TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE Ivana Grgić, Ljerka Košak, Sanja Miler, Sonja Karlovčec, Tanja Liber

Sličnost trokuta Za likove koji imaju isti oblik ali se razlikuju po veličini, kaže se da su slični.

Sličnost trokuta A2 A1 B1 C1 C2 B2 Nacrtajmo dva trokuta različitih veličina koji imaju unutarnje kutove jednake 30°, 60° i 90°. A1 B1 C1 A2 B2 C2 Unutrašnji kutovi trokuta A2B2C2 sukladni su unutrašnjim kutovima trokuta A1B1C1

Sličnost trokuta Usporedimo li duljine onih dviju stranica nacrtanih trokuta koje su nasuprot sukladnim kutovima, dobivamo:

Sličnost trokuta Omjeri duljina stranica koje su nasuprot sukladnim kutovima nacrtanih trokuta isti su i jednaki 2. Tada možemo pisati ovako: , Trokuti na slici očito su slični (istog oblika) pa ćemo na isti način i općenito odrediti slične trokute.

Sličnost trokuta Dva su trokuta slična ako su kutovi jednog trokuta sukladni s kutovima drugog trokuta i ako su im omjeri odgovarajućih stranica trokuta jednaki. Da su trokuti slični kraće pišemo A2B2C2 ~ A1B1C1

Kutevi p V q Kut je uređen par (p,q) dviju zraka koje imaju isti početak V. p V q Mjera kuta pVq je neki broj iz skupa {θ + k 360°, k Є Z}

Radijani Radijanska mjera kuta određuje se kao omjer duljine luka prema polumjeru luka. θ rad = θ rad = Pretvaranje radijana u stupnjeve:

eksponencijalno preslikavanje! Brojevna kružnica Svakom broju t brojevnog pravca pridružena je točka T na brojevnoj kružnici. E(t) = T To pridruživanje nazivamo eksponencijalno preslikavanje!

TRIGONOMETRIJA PRAVOKUTNOG TROKUTA Grčki trigonon = trokut metrein = mjera

Trigonometrijske funkcije šiljastog trokuta B' a a’ c c’ b’ b B β β α C' A C

Pravokutni trokut nasuprotna kateta priležeća kateta B A C Prema položaju stranica a i b u odnosu na kut α, stranicu a nazivamo NASUPROTNA KATETA, a stranicu b PRILEŽEĆA KATETA. nasuprotna kateta priležeća kateta α A B C

Omjeri kateta i hipotenuze u pravokutnom trokutu sinus kosinus tangens kotangens

0 < sin α < 1 0 < cos α < 1 Vrijednosti trigonometrijskih funkcija Za svaki šiljasti kut α uvijek vrijedi: 0 < sin α < 1 0 < cos α < 1 jer su u pravokutnom trokutu katete manje od hipotenuze. A1 B1 C1 Vrijednosti funkcija tg α i ctg α mogu biti po volji odabrani pozitivni brojevi, jer takvi mogu biti omjeri kateta.

Sinus i kosinus x T=E(t)=(cost, sint) sin(t) y t O P=(cost, 0) cos(t)

Sinus i kosinus po volji odabranog kuta Neka je t po volji odabran realni broj, T = E(t) njemu odgovarajuća točka na brojevnoj kružnici. Tada je T = (cos t, sin t) Vrijednost funkcije kosinus (cos t) je apscisa, a vrijednost funkcije sinus (sin t) je ordinata točke T = E(t).

Temeljni identitet Za svaki realni broj t vrijedi

Tangens T=(1, tgt) tg(t) A(1, 0) t P O p Vrijednost funkcije tangens (tg t) je ordinata točke u kojoj pravac OP siječe tangentu p. p

Kotangens ctg(t) Q=(ctgt, 1) C=(0, 1) q P O Vrijednost funkcije kotangens (ctg t) je apscisa točke u kojoj pravac OP siječe tangentu q. O

Predznaci trigonometrijskih funkcija Koordinate točaka na brojevnoj kružnici mijenjaju predznak pri prijelazu u novi kvadrant. Sinus i kosinus će mijenjati svoj predznak kad točka T obiđe brojevnu kružnicu. cos x sin x (1,0) (-1,0) (0,-1) T tg x ctg x (0,1)

Predznaci trigonometrijskih funkcija Kako vrijedi: to će tg i ctg biti pozitivni tamo gdje su sinus i kosinus istog predznaka: u I i III kvadrantu. KVADRANT I II III IV + – sin x cos þ ý ü tg ctg

Jesu li trigonometrijske funkcije parne ili neparne funkcije? Parnost i neparnost Funkcija f je parna ako za svaki t iz njene domene vrijedi f (-t)= f (t). Ona je neparna ako za svaki t iz njene domene vrijedi f (-t)= -f (t). Jesu li trigonometrijske funkcije parne ili neparne funkcije?

Parnost i neparnost Točke E(t) i E(-t) simetrične su s obzirom na os Ox. Zato se njihove apscise podudaraju, a ordinate razlikuju u predznaku: cos (-t) = cos (t) , sin (-t) = -sin (t) tЄR tg (-t) = -tg (t) , ctg (-t) = -ctg (t) tЄR , sinus je neparna, a kosinus parna funkcija. tangens i kotangens su neparne funkcije

Periodične funkcije Za funkciju f kažemo da je periodična ako postoji pozitivan realni broj P takav da za svaki t iz domene funkcije f vrijedi f (t) = f (t + P) Broj P zove se period funkcije f. Najmanji takav pozitivni broj (ako postoji) zove se temeljni period funkcije f.

Periodičnost funkcija sinus i kosinus Brojevima t i t + 2π odgovara ista točka T na brojevnoj kružnici. Zato vrijedi za svaki realni broj t sin (t+2π) = sin t , cos (t+2π) = cos t Ovo se svojstvo naziva periodičnost funkcije sinus, odnosno kosinus.

Periodičnost funkcija sinus i kosinus Sinus i kosinus su periodičke funkcije s periodom 2π. sin (t+2kπ) = sin t , cos (t+2kπ) = cos t Da bismo odredili vrijednosti trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus, dovoljno je poznavati njihove vrijednosti unutar intervala [0,2π].

Periodičnost funkcija tangens i kotangens tg (t+π) = tg t , ctg (t+π) = ctg t tg (t+kπ) = tg t , ctg (t+kπ) = ctg t . Tangens i kotangens su periodičke funkcije s periodom π.

GRAFOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Graf funkcije sinus x y 1 -1  2 3 4 – –2

Graf funkcije sinus

Ponašanje funkcije sinus Funkcija f(x)= sin(x) ima sljedeća svojstva: Nultočke funkcije su brojevi kπ, kЄZ. Maksimum funkcije je 1, a poprima se za x=π/2 +2kπ, kЄZ. 3. Minimum funkcije je -1, a poprima se za x=3π/2 +2kπ, kЄZ. 4. Na intervalu [0,2π] tijek funkcije je: x sin (x) π/2 1 π 3π/2 -1 2π 5. Funkcija je periodična s periodom 2π.

Graf funkcije kosinus x y 1 -1  2 3 4 – –2

Graf funkcije kosinus

Ponašanje funkcije kosinus Funkcija f(x)= cos (x) ima sljedeća svojstva: 1. Nultočke funkcije su brojevi π/2+kπ, kЄZ. 2. Maksimum funkcije je 1, a poprima se za x=2kπ, kЄZ. 3. Minimum funkcije je -1, a poprima se za x=(2k+1)π, kЄZ. 4. Na intervalu [0,2π] tijek funkcije je: x cos (x) 1 π/2 π -1 3π/2 2π 5. Funkcija je periodična s periodom 2π

Graf funkcije sinus i kosinus

Graf funkcije tangens y  2 –2 – 1 –1 5 3 x

Graf funkcije tangens

Ponašanje funkcije tangens Funkcija f(x)= tg (x) ima sljedeća svojstva: 1. Nultočke funkcije su kπ, kЄZ. 2 Vertikalne asimptote funkcije su pravci x = π/2 + kπ, kЄZ. 3. Na intervalu [0,π] tijek funkcije je: x tg (x) π/2 π 4. Funkcija je periodična s periodom π.

Graf funkcije kotangens  2 –2 – x y 1 –1 3

Graf funkcije kotangens

Ponašanje funkcije kotangens Funkcija f(x)= ctg (x) ima sljedeća svojstva: 1. Nultočke funkcije su π/2 + kπ, kЄZ. 2 Vertikalne asimptote funkcije su pravci x = kπ, kЄZ. 3. Na intervalu [0,π] tijek funkcije je: x ctg (x) π/2 π 4. Funkcija je periodična s periodom π.