Εργασία 2η: Δραστηριότητα από την Α΄ Λυκείου (Γεωμετρία) Κατσανού Μαρία Α.Μ.: Δ201718

Δραστηριότητα Δύο σταθεροί κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά ενώ ένας τρίτος κύκλος μεταβάλλεται έτσι ώστε να εφάπτεται στον μεγαλύτερο εσωτερικά και στον μικρότερο εξωτερικά. Να δείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου που έχει κορυφές τα κέντρα των τριών κύκλων είναι σταθερή και ίση με τη διάμετρο του μεγαλύτερου κύκλου. Σε αυτή την δραστηριότητα ζητείται από τους μαθητές, αρχικά, να κατασκευάσουν το σχήμα. Μέσα από αυτή την διαδικασία, εμπλέκονται σε έννοιες, κάνουν υποθέσεις, χρησιμοποιούν ιδιότητες και θεωρήματα.

Κατασκευή Ζητείται από τους μαθητές να κατασκευάσουν σε ομάδες, χρησιμοποιώντας περιβάλλον δυναμικής γεωμετρίας, το σχήμα για το οποίο γίνεται αναφορά στην δραστηριότητα. Μετά από μετακίνηση του κέντρου του κύκλου (Ε,ΕΔ), διαπιστώνεται ότι το σχήμα δεν έχει σχεδιαστεί σύμφωνα τις απαραίτητες ιδιότητες, και γι’ αυτό το λόγο , ο κύκλος δεν συνεχίζει να εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο (Γ, ΓΒ).

Ελεγχόμενη κατασκευή Κύκλος με κέντρο Α και ακτίνα ΑΒ.

Ελεγχόμενη κατασκευή Από εξωτερικό σημείο Γ φέρουμε εφαπτόμενες στον κύκλο, που τον τέμνουν στα σημεία Ε, Δ. Θεωρήματα: Από σημείο Γ εξωτερικό του κύκλου, φέρονται δύο εφαπτόμενες του κύκλου. Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού, είναι ίσα.

Ελεγχόμενη κατασκευή Φέρουμε ευθεία, η οποία διέρχεται από το Γ και τέμνει τον κύκλο στο σημείο Β. Φέρουμε τις ευθείες ΑΕ και ΑΔ. Θεώρημα: Οι ΑΕ, ΑΔ είναι κάθετες στις ΓΕ, ΓΔ αντίστοιχα.

Ελεγχόμενη κατασκευή Φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών Δ Γ Β και Β Γ Ε. Θεωρήματα: Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της. Η διακεντρική ευθεία διχοτομεί την γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων.

Ελεγχόμενη κατασκευή Φέρουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΖΗ. Συμπέρασμα: Το ευθύγραμμο τμήμα ΖΗ είναι κάθετο στην ευθεία ΓΒ.

Ελεγχόμενη κατασκευή Αφού το Ζ είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας Δ Γ Β, τότε: ΖΔ=ΖΘ. Άρα κατασκευάζουμε τον κύκλο (Ζ, ΖΘ). Αφού το Η είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας Β Γ Ε, τότε: ΗΕ=ΗΘ. Άρα κατασκευάζουμε τον κύκλο (Η, ΗΘ). Οι δύο αυτοί κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.

Επίλυση του προβλήματος Π = ΑΖ + ΖΗ + ΗΑ Πράξεις με ευθύγραμμα τμήματα. Σχετικές θέσεις δύο κύκλων. Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, άρα η διάκεντρος ισούται με το άθροισμα των ακτινών τους (δ = ΖΘ + ΗΘ). Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, άρα η διάκεντρος ισούται με την διαφορά των ακτινών τους (δ = ΑΕ - ΗΕ).

Μαθηματική δραστηριότητα χρήση εργαλείων και πηγών (Geogebra) ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσης προβλήματος (παρατήρηση, απόδειξη, αντίστροφη πορεία) δημιουργία εννοιολογικών συνδέσεων ανάπτυξη μαθηματικού συλλογισμού