Μηχανική των ρευστών Ενότητα 4: Ανάλυση της κινήσεως του ρευστού Ενότητα 4: Ανάλυση της κινήσεως του ρευστού Βασίλειος Λουκόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Ανάλυση της κινήσεως του ρευστού Σκοποί ενότητας Ανάλυση της κινήσεως του ρευστού Μετάθεση, περιστροφή, γραμμική και γωνιακή παραμόρφωση του ρευστού. Συνοριακές συνθήκες.

Μετάθεση, περιστροφή, γραμμική και γωνιακή παραμόρφωση του ρευστού Ένα σώμα είναι δυνατόν να κινείται κατά διάφορους τρόπους. Τα ρευστά, λόγω της φύσης τους, παραμορφώνονται (αλλάζουν σχήμα) όταν υφίστανται την επίδραση διατμητικών τάσεων και η κίνηση τους είναι περισσότερο πολύπλοκη.

Μετάθεση, περιστροφή, γραμμική και γωνιακή παραμόρφωση του ρευστού (2) Υποθέτουμε δυο πράγματα : Η ροή είναι σταθερή Το ρευστό στοιχείο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.

Μετάθεση, περιστροφή, γραμμική και γωνιακή παραμόρφωση του ρευστού (3) Σε μια χρονική στιγμή t : Για το σημείο Α(x, y, z) η ταχύτητα θα είναι q(u, v, w). Για το σημείο Α’(x+dx, y+dy, z+dz) η ταχύτητα θα είναι 𝒒+𝑑𝒒(𝑢+𝑑𝑢, 𝑣+𝑑𝑣, 𝑤+𝑑𝑤).

Μετάθεση, περιστροφή, γραμμική και γωνιακή παραμόρφωση του ρευστού (4) Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα dt το ρευστό στοιχείο έχει μετακινηθεί και έχει μια διαφορετική θέση στο χώρο. Όποτε οι συντεταγμένες των σημείων για την χρονική στιγμή 𝑡+𝑑𝑡 είναι : Για το σημείο Α (x+udt, y+vdt, z+wdt) Για το σημείο Α’ (x+dx+(u+du)dt, y+dy+(v+dv)dt, z+dz+(w+dw)dt)

Μετάθεση, περιστροφή, γραμμική και γωνιακή παραμόρφωση του ρευστού (5) Ορίζουμε σαν 𝑑 𝒓 𝑡 το διάνυσμα 𝑨𝑨′ 𝑡 κατά την χρονική στιγμή t και σαν 𝑑 𝒓 𝑡+𝑑𝑡 το ίδιο διάνυσμα κατά την χρονική στιγμή t+dt δηλαδή 𝑨𝑨′ 𝑡+𝑑𝑡 . Οι συνιστώσες του 𝑑 𝒓 𝑡 = 𝑨𝑨′ 𝑡 είναι : 𝑑 𝒓 𝑡,𝑥 =𝑑𝑥 𝑑 𝒓 𝑡,𝑦 =𝑑𝑦 𝑑 𝒓 𝑡,𝑧 =𝑑𝑧 Οι συνιστώσες του 𝑑 𝒓 𝑡+𝑑𝑡 = 𝑨𝑨′ 𝑡+𝑑𝑡 είναι : 𝑑 𝒓 (𝑡+𝑑𝑡),𝑥 =𝑑𝑥+𝑑𝑢𝑑𝑡 𝑑 𝒓 (𝑡+𝑑𝑡),𝑦 =𝑑𝑦+𝑑𝑣𝑑𝑡 𝑑 𝒓 (𝑡+𝑑𝑡),𝑧 =𝑑𝑤+𝑑𝑤𝑑𝑡

Μετάθεση, περιστροφή, γραμμική και γωνιακή παραμόρφωση του ρευστού (6) Τελικά, οι συνιστώσες του διανύσματος 𝑑 𝒓 𝑡+𝑑𝑡 = 𝑨𝑨′ 𝑡+𝑑𝑡 με βάση πράξεις και απλοποιήσεις είναι : 𝑑 𝒓 𝑡+𝑑𝑡 ,𝑥 =dx+ 𝐸 𝑥𝑥 𝑑𝑥+ 1 2 𝑉 𝑥𝑦 𝑑𝑦+ 1 2 𝑉 𝑥𝑧 𝑑𝑧+ 1 2 𝜂𝑑𝑧− 1 2 𝜉𝑑𝑦 𝐸 𝑥𝑥 𝑑𝑥+ 1 2 𝑉 𝑥𝑦 𝑑𝑦+ 1 2 𝑉 𝑥𝑧 𝑑𝑧+ 1 2 𝜂𝑑𝑧− 1 2 𝜉𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑 𝒓 𝑡+𝑑𝑡 ,𝑦 =dy+ 𝐸 𝑦𝑦 𝑑𝑦+ 1 2 𝑉 𝑥𝑦 𝑑𝑦+ 1 2 𝑉 𝑥𝑧 𝑑𝑧+ 1 2 𝜁𝑑𝑥− 1 2 𝜉𝑑𝑧 𝐸 𝑦𝑦 𝑑𝑦+ 1 2 𝑉 𝑥𝑦 𝑑𝑦+ 1 2 𝑉 𝑥𝑧 𝑑𝑧+ 1 2 𝜁𝑑𝑥− 1 2 𝜉𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑑 𝒓 𝑡+𝑑𝑡 ,𝑧 =dz+ 𝐸 𝑧𝑧 𝑑𝑧 1 2 𝑉 𝑥𝑧 𝑑𝑥+ 1 2 𝑉 𝑦𝑧 𝑑𝑦+ 1 2 𝜉𝑑𝑦− 1 2 𝜂𝑑𝑥 𝑑𝑡

Μετάθεση, περιστροφή, γραμμική και γωνιακή παραμόρφωση του ρευστού (7) Οι ανωτέρω λοιπόν συντεταγμένες του 𝑑 𝒓 (𝑡+𝑑𝑡) μας περιγράφουν πλήρως την σε χρόνο dt πραγματοποιηθείσα μετατόπιση του ρευστού σωματιδίου. Η συνολική μετακίνηση του ρευστού στοιχείου μπορεί να χωριστεί σε τέσσερις μετακινήσεις.

Μετάθεση, περιστροφή, γραμμική και γωνιακή παραμόρφωση του ρευστού (8) Άρα η όλη μετακίνηση του σωματιδίου συνίσταται από τα εξής είδη μετακίνησης : Από απλή μετάθεση του στοιχείου, χωρίς μεταβολή της μορφής ούτε του προσανατολισμού. Από απλή περιστροφή, δηλαδή αλλαγή προσανατολισμού χωρίς μεταβολή μορφής. Από απλή γραμμική παραμόρφωση που οφείλεται σε μεταβολή του μήκους των πλευρών του στοιχείου. Από καθαρή γωνιακή παραμόρφωση που οφείλεται στην μεταβολή των τριέδρων γωνιών του στοιχείου.

Συνοριακές συνθήκες Όταν το ρευστό σώμα κινείται μέσα στο (κινούμενο ή ακίνητο) ρευστό, τότε τα μόρια του ρευστού που εφάπτονται της επιφάνειας του στερεού ορίου έχουν την ταχύτητα του χωρίς όμως να ολισθαίνουν πάνω στην επιφάνειά του.

Συνοριακές συνθήκες (2) Η φυσική αυτή πραγματικότητα επιβάλει τον διαχωρισμό των οριακών συνθηκών σε δυο είδη. Την φυσική οριακή συνθήκη. Την κινηματική οριακή συνθήκη.

Συνοριακές συνθήκες (3) Η φυσική οριακή συνθήκη ισχύει μόνο για τα πραγματικά ρευστά και είναι αποτέλεσμα της μη ολισθήσεως των ρευστών σωματιδίων που βρίσκονται σε επαφή με το στερεό όριο. Συνεπώς η εφαπτομενική συνιστώσα της ταχύτητας του ρευστού σε σταθερό όριο είναι μηδενική.

Συνοριακές συνθήκες (4) Η κινηματική συνθήκη, η οποία ισχύει τόσο για την επιφάνεια επαφής μεταξύ ρευστού ορίου όσο και για την επιφάνεια διαχωρισμού δυο μη μιγνυομένων ρευστών, είναι τέτοια ώστε να μην παρατηρείται ούτε κενό, ούτε διείσδυση. Η συνθήκη αυτή είναι γενική και ισχύει για ιδανικά και πραγματικά ρευστά.

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από το βιβλία: «Ρευστομηχανική Ι», Ν. Καφούσιας, Εκδόσεις Παν/μίου Πατρών, Πάτρα 1990, «Δυναμική Ρευστών», W.F. Hughes, J.A. Brighton, Σειρά Schaum, «Μηχανική Ρευστών», Α. Γούλας, Εκδόσεις Γιαχούδη-Γιαπούλη, «Μηχανική των ρευστών», Τσαγγάρης Σ., Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα 1995, «Μηχανική Ρευστών», Α. Γούλας, Εκδόσεις Γιαχούδη-Γιαπούλη, εκτός αν αναγράφονται διαφορετικά.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Βασίλειος Λουκόπουλος. «Μηχανική των Ρευστών. Ενότητα 4». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/PHY1945/

Τέλος Ενότητας