Γεωμετρική κατανομή
Γεωμετρική κατανομή – Ροπές
Ρ(Χ=n) = (4/5)n-1 (1/5) (n=1, 2, 3, …). Παράδειγμα Γεωμετρικής Κατανομής: Μετασχηματιστές δοκιμάζονται σε κατάσταση υπερφορτώσεων δικτύου. Η πιθανότητα του κάθε μετασχηματιστού να περάσει την δοκιμασία είναι 4/5 και οι δοκιμές χαρακτηρίζονται ως στατιστικά ανεξάρτητες. Οι δόκιμες σταματάνε μόλις κάποιος μετασχηματιστής αποτύχει να περάσει την δοκιμασία. Υπολογίστε τις τιμές πιθανότητας που αντιστοιχούν στον αριθμό δοκιμών. Οι δόκιμες τελειώνουν όταν το n-οστο μηχάνημα (n=1, 2, 3, …) παρουσιάσει δυσλειτουργία. Αυτό σημαίνει ότι οι πρώτοι n-1 μετασχηματιστές θα περάσουν την δοκιμασία, και ο n-οστος μετασχηματιστής αποτύχει. Αν Χ εκφράζει τον τυχαίο αριθμό δοκίμων, τότε Ρ(Χ=n) = (4/5)n-1 (1/5) (n=1, 2, 3, …). Το αποτέλεσμα του τύπου φαίνεται στο παρακάτω πίνακα: Στο παράδειγμα αυτό παρατηρείται ότι ο αριθμός των δοκίμων μπορεί να τείνει στο άπειρο, όμως η πιθανότητα τείνει στο μηδέν. Xi 1 2 3 … n-1 n pi 1/5 4/52 42/53 4n-2/5n-1 4n-1/5n
Παράδειγμα Γεωμετρικής Κατανομής: Κατά μήκος της πορείας ενός αυτοκινήτου υπάρχουν 4 σηματοδότες. Ο καθένας τους με πιθανότητα 0,5 επιτρέπει ή απαγορεύει την διέλευση του αυτοκινήτου. Να βρεθεί η συνάρτηση κατανομής της πιθανότητας ύπαρξης σηματοδοτών, οι οποίοι επιτρέπουν το αυτοκίνητο να περάσει με κάθε δυνατό αριθμό στάσεων. Χi τυχαίος αριθμός σηματοδοτών, τους οποίους το αυτοκίνητο πέρασε χωρίς στάση, και μπορεί να πάρει τις έξης τιμές: χ1=0, χ2=1, χ3=2, χ4=3, χ5=4 Οι πιθανότητες pi = Ρ(Χ = xi) ότι ο αριθμός των σηματοδοτών που πέρασε το αυτοκίνητο υπολογίζονται από τον τύπο: pi = qi-1p για i=1, 2, 3, 4 και pi = pi για i>4 όπου: p η πιθανότητα του σηματοδότη να δείχνει κόκκινο (p=0,5) Σαν αποτέλεσμα παίρνουμε: p1=0,5, p2=0,25, p3=0,125, p4=0,0625
Ρ(N=n) =pN(n) = (1-p)n-1p, n=1,2,3, … Παράδειγμα Γεωμετρικής Κατανομής Σ΄ένα σύνολο από λαμπτήρες διαπιστώνεται ότι τα 1% είναι δεν λειτουργούν. Πόσοι λμπτήρες πρέπει να πάρουμε έτσι ώστε η πιθανότητα, να υπάρχει τουλάχιστον ένα χαλασμένο λαμπάκι, θα είναι μικρότερη από 0,95; Τουλάχιστον ένας ελαττωματικός λαμπτήρας σημαίνει ότι πριν από αυτό εξετάσθηκε μία σειρά από λαμπτήρες που λειτουργούν χωρίς πρόβλημα. Αναμένει κανείς ότι το ελαττωματικό λαμπάκι μπορεί να εμφανισθεί στην πρώτη επιλογή ή στη δεύτερη ή στην τρίτη κ.ό.κ. ή στη n επιλογή. Ζητείται να βρεθεί το n που ανταποκρίνεται στα δεδομένα της ερώτησης. Αυτό θα γίνει με χρήση της Α.Σ.Κ. της γεωμετρικής κατανομής, σύμφωνα με τη σχέση (2.6.1) Ρ(N=n) =pN(n) = (1-p)n-1p, n=1,2,3, … Έτσι, ο ζητούμενος αριθμός n βρίσκεται από: n ³ ln (1 - p1) / ln (1 - p2) Σ’ αυτήν την περίπτωση Ρ1 = 0,95 Ρ2 = 0,01 Τότε n ³ ln 0,05 / ln 0,09 » 296