Αναπαράσταση της συνάρτησης ψ=2χ στη γλώσσα της P.A. Στην γλώσσα της Ρ.Α. δεν υπάρχει σύμβολο που να εκφράζει το γεγονός ψ=2χ . Πώς λοιπόν θα εκφραστεί η παραπάνω σχέση;

ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ Ψ=2Χ ΣΤΗΝ ΡΑ Ένας τρόπος είναι να δούμε ότι η συνάρτηση ψ=2χ μπορεί να οριστεί αναδρομικά ως μια συνάρτηση δ(χ) που ικανοποιεί την εξής αναδρομική σχέση: δ(0)=1, δ(χ+1)=2δ(χ). Δηλαδή η δ ορίζεται αναδρομικά ως προς τη σταθερή συνάρτηση γ(χ)=1 και τη συνάρτηση h(x)=x+x (=2x). Oι συναρτήσεις γ και h είναι προφανώς αναπαραστάσιμες μέσω των τύπων Γ(χ,ψ):ψ=1 και Η(χ,ψ): ψ=2χ. Έτσι το γεγονός ότι ψ=2χ μπορεί να εκφραστεί κατ’ αρχήν με την παρακάτω διατύπωση: Υπάρχει μια πεπερασμένη ακολουθία ακεραίων Ζ(0),Ζ(1),…, Ζ(χ) τέτοια ώστε: Ζ(0)=1, Ζ(χ)=ψ και για κάθε i ανάμεσα στο 0 και το χ , Ζ(i+1)=h(Ζ(i)).Το πρόβλημα τώρα είναι το πώς θα εκφραστεί η έκφραση ‘υπάρχει μια πεπερασμένη ακολουθία…’

ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Έστω ΡΑ η γλώσσα Πεανό της αριθμητικής Μια αριθμοθεωρητική συνάρτηση φ,με ν ορίσματα θα λέμε ότι είναι αναπαραστάσιμη στην ΡΑ αν υπάρχει ένας wf τύπος Φ(χ1,χ2,…,χν,ψ) της ΡΑ ,του οποίου οι ελεύθερες μεταβλητές είναι οι χ1,χ2,…,χν,ψ έτσι ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς κ1,…,κν να ικανοποιούνται τα παρακάτω: Αν φ(κ1,…,κν )=μ τότε  Φ(κ1,…,κν ,μ)  (1ψ)(Φ(κ1,…,κν ,ψ) Αν η συνθήκη (2) αντικατασταθεί με την 2΄ |--- (1ψ)(Φ(χ1,…,χν ,ψ) τότε λέμε ότι η φ είναι ισχυρά αναπαραστάσιμη στην ΡΑ.

Η συνάρτηση β του Γκέντελ Εδώ επικαλούμαστε τη συνάρτηση β του Γκέντελ με τη βοήθεια της οποίας για να εκφράσουμε ότι ‘υπάρχει πεπερασμένη ακολουθία…’ ,λέμε ότι υπάρχουν δυο ακέραιοι οι οποίοι κωδικοποιούν αυτή την ακολουθία μέσω της συνάρτησης β. Η συνάρτηση β ορίζεται ως εξής: Ορισμός: β(μ,κ,λ) είναι το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του μ από τον κ(λ+1)+1 . Πχ: β(26,2,3)=8 ,β(46,5,4)=20.

Η αναπαράσταση της συνάρτησης β του Γκέντελ Η συνάρτηση β μπορεί να αναπαρασταθεί από τον τύπο Β[x,y,z,v]: w(χ=w*S(y*S(z))+v) v<S(y*S(z)).

Η ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ β Αν α0 α1,α2,…αν είναι ν+1 φυσικοί αριθμοί τότε υπάρχουν κ,γ φυσικοί αριθμοί έτσι ώστε β(κ,γ,ι)=αι για κάθε ι με 0  ι  ν απόδειξη Ας είναι ξ=max(ν,α0,…αν) και γ=ξ! Θεωρούμε τους αριθμούς θι=1+(ι+1)γ για 0  ιν. Οι αριθμοί θι είναι όλοι πρώτοι μεταξύ τους δίοτι αν ο πρώτος ρ διαιρεί τους θι και θτ τότε ο ρ θα διαιρεί τον αριθμό (ι-τ)γ ,οπότε ρ/ι-τ ή ρ/γ. Όμως αν ρ/γ τότε θα πρέπει ρ/1 το οποίο είναι άτοπο. Αν ρ/ι-τ τότε αφού ι-τν θα είναι και πάλι ρ/γ ,άτοπο. Έτσι οι αριθμοί θι είναι πρώτοι μεταξύ τους. Τώρα παρατηρούμε ότι αι ξ γ<1+(ι+1)γ=θι δηλαδή αι<<θι και έτσι από το κινέζικο θεώρημα , υπάρχει αριθμός κ<θ1θ2…θν έτσι ώστε υ(θι,κ)=αι για 0 ι ν. Όμως β(κ,γ,ι)=υ(1+(ι+1)γ,κ)=αι.

Η αναπαράσταση της ψ=2χ Η συνάρτηση φ(χ)=2χ μπορεί να αναπαρασταθεί στην ΡΑ από τον τύπο Δ(χ,ψ): uv[((wB(u,v,0,w)w=1)B(u,v,x,ψ))w (w<x κ z(B(u,v,w,k) B(u,v,S(w),z) z=k+k)))]

Απόδειξη της αναπαραστασιμότητας της ψ=2χ