ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 5ο Μαθηματικά χρηματοδότησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: χρησιμοποιείτε γεωμετρικές σειρές, υπολογίζετε ισόποσες δόσεις για αποπληρωμή δανείου, υπολογίζετε αρχική αξία και καθαρά παρούσα αξία επιλέγετε την οικονομικά προσφορότερη μεταξύ δύο επιλογών.

ΠΡΟΟΔΟΙ – ΣΕΙΡΕΣ (επανάληψη) Σε μια ακολουθία αριθμών υπάρχει η περίπτωση ο κάθε όρος της ακολουθίας να προκύπτει από το γινόμενο του προηγούμενου όρου με κάποιο σταθερό μη μηδενικό αριθμό ρ (όπου ρ≠1). Τότε λέμε ότι οι αριθμοί αυτοί αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο τον α και λόγο ρ. Έστω η σειρά (ακολουθία) των αριθμών 2,6,18,54,…. Κάθε όρος προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τον προηγούμενο με το 3 Το 3 ονομάζεται λόγος της γεωμετρικής προόδου και ο πρώτος όρος είναι α=2

ΠΡΟΟΔΟΙ – ΣΕΙΡΕΣ (επανάληψη) Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το α και λόγο ρ είναι: 𝛼 𝜌 𝜈 −1 𝜌−1 Να βρεθεί ο επόμενος όρος της ακολουθίας 1,2,4,8,… και στη συνέχεια να υπολογιστεί το άθροισμα των 5 πρώτων όρων. Επίλυση Η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο α=1 και λόγο ρ=2, επομένως ο επόμενος όρος της είναι 8Χ2=16=1Χ24 Το άθροισμα είναι 1+2+4+8+16=31 ή 𝛴=𝛼 𝜌 𝜈 −1 𝜌−1 =1 2 5 −1 2−1 = 32−1 1 =31

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (επανάληψη) Να υπολογιστεί το άθροισμα 100 + 100(1.07) + 100(1.07)2 + … +100 (1.07)20 Επίλυση Οι όροι του αθροίσματος αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο α=100 και λόγο ρ=1.07, επομένως 𝛴=𝛼 𝜌 𝜈 −1 𝜌−1 =100 (1.07) 21 −1 1.07−1 =100 4.14−1 0.07 =4486.5

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (επανάληψη) Ένα άτομο καταθέτει 100€ σε λογαριασμό τράπεζας στην αρχή κάθε μήνα. Η τράπεζα προσφέρει επιτόκιο 12% με μηνιαίο ανατοκισμό. (α) Ποιο ποσό θα συγκεντρωθεί στο τέλος ενός έτους; (β) Μετά από πόσους μήνες το ποσό θα υπερβεί τις 2.000€ για πρώτη φορά;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (επανάληψη) Επίλυση (α) Αν στον πρώτο μήνα καταθέσει 100€ αυτό θα ανατοκιστεί 12 φορές. Επομένως στο τέλος του έτους το ποσό θα γίνει 100(1+0.01)12 Το ποσό του δεύτερου μήνα θα ανατοκιστεί 11 φορές δηλαδή θα γίνει 100(1+0.01)11 Το ποσό του τρίτου μήνα θα ανατοκιστεί 10 φορές δηλαδή θα γίνει 100(1+0.01)10 κοκ Το ποσό του τελευταίου μήνα θα ανατοκιστεί 1 φορά δηλαδή θα γίνει 100(1+0.01) Επομένως θα έχουμε γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο α=100(1.01) και ρ=1.01, επομένως θέλουμε το άθροισμα των 12 πρώτων όρων, άρα: 𝛴=𝛼 𝜌 𝜈 −1 𝜌−1 =101 (1.01) 12 −1 1.01−1 =101 1.127−1 0.01 =1280.9

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (επανάληψη) (β) Ζητάμε το ν εκείνο για το οποίο 2000=101 1.01 𝜈 −1 1.01−1 19.80= 1.01 𝜈 −1 0.01 0.198= 1.01 𝜈 −1 1.01 𝜈 =1.198 ln(1.01 𝜈 )=ln(1.198) ν ln(1.01) = ln (1.198) 0.01 ν = 0.181 ν = 18.1

ΜΑΘΗΜΑ 5ο Μαθηματικά χρηματοδότησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: χρησιμοποιείτε γεωμετρικές σειρές, υπολογίζετε ισόποσες δόσεις για αποπληρωμή δανείου, υπολογίζετε αρχική αξία και καθαρά παρούσα αξία επιλέγετε την οικονομικά προσφορότερη μεταξύ δύο επιλογών.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Να υπολογιστεί η μηνιαία δόση που απαιτείται για την αποπληρωμή δανείου 100.000€ σε 25 έτη με ετήσιο επιτόκιο 8% Επίλυση Αν υποθέσουμε ότι οι δόσεις είναι ισόποσες αξίας x € τότε, με βάση τα δεδομένα μπορούμε να υπολογίσουμε ότι ο τόκος που πρέπει να πληρωθεί για το 1ο έτος είναι 100.000 (0.08)€ = 8.000€ και στο τέλος του έτους το δάνειο θα έχει γίνει: 100.000+8.000-12x = 100.000(1.08) -12x Στο τέλος του 2ου έτους θα έχουμε: [100.000(1.08) -12x](1.08) -12x = 100.000(1.08)2 – 12x (1+ (1.08) ) Στο τέλος του 3ου έτους θα έχουμε: [100.000(1.08)2 – 12x (1+ (1.08) )](1.08) -12x = 100.000(1.08)3 – 12x (1+ (1.08)+(1.08)2)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Επομένως στο τέλος της 25ετίας θα έχουμε: 100.000(1.08)25 – 12x (1+ (1.08) + (1.08)2 +…+(1.08)24) Το άθροισμα που αναφέρεται (στην παρένθεση) στις δόσεις θα είναι άθροισμα 25 όρων γεωμετρικής προόδου με α=1 και ρ=1.08 επομένως 𝛴=𝛼 𝜌 𝜈 −1 𝜌−1 =1 (1.08) 25 −1 1.08−1 =1 6.848475−1 0.08 =73.106

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Έτσι στο τέλος της 25ετίας που το δάνειο θα πρέπει να έχει αποπληρωθεί θα ισχύει: 100.000(1.08)25 – 12x (1+ (1.08) + (1.08)2 +…+(1.08)24)=0 684847,52 -12x (73.106)=0 877.272x = 684847,52 x = 780.66€

ΜΑΘΗΜΑ 5ο Μαθηματικά χρηματοδότησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: χρησιμοποιείτε γεωμετρικές σειρές, υπολογίζετε ισόποσες δόσεις για αποπληρωμή δανείου, υπολογίζετε αρχική αξία και καθαρά παρούσα αξία επιλέγετε την οικονομικά προσφορότερη μεταξύ δύο επιλογών.

Γνωρίζουμε ήδη ότι για να υπολογίσουμε τη μελλοντική αξία (S) ενός αρχικού κεφαλαίου (P), το οποίο επενδύεται για t χρονικές περιόδους με επιτόκιο r μπορεί να υπολογιστεί αν ο ανατοκισμός γίνεται στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου από τον τύπο: 𝑆=𝑃 1+ 𝑟 100 𝑡 ή αν ο ανατοκισμός είναι συνεχής από τον τύπο 𝑆=𝑃 𝑒 𝑟𝑡 100 Σε περίπτωση συνεχούς ανατοκισμού το t μετράται σε έτη. Επομένως αν γνωρίζουμε τις 3 από τις 4 μεταβλητές μπορούμε να υπολογίσουμε την τέταρτη. Από τους παραπάνω τύπους προκύπτει ότι το αρχικό κεφάλαιο δεδομένων των άλλων μεταβλητών θα είναι: 𝑃=𝑆 1+ 𝑟 100 −𝑡 𝑃=𝑆 𝑒 − 𝑟𝑡 100

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να βρεθεί η αρχική αξία ποσού που θα είναι 1000€ σε 4 έτη με επιτόκιο 10% και ανατοκισμό (α) εξαμηνιαίο και (β) συνεχή Επίλυση (α) 𝑃=𝑆 1+ 𝑟 100 −𝑡 =1000 1+ 5 100 −8 =1000 1.05 −8 =676.84 (β) 𝑃=𝑆 𝑒 − 𝑟𝑡 100 =1000 𝑒 −10𝛸4 100 =670.32