Σχεδιασμός των Μεταφορών Ενότητα #8 annex II: Μοντέλα παλινδρόμησης - Regression models Δρ. Ναθαναήλ Ευτυχία Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών

Περιεχόμενα ενότητας Παλινδρόμηση Έλεγχοι Απλή Πολλαπλή Στατιστικοί Λογικοί

Γραμμική παλινδρόμηση Y = bo + b1X Y = bo + b1X1 + b2X2 + … + bnXn

Γραμμική παλινδρόμηση (διάγραμμα) Υ Υπ e ι Υυ e ι = Υ - Υ υπ Yυπ = α + βΧ Χi X Διάγραμμα διασποράς εξίσωσης απλής γραμμικής παλινδρόμησης

Δεδομένα Χρονικές σειρές (time series data) Διατομεακές σειρές (cross sectional data) Συνδυασμός των δύο

Υποθέσεις Ανεξαρτησία και κατανομή σφαλμάτων απόκλισης % e α α

Ομο / Ετερο σκεδαστικά δεδομένα Ομοσκεδαστικά δεδομένα Ετεροσκεδαστικά δεδομένα P(e) y e e e Yυπ = α + βΧ x y P(e) e e e Yυπ = α + βΧ x

Έλεγχος ανεξαρτησίας σφαλμάτων (Durbin – Watson) Σύγκριση με d1 και d2 της: Αν d<d1 τότε δεν ισχύει η υπόθεση της ανεξαρτησίας Αν d>d2 τότε ισχύει η υπόθεση της ανεξαρτησίας

Υποθέσεις Συσχέτιση ανεξάρτητων μεταβλητών (collinearity) Σφάλματα τιμών ανεξάρτητων μεταβλητών Σχέση μεταξύ εξαρτημένης και ανεξάρτητων μεταβλητών Y = bo + b1 X1 + …. + bn Χn Y = a bX log Y = log a + X log b Y = a X b log Y = log a + b log X Y = 1 / (a + Xb) 1/Y = a + Xb log (1/Y) = log (a + Xb) Y = e (ao + a1X1 + …) lnY = ao + a1 X1 + ...

Απλή γραμμική παλινδρόμηση (1 από 4) Απλή γραμμική παλινδρόμηση Yi = bo + b1Xi Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Q = Σ (Yi - bo - b1 Xi)2 = Σ εi2 Εμπειρική μέθοδος

Απλή γραμμική παλινδρόμηση (2 από 4) Yi = bo + b1Xi Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Q = Σ (Yi - bo - b1 Xi)2 = Σ εi2 ΘQ/Θbo = 0 -2Σ (Yi - bo - b1 Xi) = 0 ΣYi = Σ (bo + b1 Xi) ΣYi = n bo + b1 ΣXi ΘQ/Θb1 = 0 -2ΣXi ( Yi - bo - b1 Xi) = 0 ΣXiYi = bo ΣXi + b1 ΣXi2 Εμπειρική μέθοδος

Απλή γραμμική παλινδρόμηση (3 από 4) Yi = bo + b1Xi Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Q = Σ (Yi - bo - b1 Xi)2 = Σ εi2 ΘQ/Θbo = 0 -2Σ (Yi - bo - b1 Xi) = 0 ΣYi = Σ (bo + b1 Xi) ΣYi = n bo + b1 ΣXi ΘQ/Θb1 = 0 -2ΣXi ( Yi - bo - b1 Xi) = 0 ΣXiYi = bo ΣXi + b1 ΣXi2 Εμπειρική μέθοδος ΣYi = Σ (bo + b1 Xi) ΣYi = n bo + b1 ΣXi ΣXiYi = ΣXi (bo + b1 Xi) ΣXiYi = bo ΣXi + b1 ΣXi2

Απλή γραμμική παλινδρόμηση (4 από 4) ΣXY - (ΣXΣ Y) / n ΣX12 - (ΣX)2/n b1 = Y - b1X b0 =

Πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση (1 από 4) Yi = bo + b1X1i + b2X2i Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Q = Σ (Yi - bo - b1 X1 - b2 X2)2 = Σ εi2 Εμπειρική μέθοδος

Πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση (2 από 4) Yi = bo + b1X1i + b2X2i Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Q = Σ (Yi - bo - b1 X1 - b2 X2)2 = Σ εi2 ΘQ/Θbo = 0 ΣY - n bo - b1 ΣX1 – b2 ΣX2 = 0 ΘQ/Θb1 = 0 ΣX1Y - bo ΣX1 - b1 ΣX12 - b2 ΣX1X2 = 0 ΘQ/Θb2 = 0 ΣX2Yi - bo ΣX2 - b2 ΣX22 - b1 ΣX1X2 = 0 Εμπειρική μέθοδος

Πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση (3 από 4) Yi = bo + b1X1i + b2X2i Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Q = Σ (Yi - bo - b1 X1 - b2 X2)2 = Σ εi2 ΘQ/Θbo = 0 ΣY - n bo - b1 ΣX1 – b2 ΣX2 = 0 ΘQ/Θb1 = 0 ΣX1Y - bo ΣX1 - b1 ΣX12 - b2 ΣX1X2 = 0 ΘQ/Θb2 = 0 ΣX2Yi - bo ΣX2 - b2 ΣX22 - b1 ΣX1X2 = 0 Εμπειρική μέθοδος ΣY = n bo + b1 ΣX1 + b2 ΣX2 ΣX1Y = bo ΣX1 + b1 ΣX12 + b2 ΣX1X2 ΣX2Yi = bo ΣX2 + b2 ΣX22 + b1 ΣX1X2

Πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση (4 από 4) (ΣX22 ΣX1Y) - (ΣX1X2 ΣX2Y) (ΣX12 ΣX22) - (ΣX1X2)2 b1 = (ΣX12 ΣX2Y) - (ΣX1X2 ΣX1Y) (ΣX12 ΣX22) - (ΣX1X2)2 b2 = b0 = Y - b1X1 - b2X2

Στατιστικοί έλεγχοι (1 από 4) Συντελεστής προσδιορισμού (sum of squares regression, sum of squares total, sum of squares error) Διορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού Ř2 = R2 – (1-R2) (κ/(ν-κ-1))

Στατιστικοί έλεγχοι (2 από 4) Συντελεστής συσχέτισης

Στατιστικοί έλεγχοι (3 από 4) μέσο τετραγωνικό σφάλμα Υ Ετ Ετ 68.27% των τιμών Yυπ = α + βΧ X

Στατιστικοί έλεγχοι (4 από 4) έλεγχος υπόθεσης βκ = 0 t = R [ν - (κ + 1)] 1/2 / (1 - R2) 1/2 έλεγχος υπόθεσης β1 = β2 = … = βκ = 0 F = (SSR/κ) / [SSE / (ν - κ - 1)] F = (R2 / κ) / [(1 - R2) / (ν - κ - 1)] έλεγχος υπόθεσης βλ+1 = βλ+2 = … = βκ = 0 F = [(SSRκ – SSRλ)/(κ-λ)] / [SSEκ / (ν-κ-1)

Λογικοί έλεγχοι Αξιοπιστία ανεξάρτητων μεταβλητών. Δυνατότητα πρόβλεψης αλλαγών σε συνήθειες μετακινήσεων. Λογικότητα στη σχέση εξαρτημένων και ανεξάρτητων μεταβλητών (σταθερός όρος). Πρόσημα συντελεστών.

Προσδιορισμός σχέσης γραμμικής παλινδρόμησης Επιλογή ανεξάρτητων μεταβλητών Διαμόρφωση εναλλακτικών μορφών σχέσης Έλεγχος συγγραμμικότητας μεταβλητών Υπολογισμός παραμέτρων εξίσωσης Στατιστικοί έλεγχοι Λογικοί έλεγχοι