Εισαγωγή στις Πιθανότητες Διδακτική των Μαθηματικών Χειμερινό εξάμηνο 2012-2013

Ορισμός Πείραμα τύχης είναι μία φυσική διαδικασία η οποία έχει ένα συγκεκριμένο σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Τα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα και τα μόνα πραγματοποιήσιμα, δηλαδή, σε κάθε επανάληψη του πειράματος τύχης θα συμβεί ακριβώς ένα από αυτά.

Παραδείγματα Η ρίψη ενός νομίσματος έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση κορώνας ή γραμμάτων. Η ρίψη ενός νομίσματος έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση ενός αριθμού από το 1 ως το 6.

Δειγματικός Χώρος Αναφερόμαστε στο σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος με τον όρο δειγματικός χώρος του πειράματος (Δ). Τα στοιχεία του δειγματικού χώρου τα ονομάζουμε δείγματα ή δειγματικά σημεία ( {x1, x2, …, xi, …} ) Δ = {x1, x2, …, xi, …} Ένας δειγματικός χώρος που έχει πεπερασμένο ή αριθμήσιμο πλήθος δειγμάτων, λέγεται διακριτός.

Παραδείγματα Το πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος έχει δειγματικό χώρο το σύνολο Δ = {Κ, Γ}, το οποίο αποτελείται από τα δύο πιθανά αποτελέσματα Κ (κορώνα) και Γ (γράμματα). Το πείραμα στο οποίο αναμένουμε την άφιξη ενός λεωφορείου στην στάση έχει δειγματικό χώρο το σύνολο Δ = {0,1,2,3,…,30} στο οποίο τα αποτελέσματα είναι χρόνοι αναμονής που κυμαίνονται από 0 έως 30 λεπτά. Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος της ρίψης ενός ζαριού;

Ενδεχόμενα Το σύνολο που έχει ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγεται ενδεχόμενο. Π.χ. στη ρίψη ενός ζαριού τα σύνολα Α={1,3,5}, Β={2,4,6} και Γ={3} είναι ενδεχόμενα. Βέβαιο ενδεχόμενο είναι αυτό που πραγματοποιείται πάντα. Αδύνατο ενδεχόμενο: Αυτό που δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του πειράματος τύχης.

Πιθανότητα Ενδεχομένου Κάθε ενδεχόμενο στον δειγματικό χώρο συνδέεται με ένα πραγματικό αριθμό ο οποίος ονομάζεται πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου. Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι το μαθηματικό μέγεθος που δίνει το πόσο «πιθανή» (με τη διαισθητική έννοια) είναι η εμφάνιση αυτού του αποτελέσματος.

Ορισμός Πιθανότητας Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου ισούται με τον λόγο: Όπου E είναι το πλήθος των ευνοϊκών ενδεχομένων (περιπτώσεων). Όπου S είναι το πλήθος των δυνατών ενδεχομένων (περιπτώσεων). Ισχύει ότι 0 ≤ E ≤ S.

Ορισμός Πιθανότητας Ισχύει ότι 0≤ E ≤ S Έτσι πάντα η πιθανότητα θα είναι ένας αριθμός μεταξύ του 0 και του 1. (ν.δ.ο.) Η πιθανότητα ενός αδύνατου ενδεχομένου ισούται με 0. Η πιθανότητα ενός βέβαιου ενδεχομένου ισούται με 1.

Παραδείγματα Ποια είναι η πιθανότητα η σβούρα να σταματήσει σε (α) Άρτιο αριθμό; (β) Περιττό αριθμό; 3. Με ποιο κλάσμα ισούται η πιθανότητα του ενδεχομένου η σβούρα να σταματήσει στο Α; A B C D 3 1 2 1.Ποια είναι η πιθανότητα η σβούρα να σταματήσει στο Α;

Παραδείγματα Ποια η πιθανότητα να τραβήξει κανείς μπλε κάρτα; κίτρινη κόκκινη μπλε πρασινη μαύρη

Παραδείγματα Ο Νίκος ρίχνει ένα ζάρι. Ποιο από τα παρακάτω είναι το λιγότερο πιθανό να προκύψει; Ένας άρτιος αριθμό; Ένας περιττός αριθμός; Ένας αριθμός μεγαλύτερος του 5;

Πιθανότητες + Ποσοστά Πόσο πιθανό είναι κάτι να συμβεί με τη χρήση ποσοστών. ½ Πιθανότητα 1 Αδύνατο να συμβεί (αδύνατο ενδεχόμενο) Το ίδιο πιθανό να συμβεί και να μην συμβεί 0% 50 % Ποσοστό Σίγουρο να συμβεί (βέβαιο ενδεχόμενο) 100%

Παραδείγματα 1. Με ποιο ποσοστό ισούται η πιθανότητα να έρθει αριθμός μεγαλύτερος του 1; Με ποιο ποσοστό ισούται η πιθανότητα να έρθει 4; Με ποιο ποσοστό ισούται η πιθανότητα να έρθει αριθμός περιττός; 4. Με ποιο ποσοστό ισούται η πιθανότητα να έρθει αριθμός περιττός στη ρίψη του ζαριού; 1 2 4 3 5

Δειγματικός χώρος πειράματος τύχης ενός σταδίου. Δειγματικός χώρος πειράματος τύχης δύο σταδίων.

Προτεινόμενες Δραστηριότητες Έ δημοτικού Οι μαθητές εκφράζουν την πιθανότητα για τα παρακάτω ενδεχόμενα, όταν ρίχνουμε ένα ζάρι: Η ένδειξη είναι 1, η ένδειξη είναι άρτιος αριθμός, η ένδειξη είναι πολλαπλάσιο του 3, η ένδειξη είναι διαιρέτης του 6.

Προτεινόμενες Δραστηριότητες ‘ΣΤ δημοτικού Οι μαθητές σε ομάδες ρίχνουν δύο ίδια νομίσματα (π.χ. δύο των 20 λεπτών) 20 φορές και καταγράφουν αν εμφανίζεται α) Κεφάλι και στα δύο, β) Γράμματα και στα δύο ή γ) διαφορετικές ενδείξεις και στα δύο νομίσματα. Συζητούν ποια περίπτωση εμφανίστηκε τις περισσότερες φορές και αν υπάρχει εξήγηση γι’ αυτό. Εκτελούν το ίδιο πείραμα με δύο διαφορετικά νομίσματα και προσπαθούν να βρουν ομοιότητες με το προηγούμενο. Περιγράφουν τον δειγματικό χώρο.