Εκπαιδευτικός: Ειρήνη Περυσινάκη Πράξεις Ακεραίων (με αναπαράσταση) ΣΔΕ Τυλίσου Απρίλιος 2006 Εκπαιδευτικός: Ειρήνη Περυσινάκη

Αναπαραστάσεις ακεραίων Οι ακέραιοι αριθμοί Θετικοί ακέραιοι: +1, +2, +3, +4,… Αρνητικοί ακέραιοι: -1, -2, -3, -4,… Το μηδέν: 0 Αναπαραστάσεις ακεραίων Μία θετική μονάδα παριστάνεται με Μία αρνητική μονάδα παριστάνεται με Το 0 παριστάνεται με κενό.

Πρόσθεση ακεραίων Στις επόμενες διαφάνειες εξετάζουμε Την πρόσθεση ομόσημων ακεραίων Την πρόσθεση αντίθετων ακεραίων Την πρόσθεση ετερόσημων ακεραίων

Πρόσθεση ομόσημων ακεραίων Αφιερώστε 1 – 2 λεπτά στην επόμενη διαφάνεια για να μελετήσετε την πρόσθεση ομόσημων ακεραίων. Στο παράδειγμά μας βλέπουμε ότι (-5) + (-4) = -9

(-5) + (-4) = -9

Πρόσθεση αντίθετων ακεραίων Όταν προσθέσουμε μια αρνητική και μια θετική μονάδα, το αποτέλεσμα είναι 0 όπως φαίνεται και παρακάτω:

Αφιερώστε 1 – 2 λεπτά στις δύο επόμενες διαφάνειες για να μελετήσετε την πρόσθεση αντίθετων ακεραίων. Στα παραδείγματά μας (-3) + (+3) = 0 (-5) + (+5) = 0

(-3) + (+3) = 0

(-5) + (+5) = 0

Πρόσθεση ετερόσημων ακεραίων Η πρόσθεση ετερόσημων ακεραίων γενικεύει την πρόσθεση των αντίθετων ακεραίων, όπως φαίνεται και στα επόμενα παραδείγματα.

Πρόσθεση ετερόσημων ακεραίων Αφιέρωσε 1 – 2 λεπτά στις επόμενες δύο διαφάνειες για την μελέτη της πράξης. Στα παραδείγματα: (-7) + (+4) = -3 (-4) + (+7) = +3

(-7) + (+4) = -3

(-4) + (+7) = +3

Αφαίρεση ακεραίων Στόχος των επόμενων παραδειγμάτων είναι να κατανοήσουμε το εξής: Για να βρούμε την διαφορά δύο ακεραίων αριθμών αρκεί να προσθέσουμε στον μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου.

Πώς από τις –5 μονάδες θα αφαιρέσουμε +4; (-5) – (+4) = -9

Εναλλακτικά: Παρατηρούμε ότι αρκεί να προσθέσουμε στις –5 μονάδες – 4 μονάδες. (-5) – (+4) = (-5) + (-4) = -9

Πώς από τις –3 μονάδες θα αφαιρέσουμε -5; (-3) – (-5) = +2

Εναλλακτικά: Παρατηρούμε ότι αρκεί να προσθέσουμε στις –3 μονάδες +5 μονάδες. (-3) – (-5) = (-3) + (+5) = +2

Πώς από τις –5 μονάδες θα αφαιρέσουμε -3; (-5) – (-3) = -2

Εναλλακτικά: Παρατηρούμε ότι αρκεί να προσθέσουμε στις –5 μονάδες +3 μονάδες. (-5) – (-3) = (-5) + (+3) = -2

Φυσικά υπάρχει και απλούστερος τρόπος για να αφαιρέσουμε από τις –5 μονάδες –3: (-5) – (-3) = -2

Πολλαπλασιασμός ακεραίων. Στόχος των επόμενων διαφανειών είναι να εξηγήσουμε μέσα από παραδείγματα τους κανόνες πολλαπλασιασμού των προσήμων: (+)·(+) = + (–)·(–) = + (+)·(–) = – (–)·(+) = –

(+2)·(+3) = +6 Tην πράξη (+2)·(+3) την ερμηνεύουμε ως εξής: Σε ένα άδειο κουτί προσθέτουμε 2 φορές (το + 2) θετικές τριάδες (το +3). Το αποτέλεσμα είναι 6 θετικές μονάδες (το +6). (+2)·(+3) = +6

(+2)·(-3) = -6 Tην πράξη (+2)·(-3) την ερμηνεύουμε ως εξής: Σε ένα άδειο κουτί προσθέτουμε 2 φορές (το + 2) αρνητικές τριάδες (το -3). Το αποτέλεσμα είναι 6 αρνητικές μονάδες (το -6). (+2)·(-3) = -6

(-2)·(+3) = -6 Tην πράξη (-2)·(+3) την ερμηνεύουμε ως εξής: Από ένα άδειο κουτί αφαιρούμε 2 φορές (το - 2) θετικές τριάδες (το +3). Το αποτέλεσμα είναι 6 αρνητικές μονάδες (το -6). (-2)·(+3) = -6

(-2)·(-3) = +6 Tην πράξη (-2)·(-3) την ερμηνεύουμε ως εξής: Από ένα άδειο κουτί αφαιρούμε 2 φορές (το - 2) αρνητικές τριάδες (το -3). Το αποτέλεσμα είναι 6 θετικές μονάδες (το +6). (-2)·(-3) = +6

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ Συμπεράσματα: ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΚΕΡΑΙΩΝ Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν πάντα άθροισμα 0. ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΚΕΡΑΙΩΝ Για να βρούμε την διαφορά δύο ακεραίων, προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ Ισχύουν οι κανόνες: (+)·(+) = + (–)·(–) = + (+)·(–) = – (–)·(+) = –

ΠΗΓΕΣ: Ακέραιοι Αριθμοί – Πράξεις αυτών. Καίτη Σεντελέ, http://users.auth.gr/~lemonidi/sde (κείμενα των Μαθηματικών των ΣΔΕ) Ένα εμπειρικό μοντέλο διδασκαλίας για την εισαγωγή των πράξεων προσημασμένων αριθμών. Δημήτρης Πολυτίδης, http://users.auth.gr/~lemonidi/sde (παραδείγματα διδασκαλιών)