Όμιλος: Δικτύωση κοινοτήτων μάθησης μαθηματικών ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Όμιλος: Δικτύωση κοινοτήτων μάθησης μαθηματικών Επιμέλεια: Σπάρου Χαρά

Εικασία Poincare

Με τι ασχολείται η εικασία Poincare; Ασχολείται με έναν κλάδο τον μαθηματικών,την τοπολογία.Τι ειναι ομως η τοπολογια; Αιώνες πριν,χάρη στον Euler,δημιουργήθηκε ο κλάδος αυτος,στον οποίο η γεωμετρία είναι πιο ασθενής,αυτο σημαίνει οτι,δύο σχήματα είναι ισοδύναμα αν έχουν την ίδια μορφη.Δεν υπάρχει δηλαδή καμία διαφορά ανάμεσα σε μια κηλίδα μελανιού και έναν δίσκο,ή ανάμεσα σε ένα τετράγωνο και έναν κύκλο.Η ιδιότητα αυτή να έχουν την ίδια μορφή εκφράζεται μαθηματικώς με την έννοια του ομοιομορφισμού.

Χάρη στην τοπολογία μπορούμε να κατασκευάσουμε εναν κύλινδρο από ενα χαρτί(ορθογώνιο παραλληλόγραμμο),απλά ενώνοντασ τις δυο του πλευρές.Αν το χαρτί αυτο είναι αρκετά μεγάλο μπορούμε επίσης να το στρίψουμε μια μισή στροφή πριν την ένωση,έτσι θα πάρουμε την διάσημη ταινία του Möbius.Είναι το το πιό απλό παράδειγμα μιας μη- προσανατολισμένης(δέχεται μια μόνο πλευρά) τοπολογικής πολλαπλότητας(αντικειμενα της τοπολογίας)

Τι είπε ο Poincare; Ο Poincare υποστήριξε οτι οποιδήποτε θεωρία κι αν μελετούσε ηταν απαραίτητη η βοήθεια της τοπολογίας για να κανει μελέτες καμπυλων,ολοκληρωμάτων και μη ομοιόμορφων συναρτήσεων δυο μεταβλητών και εν τέλει μεσω αυτης έθιξε ένα σημαντικό πρόβλημα της θεωρίας των ομάδων, την έρευνα των ομάδων που περιλαμβάνονται μεσα σε μια δεδομένη συνεχή ομάδα.

Τι έκανε ο Poincare;Πότε έγιννε γνωστό; Θέτοντας ως παράδειγμα τη παραμόρφωση μιας σφαιρας σε δακτύλιο,υποστήριξε ότι δεν ειναι δυνατόν να συμβει κάτι τετοιο δίχως να σκισουμε τη σφαιρα.Τότε πώς θα μπορούσαμε να περιγράψουμε και να χαραστηρίσουμε αυτές τις δύο διαφορετικές πολλαπλότητες;Η δημοσίευση το 1985 της Analysis situs θα σφραγισει το πεπρωμένο της σύγχρονης τοπολογίας.Ο Poincaré εκθέτει εκεί την ιδέα να συνδέσει στις πολλαπλότητες κάποιες σταθερές που δεν είναι πια αριθμοί αλλά πλήρεις αλγεβρικές δομές!Έτσι δημιουργει τη δομή της αλγεβρικής τοπολογίας.

Μέσω της Analysis situs καθορίζεται ποια στερεά σώματα ή πολλαπλότητες σε αφηρημένους μαθηματικούς χώρους άνω των 3 διαστάσεων,είναι ισοδύναμα απο τοπολογικής αποψης με μια σφαίρα και ποια όχι.

Η εικασία του Poincare μέσω της καθημερινότητας

Η εικασία Poincaré δηλώνει ότι: όλες οι συμπαγείς πολλαπλότητες διάστασης n=3 (ή περισσότερο)είναι ομοιομορφικές σε μια σφαίρα διάστασης n.

Κατά τη διάρκεια του 20ου αιώνα,πολλές εργασίες έχουν αφιερωθεί στην εικασία αυτή και το 1961-1962, η εικασία αποδεικνύεται για όλες τις διαστάσεις μεγαλύτερες του 5 (n=5 από τον Zeeman, n≥7 και για n≥5 από τον Smale για n=6 από τον Stallings). Είκοσι χρόνια αργότερα η περίπτωση για n=4 αποδεικνύεται από τον Freedman (1982), έτσι ώστε το μονο που είχε μείνει ήταν να αποδειχθεί για την περίπτωση της διάστασης 3.

Αλλά η μνημειακή δυσκολία απόδειξης αυτής της τελευταίας περίπτωσης άξιζε να εμφανιστεί η εικασία αυτή μεταξύ των επτά «προβλημάτων της χιλιετίας» του Clay Mathematics Institute.

Αποδείχτηκε τελικά η εικασία; Το 2002 και το 2003, επεκτείνοντας τις εργασίες του Ρ. Hamilton (1982), ο Grigori Perelman εκδίδει στο Internet τρία άρθρα που συγκεντρώνει όλα τα απαραίτητα στοιχεία για να αποδείξει μια πρόβλεψη οφειλόμενη στο W. Thurston στο τέλος 1970 την«εικασία γεωμετρικοποίησης».Αλλά ουσιαστικά αυτή ηταν η απόδειξη για n=3.

Ποιός είναι ο Pelerman; Ο Grigori Perelman έγινε διάσημος αρνούμενος αρκετά βραβεία.Η τελευταία άρνηση του Μεταλίου του Κλάδου Fields Metal, το βραβείο με το μεγαλύτερο γόητρο στα Μαθηματικά, ήταν αυτή που τον έφερε στο προσκήνιο.Οι εργασίες του Perelman,ενός λαμπρού αλλά τελείως αντικοινωνικού επιστήμονα,έχουν φέρει ένα νέο και εύφορο όραμα της γεωμετρίας στις τρεις διαστάσεις.