ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ « ΤΟ ‘’ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ PASCAL‘’ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ»

Εισαγωγή

Στο σχήμα επάνω μπορούμε να διακρίνουμε ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από φυσικούς αριθμούς. Το πρώτο που παρατηρούμε είναι ότι στις δύο από τις τρεις πλευρές του υπάρχει μία ατέλειωτη σειρά από μονάδες. Οι υπόλοιποι αριθμοί είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται ακριβώς από πάνω τους στην προηγούμενη σειρά. Έτσι, ο αριθμός 120 στην τελευταία σειρά του σχήματος είναι το άθροισμα 36+84 των αριθμών που εμφανίζονται ακριβώς πάνω από αυτόν στην προηγούμενη σειρά. Το τρίγωνο αυτό είναι γνωστό σαν τρίγωνο του Πασκάλ και πήρε την ονομασία του από τον Βλάσιο Πασκάλ.

Blaise Pascal 1623-1662

O Blaise Pascal ήταν Γάλλος μαθηματικός, φυσικός και θρησκευτικός φιλόσοφος που συνέβαλε στην ανάπτυξη πολλών περιοχών των μαθηματικών. Από το 1641 και για περίπου 3 χρόνια εργάστηκε για την κατασκευή μιας αριθμομηχανής  που μπορούσε να κάνει πρόσθεση και αφαίρεση που ονομάστηκε «Πασκαλινά».

Το 1647 ανακάλυψε την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων και τη χρήση του βαρομέτρου  για τη μέτρηση του υψομέτρου. Επίσης μια από τις πιο γνωστές μαθηματικές μελέτες του είναι αυτό που ονομάζουμε "τρίγωνο του Πασκάλ" ή απλούστερα "αριθμητικό τρίγωνο". Τέλος προς τιμήν του ονομάστηκε με το όνομά του η μονάδα μέτρησης της πίεσης στο S.I. (Pascal ή Pa).  

Τρίγωνο του Pascal

Για το σχηματισμό του τριγώνου Pascal θέτουμε μία μονάδα (1) στο μέσον της 1ης γραμμής. Στη 2η γραμμή θέτουμε δύο  μονάδες μία αριστερά και μία δεξιά της προηγούμενης. Στην επόμενη θέτουμε πάλι δύο 1 μονάδες μία αριστερά της πρώτης και μία δεξιά της τελευταίας της προηγούμενης γραμμής, ενώ ανάμεσα από τις δύο μονάδες θέτουμε το άθροισμά τους. Συνεχίζουμε με αυτό τον τρόπο σχηματίζοντας κάθε φορά μία νέα γραμμή με ένα στοιχείο επιπλέον από την προηγούμενη. Το πρώτο και τελευταίο στοιχείο είναι μονάδες ενώ τα ενδιάμεσα στοιχεία είναι το άθροισμα των δύο στοιχείων της προηγούμενης γραμμής που βρίσκονται αριστερά και δεξιά του.

Ιδιότητες του τριγώνου του Pascal

Πρώτη Ιδιότητα Η πρώτη διαγώνιος του τριγώνου Pascal αποτελείται μόνο από τον αριθμό 1. Η δεύτερη διαγώνιος του τριγώνου Pascal αποτελείται από τους φυσικούς αριθμούς. Η τρίτη διαγώνιος του τριγώνου του Pascal αποτελείτε τους λεγομένους τρίγωνους αριθμούς (1,3,6,10.15…) δηλαδή τους αριθμούς που παριστάνονται στο επίπεδο με την μορφή τριγώνου.

Είναι γνωστό ότι οι Αρχαίοι Έλληνες αρέσκονταν στο να παριστάνουν τους διάφορους αριθμούς με εικόνες – γεωμετρικά σχήματα. Έτσι οι αριθμοί 1,4, 9,16, 25,…που τους ονομάζουμε τετράγωνα, πραγματικά μπορούν να παρασταθούν γεωμετρικά με τετράγωνα πλευράς 1, 2, 3, 4, 5, … αντίστοιχα. Κάτι ανάλογο συμβαίνει και με τους αριθμούς 1, 3, 6, 10,… που λέγονται τριγωνικοί γιατί μπορούν να παρασταθούν σαν τρίγωνα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι διατάξεις αυτές μας θυμίζουν πολύ τις μπάλες ενός μπιλιάρδου.

Αν θέλουμε να γνωρίσουμε ακόμα περισσότερους τριγωνικούς αριθμούς, δεν έχουμε παρά να δούμε την δεύτερη διαγώνια σειρά στο τρίγωνο του Πασκάλ, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, Παρατηρείστε ότι το άθροισμα δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών είναι ίσο με ένα τετράγωνο. Φυσικά, η πρώτη διαγώνια σειρά είναι η ακολουθία των φυσικών αριθμών, ενώ η τρίτη διαγώνια σειρά είναι η ακολουθία των τετραεδρικών αριθμών που λέγονται έτσι γιατί μπορούν να παρασταθούν στον χώρο (τρεις διαστάσεις) σε τετραεδρική διάταξη (σχηματίζουν δηλαδή πυραμίδα με βάση τρίγωνο).    1 Γραμμή 0 Γραμμή 1  2 Γραμμή 2   1  3 Γραμμή 3  4  6 Γραμμή 4  5 10 Γραμμή 5 15 20 Γραμμή 6  7 21 35 Γραμμή 7  8 28 56 70 Γραμμή 8

Η τέταρτη διαγώνιος του τριγώνου του Pascal αποτελείτε από τους τετραεδρικούς ή πυραμιδοειδείς ς ή τετράγωνους αριθμού (1,4,10,20) Υπολογίζεται με τον τύπο

Προχωρώντας στις διαγώνιες σειρές το φαινόμενο αυτό επαναλαμβάνεται, δηλαδή η n-οστή διαγώνιος περιέχει τους αντίστοιχους των τριγωνικών αριθμών στον n-διάστατο χώρο (π.χ. Η πέμπτη διαγώνιος του τριγώνου Pascal αποτελείται από πεντάγωνους αριθμούς όπου ο γενικός τύπος είναι n(3n-1)/2 ). Μπορούμε λοιπόν να δούμε αμέσως ότι 10 μπάλες μπορούν να τοποθετηθούν έτσι, ώστε να σχηματίζουν μία τετραεδρική πυραμίδα στο χώρο των τριών διαστάσεων ή ένα ισόπλευρο τρίγωνο στο χώρο των δύο διαστάσεων. Επίσης 35 υπερμπάλες μπορούν να τοποθετηθούν τόσο για να σχηματίσουν ένα τετραδιάστατο υπερτετράεδρο, όσο για να σχηματίσουν ένα τρισδιάστατο τετράεδρο, όμως δεν μπορούν να σχηματίσουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Δεύτερη Ιδιότητα Οι αριθμοί που εμφανίζονται σε κάθε οριζόντια γραμμή του τριγώνου είναι ακριβώς οι συντελεστές που εμφανίζονται στα αναπτύγματα των πολυωνύμων. (α + β)ο, (α + β)1, (α + β)2, (α + β)3, (α + β)4, αντίστοιχα, όπως είναι φανερό στον παρακάτω πίνακα:

Βλέπουμε λοιπόν ότι το τρίγωνο του Πασκάλ είναι ένα σημαντικό εργαλείο που μας βοηθά να γράφουμε τους διωνυμικούς συντελεστές, δηλαδή τους συντελεστές του αναπτύγματος του (α + β)n , για οποιοδήποτε φυσικό n, αρκετά γρήγορα και εύκολα. Οι συντελεστές αυτοί παίζουν σπουδαίο ρόλο σε προβλήματα Συνδυαστικής και Πιθανοτήτων. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι από 5 αγαπημένα μας βιβλία θέλουμε να επιλέξουμε 3 που θα πάρουμε μαζί μας σ’ ένα ταξίδι. Πόσες διαφορετικές τριάδες μπορούμε να σχηματίσουμε; Θα διαπιστώσουμε ότι το πλήθος τους είναι 10, που είναι ο συντελεστής του α3β2 , η αλλιώς του α3β5 – 3

Για k=3 και n=5 αnβn – k

Τρίτη Ιδιότητα Το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής είναι ίσο με μια δύναμη του 2. Για την ακρίβεια το άθροισμα των αριθμών της ν-οστής γραμμής είναι ίσο με

Τέταρτη Ιδιότητα Εκτός από τις δυνάμεις του 2, μπορούμε να διακρίνουμε και τις δυνάμεις του 11 στο τρίγωνο του Πασκάλ . Οι δυνάμεις του 11 μπορούν να εξαχθούν από το τρίγωνο του Πασκάλ διαβάζοντας τις γραμμές και θεωρώντας τους αριθμούς ως ψηφία ενός θεσιακού συστήματος.

Οι δυνάμεις του 11

Οι δυνάμεις του 11 στο τρίγωνο του Πασκάλ

Για την 5η σειρά μπορούμε να σκεφτούμε ως εξής: 1x105+5x104+10x103+10x102+5x101+1x100 = 100.000+50.000+10.000+1.000+50+1= 161.051

Πέμπτη Ιδιότητα Στη σειρά Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …) κάθε όρος προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων, 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 8=5+3, 13=8+5, κτλ. Γενικός τύπος Για να βρεθούν οι αριθμοί Fibonacci πάνω στο τρίγωνο του Πασκάλ παίρνουμε το άθροισμα των αριθμών πάνω στις πλάγιες διαγώνιες όπως φαίνεται στο σχήμα.

Έκτη Ιδιότητα Χρωματίζοντας τα πολλαπλάσια του 2 στο τρίγωνο του Πασκάλ, παρατηρούμε ότι εμφανίζονται μικρά και μεγάλα τρίγωνα που στο σύνολό τους συνθέτουν ένα πάρα πολύ εντυπωσιακό σχέδιο. Αυτό το σχέδιο «υπακούει» στους κανόνες σχεδιασμού ενός άλλου τριγώνου που λέγεται τρίγωνο του Sierprinski.

Αλλά και αν θελήσουμε να χρωματίσουμε τα πολλαπλάσια κάποιου άλλου αριθμού στο τρίγωνο του Πασκάλ, βλέπουμε να εμφανίζονται νέα σχέδια με μικρά και μεγάλα τρίγωνα καθένα από αυτά χαρακτηριστικό για κάθε διαιρέτη που επιλέξαμε. Στο σχήμα 6 για παράδειγμα, φαίνεται δεξιά το σχέδιο που εμφανίζεται όταν χρωματίσουμε με άσπρο τα πολλαπλάσια του 3.

«Είναι παράξενο πράγμα το πόσο γόνιμο είναι σε ιδιότητες». Θα μπορούσαμε να αναφέρουμε πάρα πολλές ακόμα ιδιότητες του τριγώνου του Πασκάλ, όπως παραδείγματος χάριν να ανακαλύψουμε σ’ αυτό τους συντελεστές των πολυωνύμων Chebyshev ή τους αριθμούς Catalan. Ο ίδιος ο Πασκάλ είχε ιδιαίτερα εντυπωσιαστεί με τον πλούτο αυτού του τριγώνου σε ιδιότητες. Παραδέχτηκε στη διατριβή του ότι άφηνε έξω περισσότερα από τα στοιχεία που εισήγαγε σχολιάζοντας: «Είναι παράξενο πράγμα το πόσο γόνιμο είναι σε ιδιότητες».

ΟΜΑΔΕΣ: 1) Τι είναι το “τρίγωνο Pascal’’ και πως κατασκευάζεται. ΟΝΟΜΑΤΑ ΜΕΛΩΝ ΟΜΑΔΑΣ: Γκότση Παναγιώτα Κόλλιας Κων/νος Σενή Εβελίνα 2) Ποιος ήταν ο Blaise Pascal- πληροφορίες για τη ζωή του και το έργο του. Δεληστάθης Βασίλης Ντερβίσαϊ Αρσένα Σενή Βούλα Ταμπάκου Κων/να 3) Αναφορά ιδιοτήτων του τριγώνου Pascal Δεληστάθης Μιχάλης Μπαστούνη Ελευθερία Σωτηρέλος Κων/νος

4) Επαλήθευση ιδιοτήτων και κατασκευή κατάλληλων τριγώνων Pascal ΟΝΟΜΑΤΑ ΜΕΛΩΝ ΟΜΑΔΑΣ: Λέκκα Κατερίνα Μάντη Βασιλική Παπουτσή Δήμητρα 5) Συγγραφή εργασίας και παρουσίασή της σε ηλεκτρονική μορφή. Καλλίρης Γιάννης Μπαρδάϊ Κλίνσμαν Τσάκωνας Σωτήρης 6) Συντονισμός ομάδων Κακανάκος Μάριος ( 1η ομάδα) Μπέϊντο Παναγιώτης ( 2η ομάδα) Μπίτζιος Άκης ( 5η ομάδα) Σενής Παναγιώτης ( 3η ομάδα) Σινάνι Αμαρίλντο ( 4η ομάδα) ΤΜΗΜΑ: Γ΄τάξη Γυμνασίου Αθικίων Υπεύθυνη καθηγήτρια: Δρίτσα Κωνσταντίνα (ΠΕ03)