ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Δ. Τσιπλακίδης (βασισμένο στις σημειώσεις παραδόσεων Π.Νικήτα-Σ. Σωτηρόπουλου) e-mail: dtsiplak@chem.auth.gr ∙ web: users.auth.gr/dtsiplak

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΙΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΑ E/ V 1,0191 1,0187 1,0176 1,0198 1,0188 1,0184 1,0181 1,0186 1,0202 1,0172 1,0162 1,0189 1,0182 1,0201 1,0174 1,0200 pH 3,031 3,012 2,958 3,010 3,008 2,994 2,981 3,022 3,018 3,052 2,957 2,990 3,005 2,974 2,975 3,055 2,983 2,978 3,023 2,976 2,972 2,989 3,002 3,033 2,986 3,000 Έστω τα δείγματα με τιμές δυναμικού ενός στοιχείου Weston και τιμές pH ενός διαλύματος ισχυρού οξέος συγκέντρωσης 0.001Μ. Αν θέλουμε να αποκτήσουμε μια εικόνα της κατανομής των τιμών τους πρέπει να κατασκευάσουμε τα αντίστοιχα ιστογράμματα.

Ιστόγραμμα των 30 τιμών δυναμικού του στοιχείου Weston ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΙΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ιστόγραμμα των 30 τιμών δυναμικού του στοιχείου Weston

Ιστόγραμμα των 30 τιμών pH διαλύματος συγκέντρωσης 0.001Μ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΙΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ιστόγραμμα των 30 τιμών pH διαλύματος συγκέντρωσης 0.001Μ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΙΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Παρατηρούμε ότι από τα παραπάνω ιστογράμματα δύσκολα μπορούμε να αποκτήσουμε μια εικόνα για την κατανομή των τιμών στα δείγματα αυτά. Φαίνεται να μην υπάρχει καμία κανονικότητα στην κατανομή των τιμών μέσα στα δείγματα. Αυτό θα μπορούσε να θεωρηθεί φυσικό λαμβάνοντας υπόψη ότι η αβεβαιότητα των τιμών είναι τυχαία.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΙΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Αν όμως χρησιμοποιήσουμε μεγάλα δείγματα για να κατασκευάσουμε ιστογράμματα, τότε παρατηρούμε ότι μέσα από το τυχαίο αναδύεται μια κανονικότητα. Τα ιστογράμματα αποκτούν μορφή που μπορεί να περιγραφεί με μαθηματικές εξισώσεις.

Ιστογράμματα με 30 και 1000 τιμές δυναμικού στοιχείου Weston ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΙΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ιστογράμματα με 30 και 1000 τιμές δυναμικού στοιχείου Weston

Ιστογράμματα με 30 και 10000 τιμές δυναμικού στοιχείου Weston ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΙΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ιστογράμματα με 30 και 10000 τιμές δυναμικού στοιχείου Weston

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΙΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Α = 1.38, μ = 1.01894, σ = 0.0009 Ιστόγραμμα με 10000 τιμές δυναμικού στοιχείου Weston και η εξίσωση που το περιγράφει

Ιστογράμματα με 30 και 500 τιμές pH διαλύματος συγκέντρωσης 0.001Μ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΙΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ιστογράμματα με 30 και 500 τιμές pH διαλύματος συγκέντρωσης 0.001Μ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΙΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Α = 2.82, μ = 3, σ = 0.023 Ιστόγραμμα με 500 τιμές pH διαλύματος συγκέντρωσης 0.001Μ και η εξίσωση που το περιγράφει

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Κανονικά δείγματα Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση των δειγμάτων που εξετάσαμε, δηλαδή του δείγματος των τιμών του pH και των τιμών του δυναμικού, η εξίσωση που περιγράφει τα ιστογράμματά τους είναι η ίδια εξίσωση με διαφορετικές σταθερές:

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Κανονικά δείγματα Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το δείγμα είναι Κανονικό ή ότι τα πειραματικά δεδομένα του δείγματος ακολουθούν την Κανονική Κατανομή ή ότι το δείγμα προέρχεται από Κανονικό πληθυσμό. Η πειραματική εμπειρία έχει δείξει ότι επαναλαμβανόμενες μετρήσεις σε ένα σύστημα κάτω από σταθερές συνθήκες ακολουθούν την κανονική κατανομή.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Μη κανονικά δείγματα Δεν είναι όλα τα δείγματα κανονικά. Για παράδειγμα, τα περιβαλλοντικά δείγματα συνήθως περιγράφονται από τη συνάρτηση με διάφορες τιμές Α, μ και σ.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΙΜΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Α = 8896, μ = 4, σ = 0.5 Ιστόγραμμα 1000 τιμών αέριων ρύπων σταθμού Κοζάνης και η εξίσωση που το περιγράφει

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Αν και η διασπορά των τιμών ενός δείγματος οφείλεται σε τυχαία σφάλματα, η κατανομή τους στα μεγάλα δείγματα και συνεπώς στον αντίστοιχο πληθυσμό δεν παρουσιάζει καμία τυχαιότητα και περιγράφεται από συγκεκριμένες μαθηματικές συναρτήσεις. Αν κανονικοποιήσουμε τις συναρτήσεις αυτές ώστε το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη τους από το – ως το + να είναι 1, τότε οι συναρτήσεις αυτές ονομάζονται συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας (probability density functions).

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η έννοια της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας Τα ιστογράμματα μεγάλων δειγμάτων αποκτούν μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες αν κανονικοποιήσουμε τις τιμές του άξονα των y και αντί για συχνότητα (Frequence) χρησιμοποιήσουμε την πυκνότητα (Density): Πυκνότητα = Συχνότητα/(m∙Δx) Density = Frequence/(m∙Δx) m είναι το πλήθος των τιμών του δείγματος Δχ είναι το μήκος κάθε κλάσης

Η έννοια της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η έννοια της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας Συνεπώς, και η συνάρτηση y = f(x) που περιγράφει το ιστόγραμμα αποκτά προφανώς τις ιδιότητές του. Συγκεκριμένα: α) Η f(x) είναι παντού θετική β) Το ολοκλήρωμά της από - έως + θα ισούται με τη μονάδα γ) Το ολοκλήρωμά της από α έως β θα ισούται με την πιθανότητα που έχει η μεταβλητή Χ να βρίσκεται στο διάστημα [α, b].

Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function)  f(x) ≥ 0   f(x)dx = 1  -  P( α  X  b) =  f(x)dx b α

Αθροιστική Συνάρτηση κατανομής (cumulative distribution function) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Αθροιστική Συνάρτηση κατανομής (cumulative distribution function)  F(x)= f(t)dt = P(Xx) x - Η συνάρτηση κατανομής μας δίνει την πιθανότητα μια μεταβλητή Χ να έχει τιμή μικρότερη ή ίση με χ.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπάρχει πληθώρα κατανομών από τις οποίες οι πιο χρήσιμες που αφορούν συνεχείς μεταβλητές είναι: Κανονική κατανομή (normal distribution) Τυπικά κανονική κατανομή (standard normal distribution) Log-Normal κατανομή Κατανομή Student ή t Κατανομή χι-τετράγωνο ή x2 Κατανομή Fisher ή F

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Από αυτές οι τρεις πρώτες (κανονική, τυπικά κανονική, Log-Normal κατανομή) εμφανίζονται σε πραγματικά δείγματα, ενώ οι υπόλοιπες (κατανομή Student ή t, χι-τετράγωνο, Fisher ή F) εμφανίζονται κατά τη στατιστική επεξεργασία όταν ένα ή περισσότερα φυσικά δείγματα υφίστανται συγκεκριμένους μαθηματικούς μετασχηματι-σμούς.

ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ, Ν(μ,σ2) ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ, Ν(μ,σ2) Πρόκειται για μια από τις σημαντικότερες κατανομές με εφαρμογή στη θεωρία σφαλμάτων δεδομένου ότι τα τυχαία σφάλματα στις πειραματικές μετρήσεις μιας οποιασδήποτε φυσικοχημικής ποσότητας που γίνονται κάτω από σταθερές και ελεγχόμενες συνθήκες ακολουθούν συνήθως αυτή την κατανομή. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση

ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ, Ν(μ,σ2) ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ, Ν(μ,σ2) Γραφική παράσταση της κανονικής κατανομής όταν μ=2 και σ=1.

ΤΥΠΙΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ, Ν(0,1) ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΥΠΙΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ, Ν(0,1) Όταν μ = 0 και σ = 1, τότε η κανονική κατανομή ανάγεται στην τυπικά κανονική κατανομή, Ν(0,1): Αποδεικνύεται εύκολα ότι αν η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(μ,σ2), τότε η τυχαία μεταβλητή Ζ = (Χ-μ)/σ ακολουθεί την Ν(0,1) κατανομή.

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Log-Νormal κατανομή Πρόκειται για ενδιαφέρουσα κατανομή επειδή πολλές φορές δείγματα περιβαλλοντικά ακολουθούν αυτήν την κατανομή. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Log-Νormal κατανομή ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Αν λογαριθμίσουμε τις τιμές ενός δείγματος που ακολουθεί την Log-Normal κατανομή, το δείγμα που θα προκύψει ακολουθεί την κανονική κατανομή

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ t ή Student Πρόκειται για μια πολύ χρήσιμη κατανομή με εκτεταμένες εφαρμογές, κυρίως στον προσδιορισμό διαστημάτων εμπιστοσύνης και στη σύγκριση των μέσων τιμών δύο δειγμάτων. H συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση: όπου Συνάρτηση γάμμα (gamma)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ t ή Student ν=1 ν= Γραφική παράσταση της κατανομής Student όταν ν = 1, 2, 4, . Η καμπύλη με ν =  ταυτίζεται με την τυπικά κανονική κατανομή.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Η κατανομή student ή t αναπτύχθηκε από τον Gosset (1876-1937) και δημοσιεύθηκε το 1908, o οποίος εκείνη την περίοδο ήταν φοιτητής και δούλευε στη ζυθοποιία Guinness στο Δουβλίνο. Επειδή η Guinness απαγόρευε στους υπαλλήλους της να δημοσιεύουν, η δημοσίευση έγινε με το ψευδώνυμο Φοιτητής (Student).

ΚΑΤΑΝΟΜΗ Χι-τετράγωνο, x2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Χι-τετράγωνο, x2 Έστω ότι οι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ1, Χ2, …, Χν ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και διασπορά 1. Τότε η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί τη κατανομή χι-τετράγωνο με ν βαθμούς ελευθερίας με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ F ή FISHER Aν Y1 και Y2 είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κατανομή χ2 με ν1, ν2 βαθμούς ελευθερίας με βαθμούς ελευθερίας τότε το κλάσμα είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί μία κατανομή που συμβολίζεται με F και ονομάζεται κατανομή Fischer ή απλά κατανομή F με ν1 και ν2 βαθμούς ελευθερίας.

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ F ή FISHER Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση Η κατανομή Fischer βρίσκει εκτεταμένες εφαρμογές κυρίως στον έλεγχο στατιστικών υποθέσεων που σχετίζονται με διασπορές.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ F ή FISHER 10-5 10-30 Γραφική παράσταση της κατανομής F όταν (ν1=10, ν2=5), (ν1=10, ν2=10) και (ν1=10, ν2=30).

Sir Ronald Aylmer Fisher (1890 –1962) ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Sir Ronald Aylmer Fisher (1890 –1962)