Proiect Titlu: Aplicatii ale determinanatilor in geometrie Profesor: Fetea Liuta Disciplina: Matematica Unitatea: Determinanti Scoala: Grup Scolar” Liviu Rebreanu”, Hida Clasa: a XI-a MI

GRUPA 1 Boldor Raluca Clitan Diana Fetea Paula Mastan Cornel Morar Andreea Muresan Andrei

APLICAŢII ALE DETERMINANŢILOR ÎN GEOMETRIE ECUAŢIA DREPTEI

Aplicatiile determinantilor 1.ecuatia unei drepte 2.coliniaritatea a trei puncte 3. calculul ariei unui triunghi

Ecuatiile unei drepte

Forma generală a ecuaţiei unei drepte este: ax+ by+ c = 0

Determinarea pantei unei drepte pornind de la ecuatia generala m = -a / b Paralelismul unor drepte doua drepte d1 şi d2 sunt paralele dacă m1 = m2 . Perpendicularitatea unor drepte -Două drepte d1 şi d2 sunt perpendiculare dacă m1*m2 = -1 .

Ecuaţia dreptei în acest caz este: Y - y1 = m (x - x1 ) Ecuaţia dreptei determinată de punct şi pantă. Considerăm dreapta d determinată de un punct A (x1 , y1) şi panta ei m= tg a Ecuaţia dreptei în acest caz este: Y - y1 = m (x - x1 )

Ecuaţia dreptei determinată de două puncte distincte. Considerăm dreapta d determinată de punctele A (x1 , y1) şi B (x2 , y2). Ecuaţia dreptei este :

Pornind de la ecuaţia dreptei determinată de două puncte distincte vom găsi o altă formă a ecuaţiei determinată de două puncte distincte şi anume o ecuaţie sub formă de determinant:

Fie punctele A (x1 , y1) şi B (x2 , y2) şi ecuaţia dreptei determinată de cele două puncte Aducând la numitor comun obţinem o formă echivalentă a ecuaţiei:

Această scriere sugerează utilizarea determinantului Scriere care provine din determinantul de ordin 3 , în care se scade L2 din celelalte şi se dezvoltă după C3

Se dau punctele B(-1,1), C(3,5) Scrieti, ecuatia dreptei BC:  x y 1 -1 1 1 = x + 3y – 5 – 3 – 5 x + y = 3 4 5 = - 4x+4y=5 Rezolvare: BC:4y-4x-5=0

TEOREMĂ Fie punctele A (x1 , y1) şi B (x2 , y2). Atunci ecuaţia dreptei AB sub formă de determinant este:

Un punct M (x ,, y) aparţine unei drepte dacă coordonatele lui verifică ecuaţia dreptei. Consecinţă : Trei puncte A (x1 , y1) , B (x2 , y2) şi C (x3, y3) sunt coliniare dacă şi numai dacă :

Coliniaritatea punctelor Se dau 3 puncte: A(-2, 5); B(2, -3); C(-1, 4);. Sa se determine daca sunt coliniare. Intai, trecem coordonatele lor intr-un determinant: xa ya 1 xb yb 1 acesta trebuie sa fie =0 pt xc yc 1 ca punctele sa fie coliniare -2 5 1 2 -3 1 = 0→-2+(-3)+1+2∙4∙1+5∙1∙(-1)—1)∙(-3)∙1- -1 4 1 -4∙1∙(-2)-2∙5∙1=0? = 6+8-5-3+8-10= 4→ 4 ≠ 0→ A,B,C-nu sunt coliniare

Aria unui triunghi Sa se afle aria triunghiului care are coordonatele varfurilor: A (6,5); B(2,2);C(5,6).

APLICAŢII 1. Scrieţi ecuaţia dreptei determinată de punctele A(2 ,1) şi B(-4,-2). 2. Stabiliţi care din punctele C,D,E se află pe dreapta AB pentru A(1, 3) , B(-1, 9), C(1/3, 5), D(0, 5), E(0, 6). 3.Determinaţi m astfel încat punctele să fie coliniare A(1-m, 2), B(m, 0), C(1, 2m).

Rezolvare exercitii de la Aplicatii 1. X y 1 2 1 1 = x∙1∙1 + 2∙(-2)∙1 +y∙1∙(-4) -4 -2 1 – (-4)∙1∙1 – (-2)∙1∙x – 2∙y∙1= =x-4-4y+4+2x-2y= -6y+3x Ec dr. AB -6y+3x=0

Rezolvarea exercitiului 2 de la Aplicatii:

3. 1-m 2 1 m 0 1 = (1-m)∙0∙1+m∙2m∙1+2∙1∙1-1∙0∙1-2m∙1∙(1-m)- 1 2m 1 m∙2∙1= =1-m +2+2m2 -0- 2m(1-m) -2m = 1-m+2+2m2 –[2m-2m2]-2m= =3+4m2 -5m Determinantul, pentru ca punctele sa fie coliniare, trebuie sa fie egal cu 0 (zero) Asadar, 4m2-5m+3=0. avem o ecuatie de gradul II, ale carei solutii sunt: m1= (-b+Δ)/2a m2= -b-Δ/2a

Alte exemple

1.a)Se considera dreptele de ecuatii : d1: 2x+5y-7=0 si d2: 4x+10y+9=0. Sa se arate ca dreptele sunt paralele. d1 // d2 daca m1 // m2 => => d1: 5y= -2x+7 d2: 10y= -4x-9 b)Se considera dreptele de ecuatii : d1: 2x+5y-7=0 si d2: 4x+10y+9=0. Sa se arate ca dreptele sunt paralele. d1 // d2 daca m1 // m2

a)Calculati distanta de la A la B   2. Se dau punctele A(-8, -2) B(-10, 32) C(2, 2) a)Calculati distanta de la A la B d(A, B)

x – 3y – 4 =0 x – 3y = 4 ٠(-1) - x + 3y = -4 5y = 0 y=0 x + 2y = 4 3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se considerã triunghiul ABC determinat de dreptele de ecuaţii: (AB): x + 2y – 4 = 0; (BC): 3x + y – 2 = 0; (AC): x – 3y – 4 = 0. Sã se calculeze perimetrul triunghiului ABC. Rezolvare: Pentru a calcula perimetrul triunghiului format de cele trei puncte trebuie mai întâi sã le aflãm coordonatele, apoi distanţele dintre ele pe care le vom aduna. Pentru aceasta vom alcãtui trei sisteme de câte douã ecuaţii.   x + 2y – 4 = 0 x + 2y = 4 x + 2y = 4 x – 3y – 4 =0 x – 3y = 4 ٠(-1) - x + 3y = -4 5y = 0 y=0 x + 2y = 4 x + 2 ٠ 0 = 4 x = 4 A ( 4 , 0 )

3x + y – 2 = 0 3x + y = 2 ٠ (3) 9x + 3y = 6 x – 3y – 4 = 0 x – 3y = 4 x – 3y = 4   10x = 10 x = 1 3x + y = 2 3 + y = 2 y = 2 – 3 y = -1 C ( 1 , -1 )

x + 2y – 4 = 0 x + 2y = 4 ٠(-1) -x - 2y = -4 3x + y – 2 = 0 3x + y = 2 ٠(+2) 6x +2y = 4   5x = 0 x = 0 x + 2y = 4 0 + 2y = 4 2y = 4 y = 4 / 2 y = 2 B ( 0 , 2 )

Pentru a calcula distanţa dintre fiecare douã puncte utilizãm formula:   d(AB)= (xb - xa)2 + (yb-ya)2 A ( 4 , 0 ); B ( 0 , 2 ); C ( 1 , -1 ) d(AB)= (xb - xa)2 + (yb-ya)2 = (0 - 4)2 + (2 - 0)2 = 16 +4 = 20 = 4,47 d(BC)= (xc - xb)2 + (yc - yb )2 = (1 - 0)2 + (-1 - 2)2 = 1 + 9 = 10 = 3,16 d(AC)= (xc – xa)2 + (yc – ya )2 = ( 1– 4)2 + (–1 – 0)2 = 9 + 1 = 10 PABC = 4,47 + 3,16 + 3,16 = 10,79