ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Το κεφάλαιο αυτό ασχολείται με την μελέτη της ισορροπίας και της κίνησης των μηχανικών στερεών.

ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Το υλικό σημείο ορίζεται σαν ένα υποθετικό σώμα που έχει όλες τις άλλες ιδιότητες της ύλης εκτός από διαστάσεις. Ένα υλικό σημείο, μη έχοντας διαστάσεις, έχει τη δυνατότητα να εκτελεί μόνο μεταφορικές κινήσεις. Οι απλούστερες τροχιές που μπορεί να διαγράψει ένα υλικό σημείο που κινείται είναι η ευθύγραμμη και η κυκλική.

ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ευθύγραμμη τροχιά x2 x1 Κυκλική τροχιά θ2 θ1 Αρχική θέση Τελική θέση x1 x2 Μετατόπιση : Δx = x2 - x1 Κυκλική τροχιά Τελική γωνιακή θέση θ2 Αρχική γωνιακή θέση θ1 Γωνιακή μετατόπιση : Δθ = θ2 – θ1

ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ Στερεό σώμα είναι το κάθε τρισδιάστατο σώμα που διατηρεί σταθερό σχήμα και όγκο. Όταν σε ένα στερεό σώμα ασκούνται δυνάμεις τότε το σώμα υφίσταται παραμορφώσεις μικρές ή μεγάλες, που μπορεί να είναι μόνιμες ή παροδικές. Ένα υποθετικό στερεό σώμα που δεν υφίσταται καμία παραμόρφωση χαρακτηρίζεται μηχανικό στερεό. Σε ένα μηχανικό στερεό η επίδραση δύναμης προκαλεί μόνο μεταβολή της κινητικής κατάστασης του σώματος.

ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ Ένα στερεό σώμα μπορεί να κάνει μεταφορική, στροφική και σύνθετη κίνηση. Στη μεταφορική κίνηση κάθε στιγμή όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια ταχύτητα. Όταν ένα στερεό σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο τυχαία σημεία του μετατοπίζεται παράλληλα στον εαυτό του. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το στερεό να μην αλλάζει τον προσανατολισμό του στο χώρο. Ένα στερεό λέμε ότι εκτελεί στροφική κίνηση όταν κάθε στιγμή όλα τα υλικά σημεία του εκτελούν κυκλική κίνηση. Τα κέντρα όλων των κυκλικών τροχιών βρίσκονται πάνω σε μια νοητή ευθεία που ονομάζεται άξονας περιστροφής. Στη στροφική κίνηση το στερεό αλλάζει προσανατολισμό στο χώρο, ενώ τα υλικά σημεία του που βρίσκονται πάνω στον άξονα περιστροφής παραμένουν ακίνητα.

ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ Στη σύνθετη κίνηση, το στερεό μετακινείται στο χώρο και ταυτόχρονα αλλάζει προσανατολισμό. Η σύνθετη κίνηση μπορεί να μελετηθεί ως επαλληλία μιας μεταφορικής και μιας στροφικής κίνησης. Η ταχύτητα κάθε υλικού σημείου του στερεού υ είναι η συνισταμένη των ταχυτήτων που έχει το υλικό σημείο του στερεού λόγω μεταφορικής και λόγω στροφικής κίνησης:

ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Κέντρο μάζας (cm) ενός στερεού σώματος ονομάζεται το σημείο εκείνο του σώματος που κινείται όπως ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με τη μάζα του σώματος, αν σε αυτό ασκούνταν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Το κέντρο μάζας ομογενών συμμετρικών σωμάτων συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας τους (πχ. ομογενής κύβος ή σφαίρα). Το κέντρο μάζας ενός σώματος μπορεί να βρίσκεται και έξω από το σώμα. Για παράδειγμα σε έναν ισοπαχή ομογενή δακτύλιο, το βάρος σχεδιάζεται έξω από το στερεό σώμα, στον κενό χώρο που βρίσκεται στο κέντρο συμμετρίας του δακτυλίου.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Αν το σώμα βρίσκεται μέσα σε ομογενές πεδίο βαρύτητας, το κέντρο μάζας συμπίπτει με το κέντρο βάρους. Ως αποτέλεσμα, η δύναμη του βάρους σχεδιάζεται με σημείο εφαρμογής το κέντρο μάζας. Στη μεταφορική κίνηση, κάθε στιγμή όλα τα σημεία του στερεού σώματος έχουν την ίδια ταχύτητα και την ίδια επιτάχυνση με την ταχύτητα υcm και την επιτάχυνση acm του κέντρου μάζας, αντίστοιχα. Στη σύνθετη κίνηση, αν ο άξονας περιστροφής διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος, τότε: υμετ=υcm.

Αν η κίνηση ενός στερεού γίνεται σε ευθεία γραμμή, τότε η κίνησή του ονομάζεται ευθύγραμμη κίνηση και η θέση του προσδιορίζεται από το διάνυσμα θέσης. Αν ένα στερεό κινείται με σταθερή ταχύτητα, τότε η κίνησή του ονομάζεται ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Αν η κίνηση του στερεού γίνεται σε ευθεία τροχιά με σταθερή επιτάχυνση τότε η κίνησή του ονομάζεται ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση.

ΓΩΝΙΑΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Γωνία Στροφής θ: Γωνία Στροφής θ: Η γωνία στροφής περιγράφει τη γωνιακή θέση του στερεού, καθώς αυτό στρέφεται και αλλάζει προσανατολισμό. Μονάδα μέτρησης στο SI: 1 rad Γωνιακή Ταχύτητα ω: Η γωνιακή ταχύτητα περιγράφει το πόσο γρήγορα στρέφεται ένα στερεό, κάποια χρονική στιγμή. Η γωνιακή ταχύτητα ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας στροφής. Μονάδα μέτρησης στο SI: 1 rad/s Η γωνιακή ταχύτητα είναι διάνυσμα πάνω στον άξονα περιστροφής και με φορά που βρίσκεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού.

ΓΩΝΙΑΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Γωνιακή επιτάχυνση aγων Η γωνιακή επιτάχυνση περιγράφει το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα ενός στερεού, κάποια χρονική στιγμή. Η γωνιακή επιτάχυνση ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας. Μονάδα μέτρησης στο SI: 1 rad/s2 Η γωνιακή επιτάχυνση είναι ένα διάνυσμα με φορά πάντα ίδια με τη φορά του διανύσματος dω.

ΓΡΑΜΜΙΚΑ - ΓΩΝΙΑΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Γραμμική ταχύτητα (υ) Επιτρόχια ταχύτητα Γωνιακή ταχύτητα (ω) m/sec rad/sec Γραμμική επιτάχυνση (a) Επιτρόχια επιτάχυνση Γωνιακή επιτάχυνση (α) m/sec2 rad/sec2 Σε κάθε περίπτωση το πρώτο κλάσμα δείχνει την μέση τιμή ενώ το δεύτερο την στιγμιαία.

ΓΡΑΜΜΙΚΑ - ΓΩΝΙΑΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Αν η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή τότε η στροφική κίνηση ονομάζεται Στροφική Ομαλή Κίνηση (Σ.Ο.Κ.). Αν η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή τότε η στροφική κίνηση ονομάζεται Στροφική Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση (Σ.Ο.Μ.Κ.).

ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Στη Στροφική Ομαλή Κίνηση (Σ.Ο.Κ.) η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή οπότε η γωνία στροφής είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου. Επειδή η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή η στιγμιαία ταυτίζεται με τη μέση γωνιακή ταχύτητα. Επίσης συνήθως θεωρούμε ότι η αρχική γωνία είναι μηδέν όπως και η αρχική χρονική στιγμή (όπως στην παραπάνω σχέση).

ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Στη Στροφική Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση (Σ.Ο.Μ.Κ.) η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή οπότε η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου. Επειδή η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή η στιγμιαία ταυτίζεται με τη μέση γωνιακή επιτάχυνση. Επίσης θεωρούμε ότι η αρχική ταχύτητα είναι ω0 και η αρχική χρονική στιγμή είναι μηδέν.

ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της προηγούμενης συνάρτησης γωνιακής ταχύτητας - χρόνου. Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα αυτό μας δίνει την σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, ενώ το εμβαδόν που ορίζει η ευθεία με τον άξονα t μας δίνει την αλγεβρική τιμή της γωνίας στροφής. Όταν τα διανύσματα γωνιακής επιτάχυνσης και γωνιακής ταχύτητας είναι ομόρροπα έχουμε επιταχυνόμενη κίνηση ενώ όταν είναι αντίρροπα έχουμε επιβραδυνόμενη.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΓΩΝΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Σχέση μεταξύ γραμμικής (επιτρόχιας) ταχύτητας υ και γωνιακής ταχύτητας ω. Σχέση μεταξύ γραμμικής (επιτρόχιας) επιτάχυνσης α και γωνιακής επιτάχυνσης αγ. Αριθμός περιστροφών, Ν.

ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ Ένα στερεό που έχει την ικανότητα να κάνει σύνθετη κίνηση ονομάζεται ελεύθερο στερεό και δεν έχει σταθερό άξονα περιστροφής (ο άξονας περιστροφής εκτελεί μεταφορική κίνηση). Η κίνηση τυχαίου υλικού σημείου Σ ενός ελεύθερου στερεού, μπορεί να μελετηθεί ως επαλληλία δύο κινήσεων : μιας μεταφορικής κίνησης και μιας στροφικής κίνησης. Λόγω της μεταφορικής το σημείο Σ έχει την ίδια ταχύτητα με το κέντρο μάζας του στερεού ενώ λόγω της στροφικής έχει γραμμική ταχύτητα που εξαρτάται από την απόσταση του σημείου από τον άξονα περιστροφής. Η ολική ταχύτητα του σημείου Σ θα είναι το διανυσματικό άθροισμα των δύο ταχυτήτων.

ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ Κύλιση (χωρίς ολίσθηση) ονομάζεται η σύνθετη κίνηση που εκτελεί ένας τροχός (ή κύλινδρος, ή σφαίρα) πάνω στο δρόμο, όταν τα σημεία της περιφέρειας του τροχού έρχονται διαδοχικά σε επαφή με το δρόμο. Η φράση "διαδοχικά σε επαφή" σημαίνει ότι όλα τα σημεία της περιφέρειας του τροχού πατούν ένα - ένα στα σημεία του δρόμου, χωρίς να υπάρχουν δύο σημεία της περιφέρειας του τροχού που να έχουν πατήσει στο ίδιο σημείο του δρόμου (σπινάρισμα του τροχού), αλλά ούτε δύο σημεία του δρόμου στα οποία να ακούμπησε το ίδιο σημείο της περιφέρειας του τροχού (ολίσθηση του τροχού). Ως συνέπεια του ορισμού, η λέξη "κύλιση" περιέχει την έννοια "χωρίς ολίσθηση", αλλά έχει επικρατήσει να αναφέρεται όλο μαζί: "κύλιση χωρίς ολίσθηση", εννοώντας, φυσικά, απλά κύλιση.

ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΥΛΙΣΗ Κατά την κύλιση ενός τροχού μεταξύ των μεταφορικών και γωνιακών μεγεθών ισχύουν οι σχέσεις :

ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ

ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ Το ανώτερο σημείο του τροχού έχει ταχύτητα 2υcm. Το κατώτερο σημείο του τροχού έχει ταχύτητα μηδέν Τα σημεία, που βρίσκονται στην κατακόρυφη διάμετρο του τροχού, έχουν ταχύτητες που αυξάνονται γραμμικά, από κάτω προς τα πάνω, μεταξύ των τιμών 0 και 2υcm. Γενικά για να υπολογίσουμε την ταχύτητα ενός τυχαίου σημείου Σ χρησιμοποιούμε τη σχέση : Όπου φ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων υcm και θγρ.