Οι Συμμετρίες και η Emmy

Γεωμετρικές Συμμετρίες

Αριθμοί 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Λίγο πιο σύνθετες καταστάσεις

Περιστροφή 360ο + Ανάκλαση Ανάκλαση + Περιστροφή 360ο Η σειρά έχει σημασία; Περιστροφή 360ο + Ανάκλαση R360 M Ανάκλαση + Περιστροφή 360ο R360 M R+M =M+R

Περιστροφή 120ο + Ανάκλαση Ανάκλαση + Περιστροφή 120ο Η σειρά έχει σημασία; Περιστροφή 120ο + Ανάκλαση R120 M Ανάκλαση + Περιστροφή 120ο M R120 R+M ≠ M+R (!!)

Περιστροφή 240ο + Ανάκλαση Ανάκλαση + Περιστροφή 240ο Η σειρά έχει σημασία; Περιστροφή 240ο + Ανάκλαση R240 M Ανάκλαση + Περιστροφή 240ο R240 M R+M ≠ M+R (!!)

Συμμετρία = Δυνατότητα για πρόβλεψη Piero della Francesca: Polittico della Misericordia

Εμπιστοσύνη στη συμμετρία… “Since many rich mines and other treasures have been found in countries north of the equator between 15o and 40o latitude, there is no doubt that countries alike exist south of the equator. The provinces in Peru and Chili rich of gold and silver, all positioned south of the equator, are revealing proofs hereof.” Από τη στιγμή που βρέθηκαν πλούσια μεταλλεία και άλλοι θησαυροί σε χώρες που βρίσκονται βορείως του Ισημερινού σε γεωγραφικά πλάτη μεταξύ 15 και 40 μοιρών, δεν υπάρχει αμφιβολία ότι όμοιες χώρες υπάρχουν και νοτίως του Ισημερινού. Οι πλούσιες σε χρυσάφι και ασήμι περιοχές του Περού και της Χιλής, όλες νοτίως του Ισημερινού, αποτελούν σαφείς αποδείξεις για αυτό. Abel Tasman, εξερευνητής της Αυστραλίας (1642)

It is only slightly overstating the case to say that Physics is the study of Symmetry. Philip Anderson Nobel (1977) Στη Φυσική τώρα…

Γιατί τόση επιμονή με τις συμμετρίες; Cherchez la femme…. Emmy Noether (1882-1935)

Θεώρημα της Noether Όταν ένα σύστημα είναι αναλλοίωτο υπό μία συνεχή ομάδα μετασχηματισμών, τότε υπάρχει μία ποσότητα που είναι συνάρτηση του συστήματος και της οποίας η τιμή δεν αλλάζει και αντιστρόφως. Göttingen (1915), Δημοσίευση 1918. Δηλαδή

Συμμετρίες Μετατόπιση Περιστροφή

Μετράμε τη δυναμική ενέργεια (V) δύο φορτίων y x r r2 r1 Γνωρίζουμε ότι Είναι δηλαδή

Χωρική μετατόπιση: y r r2 r1 r2 x r1 Διατήρηση της Ορμής! x  x + Dx y  y + Dy Διατήρηση της Ορμής! x y r r1 r2 r2 r1

Χρονική μετάθεση Διατήρηση της Ενέργειας! y x r r2 r1

Διατήρηση της Στροφορμής! x y r Περιστροφή: f  -f r2 r1

Συμμετρία βαθμίδας 3m 6m 6m 9m Βάθος νερού = 3m Βάθος νερού = 3m

Πιο περίπλοκες συμμετρίες Σε ομογενές βαρυτικό πεδίο, η κίνηση ενός σώματος είναι ανεξάρτητη από την κατακόρυφη μετατόπισή του. Το επίπεδο στο οποίο θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν δεν επηρεάζει την κίνηση. Οι εξισώσεις της κίνησης είναι “συμμετρικές σε κατακόρυφες ή οριζόντιες μετατοπίσεις.”

Συμμετρία βαθμίδας (gauge invariance)

Κατοπτρική Συμμετρία Ισχύει Δεν Ισχύει!! Πραγματικός κόσμος Δι’ εσόπτρου  Ισχύει Δεν Ισχύει!!

Κατοπτρική ανάκλαση (P) x  -x y  -y y x r r2 r1 x y

Αντιστροφή φορτίου (C) q  - q x y r r2 r1

Complex Familiar Symmetries Συμπέρασμα: Η ηλεκτρομαγνητική δύναμη έχει συμμετρία σε: -Χωρική μετατόπιση -Χρονική μετάθεση -Περιστροφή -Κατοπτρική ανάκλαση -Αντιστροφή φορτίου -Συμμετρία βαθμίδας (και άλλες) r r2 r1

Συμμετρία (Υπερ)νόμος Διατήρησης Συμμετρία μετατόπισης Διατήρηση της Ορμής Συμμετρία περιστροφής Διατήρηση της Στροφορμής Συμμετρία χρονικής μετατόπισης Διατήρηση της Ενέργειας Συμμετρία (αναλλοίωτο) βαθμίδας Διατήρηση του Ηλεκτρικού Φορτίου

Συνδυασμός Συμμετριών

M.C. Escher Day and Night

P-C P C Δεν είναι ίδια!!

C-P Δεν είναι ίδια!! C P