PODOBNOSŤ TROJUHOLNÍKOV Základná škola 9. ročník Ing. Peter Greguš 

Obsah Zhodnosť trojuholníkov Veta sss Veta sus Veta usu Opakovanie (netreba opisovať) Nové učivo (treba opisaovať) Zhodnosť trojuholníkov Veta sss Veta sus Veta usu Desatinné číslo a zlomok Pomer Príklad na pomer Podobnosť geometr. útvarov Podobnosť trojuholníkov Príklad na vetu sss Príklad na vetu sus Veta uu Príklad na vetu uu Príklady na podobnosť Príklad 1 (zistiť podobnosť) Príklad 2 (zmeniť trojuholník) Príklad 3 (obvod, obsah) Koeficient pri obvode a obsahu Príklad 4 (obvod, obsah) Príklad 5 (obvod, obsah) Príklad 6 (strom) Príklad 7 (rybník) Príklad 8 (komíny) Príklad 9 (obdĺžnik) Príklad 10 (štvorec) Geom.útvary jedným údajom Test Úoha

Definícia Zhodnosti trojuholníkov Dva trojuhoníky sa zhodujú, ak sa zhodujú - vo všetkých odpovedajúcich si stránach - vo všetkých odpovedajúcich si uhlov.

VETA (sss) Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú vo všetkých troch stranách sú zhodné. C C’ b’ a’ b a c A’ c’ B’ A B

VETA (sus) Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom sú zhodné. C C’ b’ b α α’ c A’ c’ B’ A B

VETA (usu) Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednej strane a dvoch uhloch k nej priľahlých sú zhodné. C C’ α β α’ β’ c A’ c’ B’ A B

Desatinné číslo a zlomok čitateľ < menovateľ čitateľ > menovateľ 0,2 ; 0,8 ; 0,12; 0,93 Desatinné čísla <1 Desatinné čísla >1 Desatinné čísla =1 1,4 ; 2,5 ; 18,1; 20,0 1 ; 1,0 ; 1,00; 1,000 Zlomky <1 Zlomky >1 Zlomky =1 čitateľ < menovateľ čitateľ > menovateľ čitateľ = menovateľ

Pomer Zmenšenie k<1 Zväčšenie k>1

Počet dielov novej veľkosti Počet dielov pôvodnej veľkosti

Príklad na pomer 1.) Úsečku |AB| = 24 cm zmeňte v pomere k = 3:4 2.) Úsečku |KL| = 35 cm zmeňte v pomere k = 6:5 4 diely...pôvodná úsečka 24 cm 5 diely...pôvodná úsečka 35 cm 1 diely...24 : 4 = 6 cm 1 diely...35 : 5 = 7 cm 3 diely...nová úsečka 3.6=18 cm 6 diely...nová úsečka 6.7=42 cm alebo alebo |A’B’| = 18 cm |K’L’| = 42 cm

Podobnosť geometr.útvarov Vzor Obraz zväčšenie Q B c=5cm r=10cm a=3cm p=6cm b=4cm C A R q=8cm P zmenšenie Porovnávame strany: najdlhšiu (c) z ΔABC s najdlhšou (r) z ΔPQR strednú (b) z ΔABC so strednou (q) z ΔPQR najkratšiu (a) z ΔABC s najkratšou (p) z ΔPQR

Každá strana musí byť rovnako krát zväčšená (zmenšená). k – koeficient podobnosti Podobnosť je zväčšenie alebo zmenšenie. Ak k>1, potom ide o zväčšenie. Ak k<1, potom ide o zmenšenie. Ak k=1, potom ide o zhodnosť.

Definícia Podobnosti trojuholníkov Znak podobnosti c’ a a’ b C A C’ b’ A’ Dva trojuholníky sa podobné, ak majú rovnaký pomer dĺžok odpovedajúcich si strán a zhodné odpovedajúce si uhly. Znak zhodnosti

VETA (sss) Dva trojuholníky sú podobné, ak pomery dĺžok každých dvoch odpovedajúcich si strán sa rovnajú. C C’ b’ a’ b a c’ B’ A’ c A B

Príklad na vetu (sss) P T 15 cm 5 cm 3 cm 9 cm S U 4 cm R O 12 cm Poznámka: Koeficienty musia byť všetky tri rovnaké. Ak by boli len dva rovnaké, tak by trojuholníky neboli podobné.

VETA (sus) Každé dva trojuholníky, ktoré majú ten istý pomer dĺžok dvoch dvojíc odpovedajúcich si strán a zhodujú sa v uhle nimi určenom sú podobné. C C’ b’ b α’ c’ B’ A’ α c A B

Príklad na vetu (sus) X F 120° 4 cm 2 cm 8 cm E D Y 120° 4 cm Z Poznámka: Koeficienty musia byť obidva rovnaké a uhly rovnaké. Inak by trojuholníky neboli podobné.

VETA (uu) Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch vnútorných uhloch sú podobné. C C’ α’ β’ B’ A’ c’ α β c A B

Príklad na vetu (uu) U 40° N 80° W 60° 80° 40° M L 60° V Poznámka: Stačí zistiť dve dvojice uhlov. Ak sú dve dvojice rovnaké, tak potom bude aj tretia dvojica rovnaká. Pri tejto vete nevieme určiť koeficient.

Príklady na podobnosť trojuholníkov 1) Zisťovanie, či sú dané trojuholníky podobné. 2) Zväčšovanie alebo zmenšovanie trojuholníka daným koeficientom. 3) Slovné úlohy na podobnosť

Príklad 1 Zistite, či trojuholník GHJ so stranami g=16cm, h=24cm, j=14cm je podobný s trojuholníkom MNO so stranami m=7cm, n=8cm, o=12cm. najdlhšie strany: stredné strany: najkratšie strany:

Príklad 2 Daný je trojuholník ABC, ktorého strany majú dĺžky a=6cm, b=4cm, c=8cm. Vypočítajte dĺžky strán trojuholníka DEF, ktorý je podobný s trojuholníkom ABC, ak koeficient podobnosti je

Príklad 3 Daný je trojuholník PQR, ktorého strany majú dĺžky p=3cm, q=4cm, r=5cm. Vypočítajte dĺžky strán, obvod a obsah trojuholníka STU, ktorý je podobný s trojuholníkom PQR, ak koeficient podobnosti je k=3.

Podobnosť obvodov trojuholníkov o – obvod vzoru o’ – obvod obrazu Podobnosť obsahov trojuholníkov S – obsah vzoru S’ – obsah obrazu

Príklad 4 Strany trojuholníka ABC majú veľkosť 6 m, 7 m, 8 m. Akú veľkosť majú strany trojuholníka A’B’C’ podobného s trojuholníkom ABC, keď obvod trojuholníka A’B’C’ je 84 m.

Príklad 5 C o = 13 cm S = 10 cm2 A’ B’ B C’ A stredná priečka Vypočítajte obvod a obsah trojuholníka, ak trojuholník vzniknutý zo stredných priečok tohto trojuholníka ma obvod 13cm a obsah 10 cm2. C o = 13 cm S = 10 cm2 A’ B’ B C’ A stredná priečka má polovičnú dĺžku z protiľahlej strany

Príklad 6 Pod stromom stojí chlapec a pozoruje svoj tieň a tieň stromu. Chlapec je vysoký 180 cm a jeho tieň má dĺžku 1,5 m. Tieň stromu má dĺžku 4,5 m. Aký vysoký je strom? Podľa vety (uu) sú trojuholníky podobné x cm 180 cm 4,5 m 1,5 m Strom je vysoký 5,4 m.

Príklad 7 Na obrázku je znázornený rybník a na jeho brehu sú vyznačené dva body A, B, Vypočítajte vzdialenosť bodov A, B z údajov vyznačených na obrázku. Podľa vety (uu) sú trojuholníky podobné x 560 m 240 m 160 m Vzdialenosť medzi bodmi A, B je približne 373 m.

Príklad 8 Pozorovateľ vidí dva komíny K1, K2 v rovnakom zornom uhle α . Od komína K1 je vzdialený 90 m a od komína K2 72 m. Komín K1 má výšku 45 m. Akú výšku má komín K2? K1 K2 45 m x 90 m 72 m Podľa vety (uu) sú trojuholníky podobné Komín K2 je vysoký 34 m.

Príklad 9 Rám obrazu je zhotovený z lišty širokej 6 cm. Rozmery obrazu sú 74 cm a 57 cm. Sú vnútorné a vonkajšie okraje rámu dva podobné obdĺžniky? 45 cm 57 cm 62 cm 74 cm Vnútorné a vonkajšie okraje rámu nie sú dva podobné obdĺžniky.

Príklad 10 Je štvorec so stranou dlhou 10 cm podobný so štvorcom Geometrické útvary, ktoré sú dané jedným údajom sú vždy podobné.

Pravidelné šesťuholníky Pravidelné n-uholníky Pravidelné päťuholníky Podobné geometrické útvary sú každé dva: Rovnostranné trojuholníky Pravidelné šesťuholníky Štvorce Pravidelné n-uholníky Pravidelné päťuholníky Kruhy

TEST Každé dva rovnostranné trojuholníky sú zhodné. (A-N) Vyskúšajte si test sami, o každom tvrdení uveďte, či je pravdivé (A) alebo nepravdivé (N). Každé dva rovnostranné trojuholníky sú zhodné. (A-N) Ak sú dva trojuholníky zhodné, potom platia všetky vety o zhodnosti trojuholníkoch. (A-N) Každý zlomok, ktorý je väčší ako jedna, je väčší ako každé desatinné číslo, ktoré je menšie ako jedna. (A-N) Ak v pomere prvá číslica nie je väčšia ako druhá, potom ide o zmenšenie. (A-N) Každý pomer sa dá vyjadriť ako zlomok. (A-N) Koeficient podobnosti je vždy kladné číslo. (A-N) Ak sú dva trojuholníky podobné podľa vety (uu), potom sa zhodujú vo všetkých troch uhloch a koeficient podobnosti nepoznáme. (A-N) Ak je trojuholník x-krát zmenšení, potom má aj x-krát menší obvod. (A-N) Žiadne dva obdĺžniky nie sú podobné. (A-N) Každé dva 8-uholníky sú podobné. (A-N) Odpovede: 1)N; 2)A; 3)A; 4)N; 5)N; 6)A; 7)A; 8)A; 9)N; 10)N.

Zväčšenie geometrických útvarov s koeficientom k=2 na štvorcovej sieti Úloha: Na milimetrovom papieri zrobte: str.60/cv.2 (farebne). Túto úlohu budem známkovať.

Toto je moderný spôsob vzdelávania E-learning. Takto sa bude vzdelávať v blízkej budúcnosti už aj na stredných školách. Už nebudete musieť vidieť „učiteľov “. Alebo „učiteľov “ ???