ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 2 Νόμοι στα ηλεκτρικά κυκλώματα ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 2 Νόμοι στα ηλεκτρικά κυκλώματα ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Πρόβλημα 2-1 (Άσκηση 2, Κεφ. 2, σελ. 55, Κ Πρόβλημα 2-1 (Άσκηση 2, Κεφ. 2, σελ. 55, Κ. Παπαδόπουλου ‘Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων’) Να υπολογιστεί η ισχύς που παράγει ή καταναλώνει η εξαρτημένη πηγή ρεύματος στο παρακάτω κύκλωμα (Σχήμα 2-17, σελ. 55, Κ. Παπαδόπουλου ‘Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων’) Λύση Το κύκλωμα περιλαμβάνει 2 κόμβους, τους Α και Β (μπορεί να φανεί καλύτερα στην ισοδύναμη παράσταση από κάτω). Τα ρεύματα στον κόμβο Α είναι 100mA, 2∙ 𝐼 x , 𝐼 x και έστω 𝐼 1 είναι το ρεύμα στην αντίσταση 20 Ω. Εφαρμόζοντας το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff (π.χ., στον κόμβο Α) παίρνουμε την εξίσωση : 100𝑚𝐴+ 𝐼 1 + 𝐼 x +2∙ 𝐼 x =0 100𝑚𝐴+ 𝐼 1 +3∙ 𝐼 x =0 𝐼 1 +3∙ 𝐼 x =−100𝑚𝐴 (1) 𝐼 x 𝟐∙ 𝑰 𝐱 𝐼 1 A B 𝐼 x A B 𝟐∙ 𝑰 𝐱 𝐼 1 (συνεχίζεται . . . )

𝑃 5𝐴 = 𝑉 𝐴𝐵 ∙ 2∙ 𝐼 x = −0.8 𝑉 2∙ −0.02 𝐴 =0.032 W=32 mW Λύση (. . . Συνέχεια) 𝐼 x A B 𝟐∙ 𝑰 𝐱 Από την εξίσωση (1), 𝐼 1 +3∙ 𝐼 x =−100𝑚𝐴 χρησιμοποιώντας το νόμο του Ohm, εκφράζουμε τα ρεύματα 𝐼 1 και 𝐼 x των αντιστάσεων συναρτήσει της τάσης 𝑉 𝐴𝐵 του κυκλώματος: 𝑉 𝐴𝐵 20 +3∙ 𝑉 𝐴𝐵 40 =−100𝑚𝐴⇒ 𝑉 𝐴𝐵 =−0.8 V   V 𝐴𝐵 𝐼 1 Το ρεύμα 𝐼 x είναι 𝐼 x = 𝑉 𝐴𝐵 40 Ω = −0.8 V 40 Ω =−0,02 𝐴=−20 𝑚𝐴 Γνωρίζοντας την τάση και το ρεύμα, υπολογίζουμε την ισχύ της εξαρτημένης πηγής ρεύματος. Η πηγή ρεύματος καταναλώνει ισχύ (γιατί;) 𝑃 5𝐴 = 𝑉 𝐴𝐵 ∙ 2∙ 𝐼 x = −0.8 𝑉 2∙ −0.02 𝐴 =0.032 W=32 mW

Το κύκλωμα έχει 4 κόμβους, Α, Β, Γ και Δ. Πρόβλημα 2-2 (Άσκηση 3, Κεφ. 2, σελ. 55, Κ. Παπαδόπουλου ‘Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων’) Να υπολογιστούν τα ρεύματα 𝐼 x και 𝐼 𝑦 στο παρακάτω κύκλωμα (Σχήμα 2-18, σελ. 55, Κ. Παπαδόπουλου ‘Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων’) A Λύση Το κύκλωμα έχει 4 κόμβους, Α, Β, Γ και Δ. Εφαρμόζοντας το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Α, παίρνουμε την εξίσωση: 2∙ 𝐼 x + 𝐼 y =100𝑚𝐴 (1) Στον κόμβο B έχουμε: 𝐼 y = 𝐼 x + 𝐼 1 (2) 𝐼 y 𝐼 x 2∙𝐼 x 𝐼 1 Γ Δ   B   Υπάρχουν 3 άγνωστα ρεύματα ( 𝐼 x , 𝐼 y και 𝐼 1 ) και έχουμε μόνο 2 εξισώσεις. Χρειαζόμαστε 1 εξίσωση ακόμη την οποία παίρνουμε από το νόμο τάσεων του Kirchhoff για τον κατώτερο βρόχο ΓΒΔΓ 10 𝐼 1 −20 𝐼 x =0 ⇒ 𝐼 1 =2 𝐼 x (3) (συνεχίζεται . . . )

Έχουμε το σύστημα των 3 εξισώσεων 2∙ 𝐼 x + 𝐼 y =100𝑚𝐴 (1) Λύση (. . . συνέχεια) A 𝐼 y 𝐼 x 2∙𝐼 x Έχουμε το σύστημα των 3 εξισώσεων 2∙ 𝐼 x + 𝐼 y =100𝑚𝐴 (1) 𝐼 y = 𝐼 x + 𝐼 1 (2) 𝐼 1 =2 𝐼 x (3) Αντικαθιστώντας το 𝐼 1 από τις (3) στη (2), παίρνουμε 𝐼 y = 𝐼 x + 2𝐼 x ⇒ 𝐼 y = 3𝐼 x (4) και αντικαθιστώντας το 𝐼 y από την (4) στην (1), έχουμε 𝐼 1 Γ Δ B 2∙ 𝐼 x + 3∙𝐼 x =100𝑚𝐴 ⇒ 5∙𝐼 x =100𝑚𝐴 ⇒ 𝑰 𝒙 =𝟐𝟎𝒎𝑨 και από την (4), 𝑰 𝒚 =𝟔𝟎 𝒎𝑨

Το κύκλωμα έχει 1 απλό βρόχο. Πρόβλημα 2-3 (Άσκηση 4(α), Κεφ. 2, σελ. 55, Κ. Παπαδόπουλου ‘Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων’) Να υπολογιστούν τα ρεύματα 𝐼 x και 𝐼 𝑦 στο παρακάτω κύκλωμα (Σχήμα 2-19, σελ. 55, Κ. Παπαδόπουλου ‘Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων’) A B Λύση Το κύκλωμα έχει 1 απλό βρόχο. Έστω 𝐼 το ρεύμα του βρόχου. Το υπολογίζουμε εφαρμόζοντας το νόμο τάσεων του Kirchhoff     𝑰     Γ Δ 10−100∙𝐼−300∙𝐼−20−200∙𝐼−200∙𝐼=0 ⇒ −10 −800∙𝐼=0⇒𝐼=−0.0125 𝐴 Μπορούμε να υπολογίσουμε τη ζητούμενη τάση V x εφαρμόζοντας το νόμο των τάσεων του Kirchhoff με δύο τρόπους: 1ος τρόπος: γράφουμε το νόμο για τη διαδρομή ΑΒΓΔΑ (ώστε να διατρέχουμε την άγνωστη τάση V x ) −300∙𝐼−20−200∙𝐼+ 𝑉 x =0 ⇒ 𝑉 x =20+500∙𝐼 ⇒ 𝑉 x =20+500 −0.0125 =𝟏𝟑.𝟕𝟓 𝑽 (συνεχίζεται . . . )

Λύση ( . . . συνέχεια) 2ος τρόπος: γράφουμε το νόμο των τάσεων ξεκινώντας από το σημείο Α και καταλήγοντας στο σημείο Β, ως εξής 𝑉 Α −300∙𝐼−20−200∙𝐼= 𝑉 B 𝑉 Α − 𝑉 B =300∙𝐼+20+200∙𝐼 𝑉 ΑB =500∙𝐼+20 𝑽 𝒙 =𝟏𝟑.𝟕𝟓 𝑨

Το κύκλωμα έχει μόνο έναν κλειστό βρόχο, τον ΑΒΓΔΑ. Πρόβλημα 2-4 (Άσκηση 4(β), Κεφ. 2, σελ. 55, Κ. Παπαδόπουλου ‘Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων’) Να υπολογιστούν τα ρεύματα 𝐼 x και 𝐼 𝑦 στο παρακάτω κύκλωμα (Σχήμα 2-20, σελ. 55, Κ. Παπαδόπουλου ‘Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων’) Δ A Λύση Το κύκλωμα έχει μόνο έναν κλειστό βρόχο, τον ΑΒΓΔΑ. Η ζητούμενη τάση 𝑉 x ισούται με την τάση 𝑉 AB (γιατί;): 𝑉 AB = 𝑉 x (1) Έστω 𝐼 το ρεύμα του βρόχου (CCW). Το ρεύμα αυτό είναι το ρεύμα της πηγής ρεύματος 0.2∙ 𝑉 x 𝐼=0.2∙ 𝑉 x (2) 𝑉 x 𝟎.𝟐∙𝑽 𝐱   𝑰 𝑉 AB Γ   B Εφαρμόζουμε νόμο των τάσεων του Kirchhoff στον κλειστό βρόχο (π.χ. ξεκινώντας από το A και διατρέχοντας αριστερόστροφα, όπως το ρεύμα): −10∙𝐼−10−20∙𝐼+ 𝑉 AB =0 −30∙𝐼+ 𝑉 AB =10 Αντικαθιστώντας το ρεύμα 𝐼 και την τάση 𝑉 ΑΒ από τις (1) και (2), παίρνουμε: −30∙0.2∙ 𝑉 x + 𝑉 x =10 ⇒−5∙ 𝑉 x =10 ⇒ 𝑽 𝒙 =−𝟐 𝑽

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Πρόβλημα 2-5 (Άσκηση 1, Κεφ. 2, σελ. 54, Κ. Παπαδόπουλου ‘Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων’) Να υπολογιστούν οι τάσεις στα άκρα των αντιστάσεων, το ρεύμα που τις διαρρέει και η ισχύς όλων των στοιχείων των κυκλωμάτων (α) – (δ) (α) (β) 𝟓𝟎∙𝑰 𝑰 𝟓𝟎∙𝑰 𝑰 (γ) (δ) Απαντήσεις (α) 𝐼=2𝑚𝐴 (𝐶𝐶𝑊), 𝑉 1𝑘 =2𝑉, 𝑉 4𝑘 =8𝑉, 𝑃 10𝑉 =−20𝑚𝑊, 𝑃 20𝑉 =+40𝑚𝑊, 𝑃 1𝑘 =−4𝑚𝑊, 𝑃 4𝑘 =−16𝑚𝑊 (β) 𝐼=6𝑚𝐴 (𝐶𝑊), 𝑉 1𝑘 =6𝑉, 𝑉 4𝑘 =24𝑉, 𝑃 10𝑉 =+60𝑚𝑊, 𝑃 20𝑉 =+120𝑚𝑊, 𝑃 1𝑘 =−36𝑚𝑊, 𝑃 4𝑘 =−144𝑚𝑊 (γ) 𝐼=25𝑚𝐴 (𝐶𝑊), 𝑉 100 =2.5𝑉, 𝑉 250 =6.25𝑉, 𝑃 10𝑉 =+250𝑚𝑊, 𝑃 50∙𝐼 =−31.25𝑚𝑊, 𝑃 100 =−62.5𝑚𝑊, 𝑃 250 =−156.25𝑚𝑊 (δ) 𝐼=33.3𝑚𝐴 (𝐶𝑊), 𝑉 100 =3.33𝑉, 𝑉 250 =8.33𝑉, 𝑃 10𝑉 =+333𝑚𝑊, 𝑃 50∙𝐼 =+55.5𝑚𝑊, 𝑃 100 =−111𝑚𝑊, 𝑃 250 =−278𝑚𝑊

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 𝑉 2 𝐼 5 𝑉 5 𝑉 1 Πρόβλημα 2-6 (Πρόβλημα 2.5, σελ. 48, J.W. Nilsson & S.A. Riedel “Electric Circuits” ISBN 0-13-127760-X, Pearson) Για το κύκλωμα, που δείχνεται παρακάτω, υπολογίστε τα (α) 𝐼 5 , (β) 𝑉 1 , (γ) 𝑉 2 , (δ) 𝑉 5 και (ε) την ισχύ που παρέχεται από την πηγή 24 V. 𝑉 2 𝑉 5 𝑉 1 𝐼 5 Απαντήσεις (α) 𝐼 5 =2𝐴 (𝐶𝑊) (β) 𝑉 1 =4𝑉 (γ) 𝑉 2 =6𝑉 (δ) 𝑉 5 =14𝑉 (ε) 𝑃 24𝑉 =48𝑊

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 𝐼 2 𝐼 1 𝑉 𝑜 Πρόβλημα 2-7 (Πρόβλημα 2.14, σελ. 58, J.W. Nilsson & S.A. Riedel “Electric Circuits” ISBN 0-13-127760-X, Pearson) Δεδομένου του παρακάτω κυκλώματος, βρείτε: (α) την τιμή του 𝐼 1 , (β) την τιμή του 𝐼 2 , (γ) την τιμή του 𝑉 𝑜 , (δ) την ισχύ που καταναλώνεται στην κάθε αντίσταση και (ε) την ισχύ που παράγεται από την πηγή 200V. 𝐼 2 + _ 𝐼 1 𝑉 𝑜 Απαντήσεις (α) 𝐼 1 =400𝑚𝐴 (β) 𝐼 2 =1.6𝐴 (γ) 𝑉 𝑜 =120𝑉 (δ) 𝑃 300 =48𝑊, 𝑃 75 =192𝑊, 𝑃 40 =160𝑊 (ε) 𝑃 200𝑉 =400𝑊

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 𝐼 𝑎 𝐼 𝑜 𝐼 𝑔 Πρόβλημα 2-8 (Πρόβλημα 2.15, σελ. 58, J.W. Nilsson & S.A. Riedel “Electric Circuits” ISBN 0-13-127760-X, Pearson) Το ρεύμα 𝐼 𝑎 , στο κύκλωμα που δείχνεται παρακάτω, είναι 20 A. Βρείτε: (α) το 𝐼 𝜊 , (β) το 𝐼 𝑔 και (γ) την ισχύ που παρέχεται από την ανεξάρτητη πηγή ρεύματος. 𝐼 𝑎 𝐼 𝑜 𝐼 𝑔 Απαντήσεις (α) 𝐼 𝑜 =80𝐴 (β) 𝐼 𝑔 =100𝐴 (γ) 𝑃 𝐼 𝑔 =80𝑘𝑊

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Πρόβλημα 2-9 (Πρόβλημα 2.9, σελ. 53, J.W. Nilsson & S.A. Riedel “Electric Circuits” ISBN 0-13-127760-X, Pearson) Για το κύκλωμα που δείχνεται παρακάτω, βρείτε: (α) το ρεύμα 𝐼 1 σε microamperes, (β) την τάση 𝑉 σε volts, (γ) την ολική παραγόμενη ισχύ και (δ) την ολική ισχύ που καταναλώνεται. 𝐼 1 + 𝑽 − 30∙𝐼 1 Απαντήσεις (α) 𝐼 1 =25 𝜇𝐴 (β) 𝑉=−2 V (γ) 𝑃 𝑇 =6150 𝜇𝑊 (δ) 𝑃 𝑇 =6150 𝜇𝑊

(β) την ισχύ που απορροφάται από την ανεξάρτητη πηγή τάσης, Πρόβλημα 2-10 (Πρόβλημα 2.10, σελ. 53, J.W. Nilsson & S.A. Riedel “Electric Circuits” ISBN 0-13-127760-X, Pearson) Το ρεύμα 𝐼 𝜑 , στο κύκλωμα που δείχνεται παρακάτω, είναι 2 Α. Υπολογίστε (a) τη τάση 𝑉 𝑠 , (β) την ισχύ που απορροφάται από την ανεξάρτητη πηγή τάσης, (γ) την ισχύ που αποδίδεται από την ανεξάρτητη πηγή ρεύματος, (δ) την ισχύ που αποδίδεται από την εξαρτημένη πηγή ρεύματος, (ε) την ισχύ που καταναλώνεται στις δύο αντιστάσεις. 𝐼 𝜑 2∙𝐼 𝜑 𝑉 𝑠 Απαντήσεις (α) 𝑉 𝑠 =70 𝑉 (β) 𝑃 𝑉 𝑠 =210 𝑊 (γ) 𝑃 5𝐴 =300 𝑊 (δ) 𝑃 2∙ 𝐼 𝜑 =40 𝑊 (ε) 𝑃=130 𝑊