Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Ομογενείς Γραμμικές δ.ε. 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Επίλυση: Σχηματίζουμε την χαρακτηριστική εξίσωση της διαφορικής εξίσωσης και εξετάζουμε τις ρίζες της (ΙΙ). Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

Αν Δ>0, δηλαδή, αν το τριώνυμο (ΙΙ) έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, r1,r2R, r1 r2 , τότε η γενική λύση της (Ι) δίνεται από την σχέση (ii) Αν Δ=0, δηλαδή, αν το τριώνυμο (ΙΙ) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα, r1=r2R, τότε η γενική λύση της (Ι) δίνεται από την σχέση (iii) Αν Δ<0, δηλαδή, αν το τριώνυμο (ΙΙ) έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες, r1=a+bi, r2=a-bi, a,bR, τότε η γενική λύση της (Ι) δίνεται από την σχέση

Παρατήρηση (iv) Στην περίπτωση (iii), δηλαδή, Δ<0, η γενική λύση της (Ι) δίνεται ισοδύναμα και από την σχέση Πράγματι, θέτουμε Για να είναι τα δύο μέλη εκ ταυτότητος ίσα πρέπει: και συνεπώς ισχύει η Παρατήρηση (iv).

και συνεπώς η γενική λύση της δ.ε. δίνεται από την σχέση ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. y΄΄-5y΄+6y = 0. Λύση: Παρατηρούμε ότι είναι μια ομογενής 2ης τάξης δ.ε. με σταθερούς συντελεστές. Σχηματίζουμε την χαρακτηριστική εξίσωση της δ.ε. r2-5r+6=0 (II) Δ=(-5)2-46=25-24=1>0, δηλαδή, έχει δύο πραγματικές διαφορετικές ρίζες και συνεπώς η γενική λύση της δ.ε. δίνεται από την σχέση Γενική λύση της δ.ε.

και συνεπώς η γενική λύση της δ.ε. δίνεται από την σχέση ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. y΄΄-2y΄+y = 0. Λύση: Παρατηρούμε ότι είναι μια ομογενής 2ης τάξης δ.ε. με σταθερούς συντελεστές. Σχηματίζουμε την χαρακτηριστική εξίσωση της δ.ε. r2-2r+1=0 (II) Δ=(-2)2-41=4-4=0, δηλαδή, έχει διπλή πραγματική ρίζα και συνεπώς η γενική λύση της δ.ε. δίνεται από την σχέση Γενική λύση της δ.ε.

και συνεπώς η γενική λύση της δ.ε. δίνεται από την σχέση ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. y΄΄+2y΄+5y = 0. Λύση: Παρατηρούμε ότι είναι μια ομογενής 2ης τάξης δ.ε. με σταθερούς συντελεστές. Σχηματίζουμε την χαρακτηριστική εξίσωση της δ.ε. r2+2r+5=0 (II) Δ=22-45=4-20=-16<0, δηλαδή, έχει μιγαδικές ρίζες της μορφής και συνεπώς η γενική λύση της δ.ε. δίνεται από την σχέση Γενική λύση της δ.ε.

και συνεπώς η γενική λύση της δ.ε. δίνεται από την σχέση ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται το πρόβλημα των αρχικών τιμών y΄΄-6y΄+25y = 0, με y(0)=-3 και y΄(0)=-1. Να αποδειχθεί ότι η λύση του προβλήματος είναι η συνάρτηση Λύση: Παρατηρούμε ότι είναι μια ομογενής 2ης τάξης δ.ε. με σταθερούς συντελεστές. Σχηματίζουμε την χαρακτηριστική εξίσωση της δ.ε. r2-6r+25=0 (II) Δ=(-6)2-425=36-100=-64<0, δηλαδή, έχει μιγαδικές ρίζες της μορφής και συνεπώς η γενική λύση της δ.ε. δίνεται από την σχέση Λαμβάνοντας υπόψη τις αρχικές συνθήκες της Άσκησης έχουμε

και συνεπώς η λύση της δ.ε. γράφεται Από την Παρατήρηση (iv) έχουμε ισοδύναμα Τελικά,

Ομογενείς Γραμμικές δ.ε. τάξης η, η>2 με σταθερούς συντελεστές Μία ομογενής δ.ε. η-τάξης με σταθερούς συντελεστές έχει την μορφή: Επίλυση: σχηματίζουμε την χαρακτηριστική εξίσωση της (Ι) : Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Αν το πολυώνυμο (ΙI) έχει η-ρίζες πραγματικές διαφορετικές μεταξύ τους, δηλαδή, riR, i{1,2,…,n}, rirj, i,j{1,2,…,n}, τότε η γενική λύση της (Ι) δίνεται από την σχέση

(ii) Αν το πολυώνυμο (ΙI) έχει k-ρίζες πραγματικές (k<n) διαφορετικές μεταξύ τους, δηλαδή, riR, i{1,2,…,k}, k<n, rirj, i,j{1,2,…,k}, βαθμού πολλαπλότητας, αντίστοιχα, miN, i{1,2,…,k}, τότε η γενική λύση της (Ι) δίνεται από την σχέση όπου Ρi(x), i{1,2,…,k} είναι πλήρη πολυώνυμα με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, βαθμών, αντίστοιχα, mi-1, i{1,2,…,k}. (iii) Αν το πολυώνυμο (ΙI) έχει μιγαδικές ρίζες a+bi, a-bi βαθμού πολλαπλότητας 1, τότε η γενική λύση της (Ι) δίνεται από την σχέση όπου Ρ1(x), Ρ2(x), είναι πολυώνυμα μηδενικού βαθμού, δηλαδή, σταθερές.

(iv) Αν το πολυώνυμο (ΙI) έχει μιγαδικές ρίζες a+bi, a-bi βαθμού πολλαπλότητας m≤n, τότε η γενική λύση της (Ι) δίνεται από την σχέση όπου Ρ1(x), Ρ2(x), είναι πλήρη πολυώνυμα με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, βαθμού n-m το κάθε ένα.

r3+4r2+r-6=(r-1)(r+2)(r+3) τρεις ρίζες πραγματικές διαφορετικές ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. y΄΄΄+4y΄΄+y΄-6y = 0. Λύση: Παρατηρούμε ότι είναι μια ομογενής 3ης τάξης δ.ε. με σταθερούς συντελεστές. Σχηματίζουμε την χαρακτηριστική εξίσωση της δ.ε. r3+4r2+r-6=0 (II) Οι διαιρέτες του σταθερού όρου της (ΙΙ) είναι ±1, ±2, ±3, ±6. Αναζητούμε αυτόν που μηδενίζει την εξίσωση (ΙΙ): r(1) : 13+412+1-6=6-6=0 και συνεπώς το πολυώνυμο διαιρείται με το r-1 r-1 r3+4r2+r-6 -r3+r2 r2+5r+6 r3+4r2+r-6=(r-1)(r2+5r+6) 5r2+r-6 -5r2+5r 6r-6 -6r+6 r3+4r2+r-6=(r-1)(r+2)(r+3) τρεις ρίζες πραγματικές διαφορετικές

Επειδή οι τρείς ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι r1=1, r2=-2, r3=-3 έπεται ότι η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνεται από την σχέση γενική λύση

γενική λύση ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. y΄΄΄+3y΄΄+3y΄+y = 0. Λύση: Παρατηρούμε ότι είναι μια ομογενής 3ης τάξης δ.ε. με σταθερούς συντελεστές. Σχηματίζουμε την χαρακτηριστική εξίσωση της δ.ε. r3+3r2+3r+1=0  (r+1)3=0 (II) Η χαρακτηριστική εξίσωση της δ.ε. έχει μια πραγματική ρίζα r=-1, βαθμού πολλαπλότητας 3 και συνεπώς η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνεται από την σχέση όπου Ρ1(x), είναι ένα πλήρες πολυώνυμο με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, 2ου βαθμού ως προς x, δηλαδή, Ρ1(x)=c0+c1x+c2x2, ciR. Τελικά, η γενική λύση δίνεται ως γενική λύση

r3+4r2+r-6=(r+1)(r-2)(r+1)=(r+1)2(r-2) ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. y΄΄΄-3y΄-2y = 0. Λύση: Παρατηρούμε ότι είναι μια ομογενής 3ης τάξης δ.ε. με σταθερούς συντελεστές. Σχηματίζουμε την χαρακτηριστική εξίσωση της δ.ε. r3-3r-2=0 (II) Οι διαιρέτες του σταθερού όρου της (ΙΙ) είναι ±1, ±2. Αναζητούμε αυτόν που μηδενίζει την εξίσωση (ΙΙ): r(1) : 13-31-20 r(-1) : (-1)3-3(-1)-2=-1+3-2=0 και συνεπώς το πολυώνυμο διαιρείται με το r+1 r+1 r3-3r-2 -r3-r2 r2-r-2 r3-3r-2=(r+1)(r2-r-2) -r2-3r-2 r2+r -2r-2 2r+2 r3+4r2+r-6=(r+1)(r-2)(r+1)=(r+1)2(r-2)

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει μια πραγματική ρίζα βαθμού πολλαπλότητας 2, r1=-1 και μία πραγματική ρίζα βαθμού πολλαπλότητας 1, r2=2. Επομένως η γενική λύση της δ.ε. δίνεται από την σχέση όπου Ρ1(x), είναι ένα πλήρες πολυώνυμο με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, 1ου βαθμού ως προς x, δηλαδή, P1(x)=c1+c2x, c1,c2R και P2(x) είναι ένα πλήρες πολυώνυμο με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, μηδενικού βαθμού ως προς x, δηλαδή, Ρ2(x)=c3, c3R. Τελικά, η γενική λύση δίνεται ως γενική λύση

ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. y(5)+3y(4)+10y(3)+6y(2)+5y(1)-25y = 0. Λύση: Παρατηρούμε ότι είναι μια ομογενής 5ης τάξης δ.ε. με σταθερούς συντελεστές. Σχηματίζουμε την χαρακτηριστική εξίσωση της δ.ε. r5+3r4+10r3+6r2+5r-25=0 (II) Οι διαιρέτες του σταθερού όρου της (ΙΙ) είναι ±1, ±5, ±25. Αναζητούμε αυτόν που μηδενίζει την εξίσωση (ΙΙ): r(1) : 15+314+1013+612+51-25 = 25-25=0 και συνεπώς το πολυώνυμο διαιρείται με το r-1 r-1 r5+3r4+10r3+6r2+5r-25 -r5+r4 r4+4r3+14r2+20r+25 4r4+10r3+6r2+5r-25 -4r4+4r3 14r3+6r2+5r-25 -14r3+14r2 20r2+5r-25 -20r2+20r 25r-25 -25r+25 Μία ρίζα πραγματική r1=1

Επιπλέον, Παρατηρούμε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου Δ= 22-45=4-20=-16<0 άρα το τριώνυμο έχει μιγαδικές λύσεις βαθμού πολλαπλότητας 2. Δηλαδή, Κατά συνέπεια,

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει μια πραγματική ρίζα βαθμού πολλαπλότητας 1, r1=1 και μιγαδικές ρίζες r2=-1+2i, r3=-1-2i βαθμού πολλαπλότητας 2. Επομένως η γενική λύση της δ.ε. δίνεται από την σχέση a=-1, b=2, Ρ1(x), είναι ένα πλήρες πολυώνυμο με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, 1ου βαθμού ως προς x, δηλαδή, P1(x)=c2+c3x, c2,c3R και P2(x) είναι ένα πλήρες πολυώνυμο με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, 1ου βαθμού ως προς x, δηλαδή, Ρ2(x)=c4+c5x, c4,c5R. Τελικά, η γενική λύση δίνεται ως γενική λύση

Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Προσδιορισμός της γενικής λύσης ομογενούς γραμμικής δ.ε. 2ης τάξης αν γνωρίζουμε μία μερική λύση της y1=y1(x) Δίνεται η ομογενής δ.ε. 2ης τάξης με ai(x), i{01,2} συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα ΙR και a0(x)0, xΙ και η συνάρτηση y1 : IR: x y1=f(x) που αποτελεί μια λύση της. Ισοδύναμα η (Ι) γράφεται Ισχύουν τα ακόλουθα: και εξετάζουμε τις ρίζες της (ΙΙ). Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

(iii) Η γενική λύση της (ΙΙ) δίνεται από την σχέση αποτελεί μια δεύτερη λύση της δ.ε. (ΙΙ). (ii) To σύνολο των λύσεων {y1(x),y2(x)} αποτελεί ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων της δ.ε. (ΙΙ). (iii) Η γενική λύση της (ΙΙ) δίνεται από την σχέση y=y(x)= c1y1(x)+c2y2(x), ciR, i{1,2}, δηλαδή, γενική λύση

ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. (1-x2)y΄΄-2xy΄+2y = 0, x(-1,1), αν γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση με τύπο y1=y1(x)=x, αποτελεί μια μερική λύση της δ.ε. Λύση: Παρατηρούμε ότι είναι μια ομογενής 2ης τάξης δ.ε. η οποία ισοδύναμα γράφεται Σύμφωνα με τα προηγούμενα μια δεύτερη μερική λύση της (ΙΙ) θα δίνεται από την σχέση Υπολογίζουμε πρώτα το ολοκλήρωμα Επιπλέον, επειδή η y2=y2(x) αποτελεί μια μερική λύση της (ΙΙ), επιλέγουμε c=0 και συνεπώς

Στη συνέχεια υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα Μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών

και το ολοκλήρωμα γράφεται Επειδή η y2=y2(x) αποτελεί μια μερική λύση της (ΙΙ), επιλέγουμε c=0 και έχουμε Τέλος, επειδή το σύνολο των λύσεων {y1(x),y2(x)} αποτελεί ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων της δ.ε., έπεται ότι η γενική λύση δίνεται ως

y=y(x)= c1y1(x)+c2y2(x), ciR, i{1,2}, δηλαδή, γενική λύση