Ροπή αδρανείας

Στη μεταφορική κίνηση αιτία για την αλλαγή της κινητικής κατάστασης του στερεού είναι η _ _ _ _. δύναμη Στην περιστροφική κίνηση αιτία για την αλλαγή της κινητικής κατάστασης του στερεού είναι η _ _ _ _ _ _. ροπή δύναμης Στη μεταφορική κίνηση μέτρο της αδράνειας του στερεού είναι η ………… του. μάζα Στην περιστροφική κίνηση μέτρο της αδράνειας του στερεού είναι _ _. ;

. Ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς κάποιον άξονα z' z υ1 υ2 . r1 r2 m1 m2 Ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς κάποιον άξονα ονομάζουμε το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί το τετράγωνο των αποστάσεών τους από τον άξονα περιστροφής.

Και τι εκφράζει η ροπή αδράνειας ενός στερεού; Η ροπή αδράνειας ως προς κάποιον άξονα είναι το μέτρο της αντίστασης του στερεού στις μεταβολές της περιστροφικής του κίνησης γύρω από τον άξονα αυτό. Όπως η μάζα είναι μέτρο της αδράνειας του σώματος στην αλλαγή της μεταφορικής κατάστασης του σώματος.

Παρατηρήσεις με τον άξονα. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού εξαρτάται από τη μάζα του στερεού, τη θέση του άξονα περιστροφής και την κατανομή της μάζας του σε σχέση με τον άξονα. Έτσι, για το ίδιο στερεό η ροπή αδράνειας εξαρτάται από τον άξονα ως προς τον οποίο αναφέρεται.

Δηλαδή, ποιο έχει μεγαλύτερη ροπή αδράνειας, αν έχουν ίδια μάζα; (β) (α) Το (α)

Θεώρημα παράλληλων αξόνων (Θεώρημα Steiner) Jacob Steiner 1796-1863 Ελβετία

IΡ = Icm+m.d 2 Θεώρημα παράλληλων αξόνων z IΡ = Icm+m.d 2 d cm Ρ z' Το θεώρημα του Steiner μας εξυπηρετεί να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας σώματος ως προς άξονα που δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας (cm) του σώματος.

Βασικά συμπεράσματα Η ροπή αδρανείας Ιcm είναι η μικρότερη ροπή αδρανείας ως προς οποιονδήποτε άλλον παράλληλο άξονα Μεταξύ 2 παράλληλων αξόνων τη μικρότερη ροπή αδρανείας έχει ο πλησιέστερος στο άξονα που διέρχεται από το cm

Ροπή αδρανείας υλικού σημείου

Υπολογισμός της Ροπής αδράνειας συστήματος σωμάτων. Υπολογίζουμε τη ροπή αδράνειας για κάθε σώμα ως προς τον άξονα περιστροφής που έχουμε επιλέξει. Προσθέτουμε αριθμητικά όλες τις επιμέρους ροπές αδράνειας.

Ροπή αδρανείας υλικών σημείων

Ροπή αδρανείας στερεού σώματος

Ροπή αδρανείας συστήματος σωμάτων

από στοιχειώδεις μάζες m1, m2, … ισαπέχουν από το κέντρο του. Ροπή αδρανείας δακτυλίου ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο του Ο δακτύλιος αποτελείται από στοιχειώδεις μάζες m1, m2, … που όλες ισαπέχουν από το κέντρο του.

Ροπή αδρανείας στερεού μετά από αφαίρεση τμήματος του

Ι = mR2 Ι = ½m (R12+R22) Ι = ½mR2 Ι = 1/12m(a2 + b2 ) Ι = 2/5mR2 Ι = 1/12mL2 Ι = 1/3mL2 συμπαγής σφαίρα σφαιρική επιφάνεια

Περιπτώσεις υπολογισμού ροπής αδράνειας

Αβαρής ράβδος μήκους με σημειακές μάζες στα άκρα της, ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της. ℓ m z z′ Αβαρής ράβδος μήκους με σημειακές μάζες στα άκρα της, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. ℓ z z′ m

Ομογενής κυκλικός δίσκος μάζας Μ ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου και εφάπτεται σ’ αυτόν. z z′ O R cm

Εφαρμογές

δ. υποτετραπλασιάζεται. 1. Η ράβδος του παρακάτω σχήματος είναι αβαρής και οι μάζες m απέχουν το ίδιο από τον άξονα περιστροφής. Αν η απόσταση των μαζών από τον άξονα περιστροφής υποδιπλασιαστεί, η ροπή αδράνειας του συστήματος α. τετραπλασιάζεται. β. διπλασιάζεται. γ. υποδιπλασιάζεται. δ. υποτετραπλασιάζεται. Επαν. Ημερ. 2007

2. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος ως προς άξονα περιστροφής 2. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος ως προς άξονα περιστροφής α. είναι διανυσματικό μέγεθος. β. έχει μονάδα μέτρησης το 1Ν·m, στο S.I. γ. δεν εξαρτάται από την θέση του άξονα περιστροφής. δ. εκφράζει την αδράνεια του σώματος στην περιστροφική κίνηση. Επαν. Ημερ. 2010

Η μικρότερη ροπή αδράνειας είναι η α. Ι1. β. Ι2. γ. Ι3. δ. Ι4. 3. Η λεπτή ομογενής ράβδος του σχήματος έχει ροπή αδράνειας Ι1, Ι2, Ι3, Ι4 ως προς τους παράλληλους άξονες ε1, ε2, ε3, ε4 αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η μικρότερη ροπή αδράνειας είναι η α. Ι1. β. Ι2. γ. Ι3. δ. Ι4. Επαν. Ημερ. 2011

α. ΙΔΣ > ΙΔΚ. β. ΙΔΣ < ΙΔΚ. γ. ΙΔΣ = ΙΔΚ. 4. Δακτύλιος και δίσκος με οπή, η μάζα του οποίου είναι ομογενώς κατανεμημένη, όπως στο σχήμα, έχουν την ίδια μάζα και την ίδια ακτίνα. Α. Αν ΙΔΣ και ΙΔΚ οι ροπές αδράνειας του δίσκου και του δακτυλίου αντίστοιχα ως προς άξονες κάθετους στο επίπεδό τους που διέρχονται από τα κέντρα τους, τι ισχύει; α. ΙΔΣ > ΙΔΚ. β. ΙΔΣ < ΙΔΚ. γ. ΙΔΣ = ΙΔΚ. Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Εσπερ. 2004

γ. το ίδιο εύκολα και στις δύο περιπτώσεις. 5. Η ομογενής ράβδος AB του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα συμμετρίας (ξ) του σχήματος. Οι δύο σφαίρες Σ1, Σ2 μάζας m καθεμιά μπορούν να μετακινούνται κατά μήκος της ράβδου. Η ράβδος ξεκινά να περιστρέφεται α. πιο εύκολα στη θέση 1. β. πιο εύκολα στη θέση 2. γ. το ίδιο εύκολα και στις δύο περιπτώσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Εσπερ. 2008

Η ροπή αδράνειας της μάζας m1 ως προς τον άξονα z΄z είναι 6. Η οριζόντια ράβδος του σχήματος είναι αβαρής, η σημειακή μάζα m1 είναι τετραπλάσια από τη σημειακή μάζα m2, και το μήκος d2 είναι διπλάσιο από το μήκος d1. Το σύστημα περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον κατακόρυφο άξονα z΄z. Η ροπή αδράνειας της μάζας m1 ως προς τον άξονα z΄z είναι α. μεγαλύτερη από β. μικρότερη από γ. ίση με τη ροπή αδράνειας της μάζας m2 ως προς τον ίδιο άξονα. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Ομογ. 2009