Τοπικές Διακλαδώσεις Σημείων Ισορροπίας Διανυσματικών Πεδίων Εισαγωγικά Στοιχεία Κατ’ αρχήν αναφερόμαστε στο θεώρημα των πεπλεγμένων συναρτήσεων. Έστω το διανυσματικό πεδίο με παράμετρο 𝜆 𝑦 =𝑔 𝑦,𝜆 , 𝑦∈ ℜ 𝑛 , 𝜆∈ ℜ 𝑝 , 𝑔: 𝐶 𝑟 ℜ 𝑛 𝑥 ℜ 𝑝 , 𝑟≥𝑠 (1) το οποίο θεωρείται ότι έχει ένα σημείο ισορροπίας 𝑦 0 , 𝜆 0 :𝑔 𝑦 0 , 𝜆 0 =0. Ανακύπτουν άμεσα δύο ερωτήματα: Είναι το σημείο ισορροπίας ευσταθές ή ασταθές Πως επηρεάζεται η ευστάθεια ή η αστάθεια καθώς μεταβάλλεται το 𝜆

𝑦 =𝑔 𝑦,𝜆 , 𝑦∈ ℜ 𝑛 , 𝜆∈ ℜ 𝑝 , 𝑔: 𝐶 𝑟 ℜ 𝑛 𝑥 ℜ 𝑝 , 𝑟≥𝑠 (1) Απάντηση στο 1ο ερώτημα: Eφαρμόζουμε γραμμικοποιημένη ανάλυση ευστάθειας του σημείου ισορροπίας, εξετάζοντας το γραμμικοποιημένο σύστημα: 𝜉 = 𝐷 𝑦 𝑔 𝑦 0 , 𝜆 0 𝜉 , 𝜉∈ ℜ 𝑛 (2) Αν το 𝑦 0 , 𝜆 0 είναι υπερβολικό, τότε η ροή του (2) είναι ισοδύναμη (στη γειτονιά του σημείου ισορροπίας 𝜉=0) με τη ροή του (1) σε μια γειτονιά του 𝑦 0 , 𝜆 0 . Γνωρίζουμε επίσης ότι, αν ο πίνακας 𝐷 𝑦 𝑔 𝑦 0 , 𝜆 0 δεν έχει ιδιοτιμές πάνω στο φανταστικό άξονα, είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή ∃ 𝐷 𝑦 −1 𝑔 𝑦 0 , 𝜆 0 . Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα των πεπλεγμένων συναρτήσεων, υπάρχει μια μοναδική 𝐶 𝑟 συνάρτηση 𝑦=𝑦 𝜆 τέτοια ώστε 𝑔 𝑦 𝜆 ,𝜆 =0 για 𝜆 αρκούντως πλησίον του 𝜆 0 και με 𝑦 𝜆 0 = 𝑦 0 .

Αν το 𝑦 0 , 𝜆 0 είναι μη υπερβολικό, δεν ισχύει το παραπάνω θεώρημα, αναμένονται δε μεγάλες ποιοτικές αλλαγές της δυναμικής ροής για μικρή αλλαγή του 𝜆. Για τη μελέτη ευστάθειας ανάγουμε σύμφωνα με τα προηγούμενα τη ροή στο 𝑊 𝑙𝑜𝑐 𝐶 (0 και εξετάζουμε τη δυναμική του περιορισμένο συστήματος πάνω στο τοπικό αυτό πολλαπλό.

Στη συνέχεια εξετάζουμε τις απλούστερες μορφές που ένα σημείο ισορροπίας καθίσταται μη υπερβολικό. Αυτές, κατά σειρά απλότητας, και, αν για λόγους συντομογραφίας τεθεί 𝑮=𝐷 𝑦 𝑔 𝑦 0 , 𝜆 0 , είναι οι ακόλουθες: O 𝑮 έχει μια μηδενική ιδιοτιμή, και οι υπόλοιπες ιδιοτιμές του έχουν μη μηδενικό πραγματικό μέρος, O 𝑮 έχει ένα ζεύγος αμιγώς φανταστικών συζυγών ιδιοτιμών ±𝑗𝜔, O 𝑮 έχει μια διπλή μηδενική ιδιοτιμή, O 𝑮 έχει δύο συζυγή ζεύγη αμιγώς φανταστικών ιδιοτιμών κλπ.

Περίπτωση Μιας Μοναδικής Μηδενικής Ιδιοτιμής Έστω λοιπόν ότι το μητρώο 𝐷 𝑦 𝑔 𝑦 0 , 𝜆 0 έχει μια απλή μηδενική ιδιοτιμή και καμιά άλλη ιδιοτιμή με μηδενικό πραγματικό μέρος. Τότε, η δομή του δυναμικού συστήματος 𝑦 =𝑔 𝑦,𝜆 σε μια γειτονιά του 𝑦 0 , 𝜆 0 μπορεί να εξεταστεί από το αντίστοιχο περιορισμένο δυναμικό σύστημα πάνω στο 𝑊 𝑙𝑜𝑐 𝐶 ( 𝑦 0 , 𝜆 0 , της μορφής 𝑥 =𝑓 𝑥,𝜇 , 𝑥∈ℜ, 𝜇∈ℜ (εδώ το κεντρικό πολλαπλό έχει διάσταση 1). Μεταφέρουμε τους άξονες στο σημείο 𝑦 0 , 𝜆 0 θέτοντας 𝑥=𝑦− 𝑦 0 και 𝜇=𝜆− 𝜆 0 , οπότε θα ισχύουν οι σχέσεις 𝑓 0,0 =0,   𝜕𝑓 𝜕𝑥 0,0 =0 (3) οι οποίες αποτελούν αναγκαίες (αλλά όχι ικανές) συνθήκες για να συμβεί διακλάδωση. Ένα σημείο ισορροπίας 𝑥,𝜇 = 0,0 μιας οικογένειας διανυσματικών πεδίων, που παραμετροποιούνται από το 𝜇, λέμε ότι υφίσταται διακλάδωση στο 𝜇=0, αν η δυναμική ροή του διανυσματικού πεδίου σε γειτονιά του 𝑥,𝜇 = 0,0 δεν είναι ποιοτικά η ίδια με τη ροή σε γειτονιά που 𝑥=0 και 𝜇 κοντά στο μηδέν.

Διακλάδωση Κόμβου – Σέλας Έστω το διανυσματικό πεδίο 𝑥 =𝑓 𝑥,𝜇 , 𝑥∈ℜ, 𝜇∈ℜ (4) για το οποίο ισχύουν οι σχέσεις (3), δηλαδή το 𝑥,𝜇 = 0,0 είναι ένα μη υπερβολικό σημείο ισορροπίας του συστήματος. 𝜕𝑓 𝜕𝜇 0,0 ≠0 (5) Αν ισχύει ότι: τότε, σύμφωνα με το θεώρημα των πεπλεγμένων συναρτήσεων, υπάρχει μια συνάρτηση 𝜇=𝜇 𝑥 :𝜇 0 =0 (6α) και 𝑓 𝑥,𝜇 𝑥 =0 (6) Αναζητούμε συνθήκες, οι οποίες εγγυώνται πλήρως την τοπική εικόνα της διακλάδωσης. 𝑑𝜇 𝑑𝑥 (0)=0 (7) Πιο συγκεκριμένα, αν η 𝜇=𝜇 𝑥 εφάπτεται του άξονα του 𝑥, δηλαδή 𝜇=0. 𝑑 2 𝜇 𝑑 𝑥 2 (0)≠0 > < (8) Ακόμα, αν διαφοροποιείται η θέση της 𝜇=𝜇 𝑥 σε σχέση με τον άξονα 𝜇=0 (αριστερά ή δεξιά αυτού)

Θέση της καμπύλης 𝜇=𝜇 𝑥 ανάλογα με το πρόσημο της 𝑑 2 𝜇 𝑑 𝑥 2 (0)

Μετά από τον υπολογισμό 1ης και 2ης τάξης ολικών παραγώγων βρίσκουμε ότι οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για διακλάδωση κόμβου – σέλας είναι f 0,0 =0,   𝜕𝑓 𝜕𝑥 (0,0)=0 που εγγυάται ότι το σημείο ισορροπίας είναι μη υπερβολικό 𝜕𝑓 𝜕𝜇 0,0 ≠0 που εγγυάται την ύπαρξη μοναδικής 𝜇=𝜇 𝑥 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 (0,0)≠0 που εγγυάται τη φορά της διακλάδωσης

Διακλάδωση κόμβου – σέλας για (α) 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 (0,0)>0 και (β) για 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 (0,0)<0

Μετακρίσιμη Διακλάδωση 𝑓 0,0 =0,   𝜕𝑓 𝜕𝑥 (0,0)=0 Έστω εκ νέου ότι ισχύει η συνθήκη Επιθυμούμε να υπάρχουν δύο κλάδοι σημείων ισορροπίας, οι οποίοι να τέμνονται εγκάρσια στο 𝑥,𝜇 = 0,0 , δηλαδή να ισχύει ότι: 𝜕𝑓 𝜕𝜇 (0,0)=0 ….αλλιώς…. IFT Επίσης επιθυμούμε το 𝑥=0 να είναι λύση για κάθε 𝜇, που σημαίνει ότι 𝑓(𝑥,𝜇)=𝑥𝐹 𝑥,𝜇 (9α) όπου 𝐹 𝑥,𝜇 ≡ 𝑓(𝑥,𝜇 𝑥 , 𝑥≠0 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (0,𝜇) , 𝑥=0 Απαιτούμε επίσης η λύση 𝐹 𝑥,𝜇 =0 να μην έχει διακλάδωση, δηλαδή να ισχύει για τη σχέση αυτή το θεώρημα των πεπλεγμένων συναρτήσεων, που σημαίνει ότι 𝐹 0,0 =0.

Μετά από υπολογισμό ολικών παραγώγων και εξέταση συνθηκών βρίσκουμε ότι οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για μετακρίσιμη διακλάδωση είναι f 0,0 =0,   𝜕𝑓 𝜕𝑥 (0,0)=0 που εγγυάται ότι το σημείο ισορροπίας είναι μη υπερβολικό 𝜕𝑓 𝜕𝜇 (0,0)=0 που εγγυάται δύο κλάδους (χωρίς κανένας να έχει διακλάδωση) 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 (0,0)≠0 , 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝜇 (0,0)≠0

Μετακρίσιμη διακλάδωση για (α) − 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 (0,0) 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝜇 (0,0) >0 και (β) για − 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 (0,0) 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝜇 (0,0) <0

Διακλάδωση Τύπου Τρίαινας Μετά από παρόμοιες με πριν διαδικασίες, και με βάση την επιθυμία να υφίσταται διακλάδωση κόμβου-σέλας στο 𝐹 𝑥,𝜇 =0 βρίσκουμε ότι οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για διακλάδωση τύπου τρίαινας είναι 𝑓 0,0 =0,   𝜕𝑓 𝜕𝑥 (0,0)=0 𝑑𝜇 𝑑𝑥 (0)=0 𝑑 2 𝜇 𝑑 𝑥 2 ≠0 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 (0,0)=0 𝜕 3 𝑓 𝜕 𝑥 3 (0,0)≠0

Διακλάδωση τύπου τρίαινας για (α) − 𝜕 3 𝑓 𝜕 𝑥 3 (0,0) 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝜇 (0,0) >0 και (β) για − 𝜕 3 𝑓 𝜕 𝑥 3 (0,0) 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝜇 (0,0) <0

Παρατηρήσεις Οι διακλαδώσεις που αναλύθηκαν πριν απαιτούν μόνο μια παράμετρο για την περιγραφή τους, οπότε έχουν συνδιάσταση 1. Μη γραμμικοί όροι ανώτερης τάξης στην 𝑓 𝑥,𝜇 το μόνο που μπορούν να κάνουν είναι να επηρεάσουν τους κλάδους λύσεων μακριά από τις γειτονιές του μη υπερβολικού σημείου ισορροπίας, όπου συμβαίνουν οι διακλαδώσεις. Τα απλούστερα διανυσματικά πεδία, που εμφανίζουν τις παραπάνω διακλαδώσεις είναι: Κόμβου – Σέλας 𝑥 =𝜇± 𝑥 2 Μετακρίσιμη 𝑥 =𝜇𝑥∓ 𝑥 2 Τρίαινας 𝑥 =𝜇𝑥∓ 𝑥 3 Από αυτές η 1η είναι δομικά ευσταθής ενώ οι υπόλοιπες δύο δομικά ασταθείς (Θεωρία Καταστροφών).