Φροντιστήριο : Ασκήσεις στην δυναμική διεργασιών Εαρινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκού Έτους 2016-2017 ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΡΥΘΜΙΣΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Σημειώσεις Μαθήματος Φροντιστήριο : Ασκήσεις στην δυναμική διεργασιών Σταύρος Παύλου- Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας

Βασικά απλά μοντέλα Μεταφορά θερμότητας: Ρυθμός Αντίδρασης: Ογκομετρική Παροχή: Καταστατική εξίσωση PVT: Ισορροπία φάσεων:

Συναρτήσεις Μεταφοράς: συμβάσεις & συμβολισμοί Συναρτήσεις Μεταφοράς: συμβάσεις & συμβολισμοί － πάνω από μεταβλητή = τιμή μεταβλητής σε μόνιμη κατάσταση Κεφαλαίο Σύμβολο = μεταβλητή απόκλισης Κεφαλαίο Σύμβολο + (s)= μετασχηματισμός Laplace : MV & CV: Μεταβλητή χειρισμού και ρυθμίσιμη μεταβλητή ονομαστική τιμή του

Συναρτήσεις Μεταφοράς

Συναρτήσεις Μεταφοράς Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 1/9 Συναρτήσεις Μεταφοράς Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 1/9 Ts Μεταβλητές εισόδου: f(t), Ti(t), Ts Μεταβλητές εξόδου: T(t) Χωρίς επίδραση της Θερμοκρασίας Περιβάλλοντος

Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 2/9 Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 2/9 Ρυθμός εισόδου Ρυθμός εξόδου Συσσώρευση Ισοζύγιο θερμότητας

Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 3/9 Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 3/9 Αν η f παραμένει σταθερά  V= constant, Cv=Cp Για τις τιμές των παραμέτρων: Με αρχική κατάσταση:

Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 4/9 Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 4/9 Σε μόνιμη κατάσταση 1 2 :

Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 5/9 Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 5/9 Αν ορίσουμε τις μεταβλητές απόκλισης, έχουμε Η απόκριση μίας διεργασίας πρώτης τάξης σε βηματική μεταβολή στην μεταβλητή εισόδου Όπου =time constant

Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 6/9 Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 6/9   Όπου Gp(s) είναι η συνάρτηση μεταφοράς της διεργασίας. block diagram: Gp(s) i(s) (s)

Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 7/9 Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 7/9 Αν επιβάλλουμε βηματική αλλαγή    

Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 8/9 Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 8/9 Οριακές καταστάσεις Θεώρημα Τελικής Τιμή

Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 9/9 Παράδειγμα: Θερμική διεργασία 9/9 Mέθοδος του 63.2% Mέθοδος της αρχικής κλίσης Λογαριθμική απεικόνιση

Συναρτήσεις Μεταφοράς

Παράδειγμα: Θερμόμετρο Υδραργύρου Ένα θερμόμετρο υδραργύρου καταγράφει μια θερμοκρασία στους 75F. Ξαφνικά τοποθετείται στους 400F σε λουτρό πετρελαίου Τα παρακάτω δεδομένα ελήφθησαν Time (sec) 1 2.5 5 8 10 15 30 Temp. (F) 75 107 140 205 244 282 328 385 Υπολογίστε την χρονική σταθερά της θερμοκρασίας χρησιμοποιώντας Τη μέθοδο της αρχικής κλίσης Τη μέθοδο 63.2% Από γραφική παράσταση log(400-T) vs time

Λύσεις (1): =9sec (2): (400-75)x0.632+75=280 τ=10sec (3):

Συναρτήσεις Μεταφοράς

Συναρτήσεις Μεταφοράς Παράδειγμα: Θερμική διεργασία με επίδραση της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος 1/7 Ts(t) Μεταβλητές εισόδου: f(t), Ti(t), Ts(t) Μεταβλητές εξόδου: T(t) Χωρίς επίδραση της Θερμοκρασίας Περιβάλλοντος

Θερμική διεργασία με επίδραση της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος 2/7 Σε μόνιμη κατάσταση

Θερμική διεργασία με επίδραση της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος 3/7 Αν αφαιρέσουμε την (1) – (2)

Θερμική διεργασία με επίδραση της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος 4/7   Gp1(s) Gp2(s) + i(s) s(s) (s) Σ block diagram:

Θερμική διεργασία με επίδραση της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος 5/7 Τυπικές τιμές

Θερμική διεργασία με επίδραση της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος 6/7

Θερμική διεργασία με επίδραση της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος 7/7 Μεταβλητές απόκλισης Η απόκριση ενός συστήματος 1ης τάξης σε βηματική μεταβολή της μεταβλητής εισόδου

Συναρτήσεις Μεταφοράς

Παράδειγμα: Μεταβολή της Παροχής Inputs: f(t), Ti(t),Ts(t) Output: T(t) Ts Ρυθμός εισόδου Ρυθμός εξόδου Συσσώρευση

Μεταβολή της Παροχής

Μεταβολή της Παροχής block diagram Gp1(s) i(s) + Gp2(s) (s) Σ s(s)   Gp1(s) Gp2(s) + i(s) s(s) (s) Σ Gp3(s) F(s) block diagram

Μεταβολή της Παροχής

Μη γραμμικότητα

Επίδραση της μη – γραμμικότητας Οι πραγματικές διεργασίες είναι κατά βάση γραμμικές Τα προσεγγιστικά γραμμικά μοντέλα είναι βάσιμα μόνο τοπικά, σε μια περιοχή του σημείου λειτουργίας Σε ορισμένες περιπτώσεις, η μη γραμμικότητα της διεργασίας μπορεί να είναι καθοριστική στην ποιότητα ελέγχου (π.χ. Στήλη υψηλής καθαρότητας) Η μη γραμμικότητα της διεργασίας παίζει σημαντικό ρόλο στον ποιοτικό έλεγχο των συστημάτων ρύθμισης

Διεργασία Ατμού

Διεργασία Ατμού

Διεργασία Ατμού

Διεργασία Ατμού K1 Mi(s) block diagram s+1 + - P(s) K2 Σ Mo(s)  s+1

Διεργασία Ατμού

Διεργασία Ατμού

Χρονο-υστέρηση

Αιτίες Νεκρού Χρόνου (Χρονουστέρησης) Καθυστέρηση μεταφοράς (μακριές σωληνώσεις) Δειγματοληψία κατάντι της διεργασίας Αργή συσκευή μέτρησης: GC Μεγάλος αριθμός σταθερών χρόνου πρώτης τάξης σε σειρά (π.χ. Αποστακτική στήλη) Καθυστερήσεις δειγματοληψίας λόγω ρύθμισης από Η/Υ

Αποτελέσματα Νεκρού Χρόνου Διεργασίες με μεγάλο νεκρό χρόνο (σε σχέση με τη σταθερά χρόνου της διεργασίας) είναι δύσκολο να ελεγχθούν με απλή ανάδραση: Τα αποτελέσματα των διαταραχών δεν φαίνονται στο ρυθμιστή για λίγο Το αποτέλεσμα της ρύθμισης δεν φαίνεται στην έξοδο για λίγο . Ο ρυθμιστής λαμβάνει υπ’ όψιν μη αναγκαία στοιχεία Αυτό οδηγεί σε ένα βρόχο ο οποίος εγγενώς θα έχει περιορισμούς στη ρύθμιση

Παράδειγμα: Χρονικές Καθυστερήσεις Παράδειγμα: Χρονικές Καθυστερήσεις Οι χρονικές υστερήσεις εν γένει οδηγούν σε ΜΗ ρεαλιστικές συναρτήσεις μεταφοράς. Μια συχνή μέθοδος είναι να προσεγγίσουμε την υστέρηση με μία κατάλληλη πραγματική έκφραση. Μια τέτοια προσέγγιση είναι η εξής Το k καθορίζει την ακρίβεια της προσέγγισης.

Συναρτήσεις Μεταφοράς και Διάγραμμα Βαθμίδων Θεωρήστε μια γενική συνάρτηση μεταφοράς για μια είσοδο X(s) και μία έξοδο Y(s): Η ανωτέρω έκφραση έχει γενική ισχύ ωστόσο χρειάζεται πολλά «μαθηματικά» όταν χρησιμοποιείται

Νεκρός Χρόνος

Νεκρός Χρόνος Χρόνος καθυστέρησης: Στοιχείο Μετατόπισης

Νεκρός Χρόνος Απόκριση της διεργασίας σε μια βηματική μεταβολή στην θερμοκρασία εισόδου

Παράδειγμα: Μη-γραμμικότητας & Χρονουστέρηση - Χημικός Αντιδραστήρας Ισοθερμοκρασιακός χημικός αντιδραστήρας καλής ανάμιξης k = κινητική σταθερά αντίδρασης, m3/kmoles-s CA(t) = συγκέντρωση του συστατικού Α στον αντιδραστήρα, kmoles σε Α/m3

Χημικός Αντιδραστήρας Γραμμικοποίηση - ανάπτυξη Taylor

Χημικός Αντιδραστήρας

Χημικός Αντιδραστήρας Block diagram

Διαγράμματα Βαθμίδων

Αλγεβρικοί κανόνες σε Block Diagrams   - +   + -   - +  

Αλγεβρικοί κανόνες σε Block Diagrams   G1(s) G2(s)   G2(s) G1(s)   G1(s)G2(s)  

Αλγεβρικοί κανόνες σε Block Diagrams   G1(s)   + - G1(s)   + -

Αλγεβρικοί κανόνες σε Block Diagrams   G1(s) G2(s)   + G1(s)+G2(s)  

Αλγεβρικοί κανόνες σε Block Diagrams   G1(s) G2(s)   +  

Αλγεβρικοί κανόνες σε Block Diagrams   G1(s) G2(s)   + -  

Αλγεβρικοί κανόνες σε Block Diagrams G1(s) G2(s) + - G3(s) G4(s) X1(s) Y(s) X2(s) Y1(s) Y3(s) Y2(s)

Αλγεβρικοί κανόνες σε Block Diagrams

Αλγεβρικοί κανόνες σε Block Diagrams

Αλγεβρικοί κανόνες σε Block Diagrams + L(s) Cset(s)   C(s) G5(s)G4(s) G1(s)

Αλγεβρικοί κανόνες σε Block Diagrams + L(s) Cset(s)  

Τέλος διάλεξης