ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΚΕΡΑΙΩΝ

Πώς γίνεται η αναπαράσταση των ακεραίων στον Η/Υ; Ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να είναι θετικός, αρνητικός ή μηδέν. Χρησιμοποιούμε το σύμβολο του μείον (-), για να προσδιορίσουμε έναν αρνητικό ακέραιο. Ωστόσο, ένας υπολογιστής μπορεί να αποθηκεύσει μόνο πληροφορίες σε bits, τα οποία μπορούν να έχουν μόνο τις τιμές μηδέν ή ένα. Άρα, η αποθήκευση των αρνητικών ακεραίων σε έναν υπολογιστή απαιτεί κάποιο ιδιαίτερο τρόπο διαχείρισης.

Μη προσημασμένοι ακέραιοι Ένας μη προσημασμένος ακέραιος είναι ένας ακέραιος χωρίς πρόσημο, δηλ.μηδέν ή θετικός (0,1,2,3,4,...). Ο μέγιστος μη προσημασμένος ακέραιος εξαρτάται από τον αριθμό των bits που χρησιμοποιεί ο υπολογιστής. Με n δυαδικά ψηφία (bits), μπορούμε να παραστήσουμε 2n διαφορετικούς μη προσημασμένους ακεραίους με τιμές στο διάστημα 0 έως 2n-1 (γιατί;).

Πρόσθεση δυαδικών αριθμών

Προσημασμένοι ακέραιοι - Τρόποι αναπαράστασης Το πρόσημο ενός αριθμού αναπαρίσταται ξεχωριστά από το μέτρο του. Το ψηφίο μέγιστης σημαντικότητας (MSB), είναι το ψηφίο προσήμου, με τη σύμβαση ότι το 0 είναι για τους θετικούς ακεραίους και το 1 για τους αρνητικούς ακεραίους. Τα υπόλοιπα n-1 bits αντιπροσωπεύουν το μέτρο (απόλυτη τιμή) του ακεραίου.

Παράσταση προσήμου-μέτρου

Παράσταση προσήμου-μέτρου για n=8 bit: Πόσοι θετικοί ακεραίοι μπορούν να αναπαρασταθούν; - Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος ακέραιος που μπορεί να αναπαρασταθεί; - Τι συμβαίνει με το 0;

Παράσταση προσήμου-μέτρου για n=8 bit: 00000000 εως 01111111 (θετικοί) 0 εως +127 11111111 εως 10000000 (Αρνητικοί) -127 εως 0

Παράσταση συμπληρώματος ως προς 1 Το ψηφίο μέγιστης σημαντικότητας (MSB), είναι το ψηφίο προσήμου (0 για θετικούς ακεραίους και το 1 για αρνητικούς) Τα υπόλοιπα n-1 bits αντιπροσωπεύουν το μέτρο του ακεραίου, ως εξής: αν ο αριθμός είναι θετικός, το μέτρο του δίδεται από τα υπόλοιπα n-1 bits αν ο αριθμός είναι αρνητικός, το μέτρο του δίνεται από το συμπλήρωμα ως προς 1

Συμπλήρωμα ως προς 1 Αντικαθιστούμε όλα τα 1 του αριθμού με 0 και όλα τα 0 με 1 πχ.

Παράσταση συμπληρώματος ως προς 2 Είναι ο πιο συνηθισμένος τρόπος αναπαράστασης ακεραίων κατά τη διάρκεια επεξεργασίας από έναν υπολογιστή. Όπως και στις προηγούμενες παραστάσεις, αν το MSB του αριθμού είναι 0, ο αριθμός είναι θετικός και το μέτρο του δίδεται από τα υπόλοιπα n-1 bits Εάν το MSB του αριθμού είναι 1, τότε ο αριθμός είναι αρνητικός. Για να βρούμε το μέτρο του αριθμού, πρέπει να υπολογίσουμε το συμπλήρωμα ως προς 2 και των n ψηφίων του (δηλαδή λαμβάνουμε υπόψη και το πρόσημο).

Παράσταση συμπληρώματος ως προς 2 Το συμπλήρωμα ως προς 2 ενός δυαδικού αριθμού βρίσκεται, εάν αντικαταστήσουμε το 0 με 1 και το 1 με 0 (συμπλήρωμα ως προς 1) και στη συνέχεια προσθέσουμε 1

Παράσταση συμπληρώματος ως προς 2 Για n=8 bit: Πόσοι θετικοί ακεραίοι μπορούν να αναπαρασταθούν; Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος ακέραιος που μπορεί να αναπαρασταθεί; Τι συμβαίνει με το 0;

Παράσταση συμπληρώματος ως προς 2 Για n=8 bit: 00000000 εως 01111111 (θετικοί) (0 εώς +127) 10000000 εως 11111111(Αρνητικοί) (-128 εως +127)

Η παράσταση συμπληρώματος ως προς 2 είναι αυτή που χρησιμοποιείται περισσότερο γιατί: Υπάρχει μόνο μία αναπαράσταση για τον αριθμό μηδέν Διευκολύνει και απλοποιεί πολύ την εκτέλεση των αριθμητικών πράξεων, Η αφαίρεση μπορεί να γίνει κάνοντας αρνητικό το δεύτερο αριθμό και προσθέτοντάς τον στον πρώτο. Πχ 11-5=11+(-5).

Υπερχείλιση (overflow) Με όποιον τρόπο κι αν παριστάνονται οι αριθμοί σε ένα υπολογιστή, υπάρχει πάντα ένα ανώτερο και ένα κατώτερο όριο στο μεγεθός τους. Τα όρια εξαρτώνται από: τον τρόπο παράστασης που χρησιμοποιείται τον αριθμό των δυαδικών ψηφίων (bits) που διατίθεται για τους αριθμούς αυτούς Ο όρος υπερχείλιση (overflow) χρησιμοποιείται για να περιγράψει την περίπτωση που το αποτέλεσμα μιας πράξης βρίσκεται εκτός αυτών των ορίων (εκτός του εύρους τιμών).

Στην αριθμητική με παράσταση συμπληρώματος ως προς δύο, η υπερχείλιση συνδέεται με τη μεταφορά κρατούμενων από και προς τη θέση του ψηφίου μέγιστης σημαντικότητας (MSB), κατά τη διάρκεια της πρόσθεσης.

συμπληρώματοςωςπροςδύο : Κανόναςυπερχείλισηςστηνπαράσταση . έχειτο αντίθετοπρόσημο – Ανπροστεθούνδυοαριθμοί μετοίδιοπρόσημο , τότε προκύπτειυπερχείλιση ανκαιμόνοαν τοαποτέλεσμα

Κανόνας υπερχείλισης στην παράσταση συμπληρώματος ως προς δύο: Αν προστεθούν δυο αριθμοί με το ίδιο πρόσημο τότε προκύπτει υπερχείλιση αν το αποτέλεσμα έχει αντίθετο πρόσημο