Ct = Co + Co*r*t = Co*(1+r*t) Απλή κεφαλαιοποίηση Ο τόκος που παράγεται είναι ανάλογος του κεφαλαίου, του χρόνου και του επιτοκίου. Το κεφάλαιο παραμένει σταθερό στο χρόνο, γιατί ο τόκος δεν κεφαλαιοποιείται. Ο τόκος ισούται T=Co*r*t Ct = Co + Co*r*t = Co*(1+r*t) Εάν ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες τότε ο τόκος δίνεται από τον τύπο T=Co*r*(m/12) Εάν ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες τότε ο τόκος δίνεται από τον τύπο T=Co*r*(n/360) ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

Προεξόφληση ή υφαίρεση Η προεξόφληση αποτελεί μία από τις βασικές τραπεζικές εργασίες για ορισμένους βραχυπρόθεσμους δανειακούς τίτλους (συναλλαγματικές, γραμμάτια, κ.λ.π.). Ετσι π.χ. ο δανειστής και εκδότης μίας συναλλαγματικής χρειάζεται μετρητά, έχει τη δυνατότητα να τη διαθέσει πριν από τη λήξη της ή να την προεξοφλήσει στην τράπεζα. ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

Η πράξη της πώλησης μίας συναλλαγματικής ονομάζεται προεξόφληση, και το ποσό το οποίο θα εισπραχθεί δεν θα είναι το αναγραφόμενο επί αυτής ποσό, το οποίο ονομάζεται ονομαστική (ή μέλλουσα) αξία, αλλά η παρούσα αξία της συναλλαγματικής. Γενικά, εάν Ct είναι η ονομαστική αξία συναλλαγματικής που οφείλεται σε χρόνο t<1 έτος, η παρούσα αξία αυτής προς επιτόκιο r θα ισούται με : Co = __Ct___ (1+r*t) ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

Προεξόφλημα Η διαφορά T = Ct -Co ονομάζεται έκπτωση ή προεξόφλημα ή υφαίρεση Διακρίνουμε την θεωρητική ή εσωτερική προεξόφληση και την εμπορική ή εξωτερική. Αντίστοιχα έχουμε το εσωτερικό και το εξωτερικό προεξόφλημα. εσωτερικό προεξόφλημα. ο τόκος υπολογίζεται για το χρονικό διάστημα μεταξύ της ημερομηνίας προεξόφλησης και της ημερομηνίας λήξης της συναλλαγματικής. Ο κάτοχος της συναλλαγματικής λαμβάνει την αξία Co, την οποία αν τοποθετήσει στην τράπεζα με επιτόκιο r, θα εισπράξει κατά τον χρόνο λήξης της συναλλαγματικής το ποσό Ct. T(εσ)=Ct-Co=Co*t*r* ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

εξωτερικό προεξόφλημα. Οι τράπεζες υπολογίζουν τον τόκο επί της ονομαστικής αξίας της συναλλαγματικής και καταβάλλουν στον πελάτη την διαφορά. T(εξ)=Ct*t*r ο πελάτης θα εισπράξει C’o=Ct-T =Ct-(Ct*t*r) C’o=Ct*(1-t*r) T(εσ)=Co*t*r* T(εξ)=Ct*t*r Το εξωτερικό προεξόφλημα είναι μεγαλύτερο από το εσωτερικό και επομένως δεν συμφέρει στον κάτοχο της συναλλαγματικής. ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

ΑΣΚΗΣΗ Τεχνική εταιρία έχει υπογράψει μια συναλλαγματική ονομαστικής αξίας 2.000 ευρώ, η οποία λήγει την 10η Αυγούστου του τρέχοντος έτους. Ο εργολάβος ο οποίος κατέχει τη συναλλαγματική την προεξοφλεί τη 10η Μαρτίου του τρέχοντος έτους προς ονομαστική επιτόκιο 15%. Ζητείται να υπολογιστούν το εξωτερικό και εσωτερικό προεξόφλημα. ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

Λύση άσκησης Ct = Co*(1+r*t) Co= Ct__ 1+r*t Co= 2.000_________ 1+[0.15*(150/360)] Co= 1.882 T(εσ)=Ct-Co= 2.000 – 1.882= 118 ή T(εσ)=Co*t*r*=1.882*0.15*(150/360)= 118 C’o=Ct*(1-t*r)= 2.000*[1-(150/360)*0.15]=1.875 T(εξ) = Ct –C’o=2.000 – 1.875 = 125 ή T(εξ)=Ct*t*r*=2.000*0.15*(150/360)= 125 ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

Ασκήσεις προς λύση Ασκηση 1: Εστω ότι κατατίθενται σήμερα στη Τράπεζα 1.000 ευρώ για 6 μήνες με επιτόκιο 10%. Ποιος ο τόκος και ποια η τελική αξία του ποσού αυτού. (Λύση: 50 και 1050). Ασκηση 2: Ποια η τελική αξία ποσού 10.000 ευρώ που κατατίθεται σήμερα στη Τράπεζα με επιτόκιο 12% για 6 χρόνια, εάν υπολογιστεί α) ο απλός τόκος και β) ο ανατοκισμός. (Λύση: 17.200 και 19.738,23). Ασκηση 3: Γραμμάτιο 10.000 ευρώ λήξεως 90 ημερών προεξοφλείται σήμερα, με επιτόκιο 10 %. Ποιος ο τόκος και ποιό το προϊόν της προεξόφλησης. (Λύση: 250 και 9.750). Ασκηση 4: Εστω ότι ο κ. Γεωργίου κατέθεσε στη τράπεζα 10.000 ευρώ για το σχηματισμό κεφαλαίου, το οποίο θα αποφέρει τόκο 8%, ανατοκιζόμενο κάθε τρίμηνο για 4 χρόνια και τόκο 10% ανατοκιζόμενο κάθε 6 μήνες για τα επόμενα 6 χρόνια. Πόσα χρήματα θα έχουν συγκεντρωθεί στο κεφάλαιο αυτό στο τέλος των 10 ετών. (Λύση: 24.654). ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

πίνακας συντελεστών μελλοντικής αξίας   Έτος 1% 3% 5% 6% 8% 10% 12% 14% 15% 16% 18% 1 1,0100 1,0300 1,0500 1,0600 1,0800 1,1000 1,1200 1,1400 1,1500 1,1600 1,1800 2 1,0201 1,0609 1,1025 1,1236 1,1664 1,2100 1,2544 1,2996 1,3225 1,3456 1,3924 3 1,0303 1,0927 1,1576 1,1910 1,2597 1,3310 1,4049 1,4815 1,5209 1,5609 1,6430 4 1,0406 1,1255 1,2155 1,2625 1,3605 1,4641 1,5735 1,14^4 1,7490 1,8106 1,9388 5 1,0510 1,1593 1,2763 1,3382 1,4693 1,6105 1,7623 1,9254 2,0114 2,1003 2,2878 6 1,0615 1,1941 1,3401 1,4185 1,5869 1,7716 1,9738 2,1950 2,3131 2,4364 2,6996 7 1,0721 1,2299 1,4071 1,5036 1,7138 1,9487 2,2107 2,5023 2,6600 2,8262 3,1855 8 1,0829 1,2668 1,4775 1,5938 1,8509 2,1436 2,4760 2,8526 3,0590 3,2784 3,7589 9 1,0937 1,3048 1,5513 1,6895 1,9990 2,3579 2,7731 3,2519 3,5179 3,8030 4,4355 10 1,1046 1,3439 1,6289 1,7908 2,1589 2,5937 3,1058 3,7072 4,0456 4,4114 5,2338 11 1,1157 1,3842 1,7103 1,8983 2,3316 2,8531 3,4785 4,2262 4,6524 5,1173 6,1759 12 1,1268 1,4258 1,7959 2,0122 2,5182 3,1384 3,8960 4,8179 5,3503 5,9360 7,2876 13 1,1381 1,4685 1,8856 2,1329 2,7196 3,4523 4,3635 5,4924 6,1528 6,8858 8,5994 ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

Ct = Co + Co*r*t = Co*(1+r*t) = λύσεις Ασκηση 1: Εστω ότι κατατίθενται σήμερα στη Τράπεζα 1.000 ευρώ για 6 μήνες με επιτόκιο 10%. Ποιος ο τόκος και ποια η τελική αξία του ποσού αυτού. Ct = Co + Co*r*t = Co*(1+r*t) = 1.000 * [1+(0,10*μ/12)] = 1.000 * [1+(0,10*6/12)]= = 1.050 ευρώ Tόκος = Ct –Co = 1.050 -1.000 = 50 ευρώ ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

Ct = Co + Co*r*t = Co*(1+r*t) = Ασκηση 2: Ποια η τελική αξία ποσού 10.000 ευρώ που κατατίθεται σήμερα στη Τράπεζα με επιτόκιο 12% για 6 χρόνια, εάν υπολογιστεί α) ο απλός τόκος και β) ο ανατοκισμός. Α) απλός τόκος Ct = Co + Co*r*t = Co*(1+r*t) = 10.000 * [1+(0,12*6)] = 10.000 * [1+(0,72)]= = 17.200 ευρώ ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

Χρησιμοποιώ την εξίσωση της σύνθετης Β) ανατοκισμός Χρησιμοποιώ την εξίσωση της σύνθετης Κεφαλαιοποίησης: Cn = Co * (1+r)n για χρονικό διάστημα 6 ετών και με επιτόκιο 12%. Από τον πίνακα υπολογισμού του συντελεστή ανατοκισμού για t=6 και επιτόκιο 12%, προκύπτει η τιμή 1,973823. Επομένως η εξίσωση της σύνθετης κεφαλαιοποίησης γίνεται: Cn = 10.000 * (1+0,12)6 =10.000 * 1,973823 = = 19.738,23 ευρώ ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

Ο τόκος ισούται T=Co*r*t = 10.000*0,10*(90/360)= = 250 ευρώ τόκος Ασκηση 3: Γραμμάτιο 10.000 ευρώ λήξεως 90 ημερών προεξοφλείται σήμερα, με επιτόκιο 10 %. Ποιος ο τόκος και ποιο το προϊόν της προεξόφλησης. Ο τόκος ισούται T=Co*r*t = 10.000*0,10*(90/360)= = 250 ευρώ τόκος Προϊόν προεξόφλησης = 10.000 – 250 = 9.750 ευρώ ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

Ασκηση 4: Εστω ότι ο κ. Γεωργίου κατέθεσε στη τράπεζα 10 Ασκηση 4: Εστω ότι ο κ. Γεωργίου κατέθεσε στη τράπεζα 10.000 ευρώ για το σχηματισμό κεφαλαίου, το οποίο θα αποφέρει τόκο 8%, ανατοκιζόμενο κάθε τρίμηνο για 4 χρόνια και τόκο 10% ανατοκιζόμενο κάθε 6 μήνες για τα επόμενα 6 χρόνια. Πόσα χρήματα θα έχουν συγκεντρωθεί στο κεφάλαιο αυτό στο τέλος των 10 ετών. 0___1___2 3 4 10 _t Co=10.000 C4=? C10=? Η άσκηση έχει 2 φάσεις. Στην 1η φάση θα υπολογίσουμε το κεφάλαιο στο 4ο έτος, γνωρίζοντας ότι στο 1ο έτος το κεφάλαιο είναι 10.000 ευρώ. Θα πρέπει δηλαδή να υπολογίσουμε την μελλοντική αξία στο 4ο έτος. Ο ανατοκισμός γίνεται κάθε τρίμηνο για 4 χρόνια, επομένως το χρονικό διάστημα είναι t=(4 τρίμηνο το έτος)*4 χρόνια = 4*4 = 16 τρίμηνα. ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

πίνακας συντελεστών μελλοντικής αξίας 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,1200 2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2321 1,2544 3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,3676 1,4049 4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5181 1,5735 5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,6851 1,7623 6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,8704 1,9738 7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,0762 2,2107 8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,3045 2,4760 9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,5580 2,7731 10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 2,8394 3,1058 11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,1518 3,4785 12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,4985 3,8960 13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 3,8833 4,3635 14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,3104 4,8871 15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 4,7846 5,4736 16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950 5,3109 6,1304 ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας

Με τον ίδιο τρόπο για τα επόμενα 6 χρόνια έχω: Το επιτόκιο r=8% ανά έτος, άρα το διαιρώ με 4 και βρίσκω το επιτόκιο ανά τρίμηνο = 2%. Έχω επομένως επιτόκιο και χρόνο στην ίδια μονάδα χρόνου που είναι το τρίμηνο. Cn = Co * (1+r)n = 10.000* (1+0,02)16 = =10.000*1,3728 = 13.728 ευρώ Από τον πίνακα υπολογισμού του συντελεστή ανατοκισμού για t=16 και επιτόκιο 2%, προκύπτει η τιμή 1,3728. Με τον ίδιο τρόπο για τα επόμενα 6 χρόνια έχω: Cn’ = 13.728 * (1+0,05)12= 13.728 * 1,7959 = = 24.654 ΔΔΕ 4η Νίκος Μπλάνας