Πολυπαραγοντική γραμμική εξάρτηση 31-03-2016

Η γενική ιδέα Η μελέτη της επίδρασης δύο ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών στις τιμές μιας εξαρτημένης μεταβλητής. Παράδειγμα: Η επίδραση της ηλικίας (Χ1) και της ημερήσιας κατανάλωσης νατρίου (Χ2) μιας ομάδας ανθρώπων στην συστολική πίεση του αίματος (Υ) αυτής της ομάδας.

Η γραμμική παλινδρόμηση χρησιμοποιείται για: Την πρόβλεψη μιας εξαρτημένης μεταβλητής χρησιμοποιώντας τις τιμές μίας ή περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών. Να εξηγήσει την επίδραση των αλλαγών της ανεξάρτητης μεταβλητής στην εξαρτημένη μεταβλητή Εξαρτημένη μεταβλητή: Η μεταβλητή που ενδιαφερόμαστε να εξηγήσουμε (συνεχής). Ανεξάρτητη μεταβλητή: Η μεταβλητή που χρησιμοποιείται για να εξηγήσει την εξαρτημένη (συνεχείς ή κατηγορικές).

Γραφική απεικόνιση της παλινδρόμησης Στην απλή γραμμική παλινδρόμηση (μια ανεξάρτητη μεταβλητή) προσαρμόζεται στα δεδομένα μια ευθεία γραμμή (2D-χώρος). Στην πολλαπλή παλινδρόμηση με δύο ανεξάρτητες μεταβλητές προσαρμόζεται ένα επίπεδο παλινδρόμησης (3D-χώρος).

Γραμμικό Μοντέλο

Γραμμικό Μοντέλο

Διαστήματα εμπιστοσύνης και διαστήματα πρόβλεψης

Κατάλοιπα-Απλό Γραμμικό Μοντέλο

Παραδοχές

Παραδοχές (1)- Γραμμική σχέση Γραμμική σχέση μεταξύ εξαρτημένης και ανεξάρτητης ποσοτικής μεταβλητής Διάγραμμα διασποράς (scatter plot) Μετασχηματισμός ανεξάρτητης μεταβλητής (logx, x2, 1/x)

Παραδοχές(2)- Κατάλοιπα (residuals, e = y –ŷ ) Κατάλοιπα να είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και από τις άλλες ανεξάρτητες μεταβλητές Τα κατάλοιπα να κατανέμονται κανονικά (μέση τιμή=0)

Παραδοχές(3)- Σταθερή διακύμανση καταλοίπων Διάγραμμα διασποράς μεταξύ κατάλοιπων και ανεξάρτητων μεταβλητών (τυχαία διασπορά των τιμών)

Παραδοχές(4)-Να μην υπάρχει πολυσυγγραμμικότητα

SPSS hospital.stay=22.44 + 14.31*Smoke + 16.09*Asbestos 1. Μοντέλο χωρίς όρο αλληλεπίδρασης hospital.stay=22.44 + 14.31*Smoke + 16.09*Asbestos 2. Μοντέλο με όρο αλληλεπίδρασης hospital.stay=22.12 + 14.96*Smoke + 16.74*Asbestos - 1.317*Smoke*Asbestos Στους μη εκτιθέμενους στον αμίαντο: Δεν υπάρχει σημαντική διαφοροποίηση της επίδρασης του καπνίσματος! Smoke=0 Asbestos=0 hospital.stay=22.12 Smoke=1 Asbestos=0 hospital.stay=22.12+14.96*1=37.08 Επίδραση καπνίσματος: 37.08-22.12= 14.96 Στους εκτιθέμενους στον αμίαντο: Smoke=0 Asbestos=1 hospital.stay=22.12+16.74*1=38.86 Smoke=1 Asbestos=1 hospital.stay=22.12+14.96*1+16.74*1 -1.317=52.51 Επίδραση καπνίσματος: 52.51-38.86= 13.65 p-value of the interaction =0.142 > 0.05

SPSS hospital.stay=18.36 + 22.46*Smoke + 24.25*Asbestos 1. Μοντέλο χωρίς όρο αλληλεπίδρασης hospital.stay=18.36 + 22.46*Smoke + 24.25*Asbestos 2. Μοντέλο με όρο αλληλεπίδρασης hospital.stay= 22.12 + 14.96*Smoke + 16.74*Asbestos + 15.007*Smoke*Asbestos Στους μη εκτιθέμενους στον αμίαντο: Υπάρχει σημαντική διαφοροποίηση της επίδρασης του καπνίσματος! Smoke=0 Asbestos=0 hospital.stay=22.12 Smoke=1 Asbestos=0 hospital.stay=22.12+14.96*1=37.08 Επίδραση καπνίσματος: 37.08-22.12= 14.96 Στους εκτιθέμενους στον αμίαντο: Smoke=0 Asbestos=1 hospital.stay=22.12+16.74*1=38.86 Smoke=1 Asbestos=1 hospital.stay=22.12+14.96*1+16.74*1 +15.007*1=68.83 Επίδραση καπνίσματος : 68.83-38.86= 29.97 p-value of the interaction <0.001

SPSS Χωριστές αναλύσεις- εξισώσεις hospital.stay= 22.12 + 14.96*Smoke + 16.74*Asbestos + 15.007*Smoke*Asbestos Στους μη εκτιθέμενους στον αμίαντο (asbestos=0): hospital.stay= 22.12 + 14.96*Smoke + 16.74*0 + 15.007*Smoke*0= = 22.12 + 14.96*Smoke Στους εκτιθέμενους στον αμίαντο (asbestos=1): hospital.stay= 22.12 + 14.96*Smoke + 16.74*1 + 15.007*Smoke*1 = (22.12 + 16.74) + (14.96+ 15.007)*Smoke = 38.86 + 29.967*Smoke