثیر همبستگی آنها با متغیر ثالثی قرار دارد به عنوان مثال ، همبستگی بین فیزیک و ریاضی ممکن است به دلیل همبستگی این متغیرها با هوش باشد. نکته: تفسیر ضریب همبستگی نباید بر حسب درصد و نسبت باشد. مثلا ً 70/0= rxy هفتاد درصد رابطه بین متغیرها را تبیین نمی کندو 90/0= rxy دقیقا ً دو برابر 45/0= rxy نیست.

ضریب تعیین ضریب تعیین نشان دهنده میزا ن تأثیری است که متغیر X (مستقل) در متغیرY (وابسته) ایجاد می کند یا به عبارتی با محاسبه این ضریب می توان تعیین کرد چند درصد از کل واریانس X ناشی از واریانس Y است. نکته: ضریب تعیین هیچ وقت منفی نخواهد شد زیرا برای محاسبه آن ضریب همبستگی مجذور می شود.

فصل نهم رگرسیون و پیش بینی فصل نهم رگرسیون و پیش بینی

زمانی که بین دو متغیر همبستگی وجود داشته باشد می توان از طریق رگرسیون مقدار یک متغیر(Y) را از روی یک متغیر دیگر (X) پیش بینی یا برآورد کرد ، و هر چه همبستگی بین متغیرها بالاتر باشد ، به همان اندازه پیش بینی دقیقتر است. نکته: رابطه بین متغیر پیش بینی شونده (Y) و متغیر پیش بینی کننده (X) تابع علامت و شدت ضریب همبستگی است.

پیش بینی نمره های استاندارد (Z) مقدماتی ترین روشی که در استفاده ازضریب همبستگی پیرسون برای پیش بینی به کار برده می شود نمره های استاندارد است.

رگرسیون زمانی که همبستگی بین دو متغیر پایین باشد نمرات پیش بینی شده نزدیک به میانگین نمره پیش بینی شونده هستند تا نمره واقعی. به این پدیده رگرسيون می گویند. نکته: میزان همبستگی بین دو متغیر حدود یا مقدار اتفاق رگرسیون را تعیین می کند .

نکته: پدیده رگرسیون اولین بار بوسیله گالتن مورد استفاده قرار گرفت نکته: پدیده رگرسیون اولین بار بوسیله گالتن مورد استفاده قرار گرفت. بر اساس مطالعات گالتن ، فرزندان والدین بلند قد، بلند قد هستند. اما نه به اندازه والدین خود. به همین ترتیب فرزندان والدین کوتاه قد ، کوتاه قد هستند اما نه به کوتاهی والدین خود.

خط رگرسیون خطی که در رابطه با نمره های پیش بینی شده است خط رگرسیون نامیده می شود. به عبارتی خطی است که خطاهای پیش بینی را به حداقل می رساند(خط حداقل مجذورها). یعنی اینکه مجموع مجذور فاصله Y ها از خط رگرسیون کوچکتر از فاصله هر خط دیگری تا محور Y ها می باشد.

نکته : خط رگرسیون را خط برازنده نیز می نامند نکته : خط رگرسیون را خط برازنده نیز می نامند. نکته: اختلاف بین نمره واقعی (Y) و نمره پیش بینی شده ( ) را خطای پیش بینیe می گویند. y' نمره واقعي نمره پيش بيني شده

معادله خط رگرسیون برای پیش بین یک متغیر از روی متغیر دیگر از معادله خط رگرسیون استفاده می شود. فرمول معادله خط : y' =a +bx b = شیب خط y‘متغیری که می خواهیم پیش بینی کنیم = a =یا محل تلاقی خط رگرسیون با محورایگرگ عرض از مبدأ X = متغیری که مقدار آن را در اختیار داریم

نکته: بعضی مواقع مقدار a و b در اختیار است در این صورت با جایگزینی مقادیر محاسبه خیلی ساده می باشد. X Y خط رگرسيون b a

نکته : بعضی مواقع مقدار a و b در اختیار است در این صورت با جایگزینی مقادیر محاسبه خیلی ساده می باشد. مثال: X = 0 X = 1 X = 4 X = 8 Y = 4 + 2 (0) = 4 Y = 4 + 2 (1) = 6 Y = 4 + 2 (4) = 12 Y = 4 + 2 (8) = 16

روش محاسبه ضرایب a و b a و b را به دو روش می توان محاسبه کرد: الف: زمانی که داده ها ی خام در اختیار نداشته باشیم ویک سری اطلاعات به ما داده باشند. ب: زمانی که اطلاعات و داده های خام در اختیار داشته باشیم .

محاسبه a و b از روی اطلاعات ثانوی

byx و bxy = شیب خط رگرسیون rxy = ضریب همبستگی Sy = y انحراف استاندارد Sx = x انحراف استاندارد

عرض از مبدأ میانگین شیب خط

محاسبه a و b از روی داده های خام

مثال: برای داده های زیر معادله خط رگرسیون را به دست آورید؟ X Y XY 6 9 5 8 7 36 81 25 64 49 48 35 20 24 142 194 164 X Y

خطای استاندار برآورد اکثر مواقع بین نمرات پیش بینی شده و نمرات مشاهده تفاوت وجود دارد به این اختلاف خطای استاندارد برآورد می گویند. نکته: هر چه همبستگی بین متغیرها بیشتر باشد خطای پیش بینی کمتر خواهد بود. این خطا به دو روش محاسبه می شود.

Syx = خطای استاندارد پیش بینی Sy = y انحراف استاندارد Sx = x انحراف استاندارد rxy = ضریب همبستگی e = خطای پیش بینی