Μηχανική των υλικών Δικτυώματα Επιβλέπων: Γ. Αγγελόπουλος, καθηγητής Επιμέλεια: Πήττας Κωνσταντίνος, διπλ. Μηχ. Μηχ. Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Να είναι σε θέση ο φοιτητής να μπορεί να ελέγχει την ισοστατικότητα και την στερεότητα ενός δικτυώματος. Να μπορεί να επιλύσει ένα δικτύωμα. Να μπορεί να χαρακτηρίσει τις τάσεις που φέρει η κάθε ράβδος μια δικτυωτής κατασκευής.

Περιεχόμενα ενότητας Δικτυώματα στην καθημερινή ζωή Βασικές αρχές δικτυώματος Στοιχεία δικτυώματος Παραδοχές Κριτήρια στερεότητας-ισοστατικότητας Επίλυση δικτυωμάτων με μέθοδο κόμβων Επίλυση δικτυωμάτων με μέθοδο Ritter

Δικτυώματα στην καθημερινή ζωή Στις διαφάνειες που ακολουθουν παρατίθενται διάφορα χαρακτηριστικά είδη δικτυωμάτων όπως αυτά απαντώνται στην φύση και στην καθημερινή ζωή.

Βασικές έννοιες δικτυωμάτων Σύστημα λεπτών, αβαρών, ευθύγραμμων στερεών φορέων που συνδέονται μεταξύ τους με ελεύθερα στρεπτές αρθρώσεις και σχηματίζουν έναν στερεό σχηματισμό ονομάζεται δικτύωμα. Οι αρθρώσεις ονομάζονται κόμβοι και οι στερεοι φορείς ράβδοι. Διακρίνονται σε απλά και σύνθετα ανάλογα με τον τρόπο συναρμολόγησης όπως και σε χωρικά και επίπεδα ανάλογα με το αναπτύσσονται στις δύο ή στις τρείς διαστάσεις. Ένα δικτύωμα μπορεί να είναι είτε ισοστατικό είτε υπερστατικό ή υποστατικό

Στοιχεία δικτυωμάτων Οι άξονες των ράβδων και οι εξωτερικές δυνάμεις στο ίδιο επίπεδο (π.χ. δικτύωμα γέφυρας) Οι ράβδοι δεν φορτίζονται εγκάρσια. Το φορτίο μεταφέρεται στους κόμβους. Τα βάρη των ράβδων εφαρμόζονται και αυτά στους κόμβους με ισοκατανομή. Οι κόμβοι είναι ισοδύναμοι με ελεύθερα στρεπτές αρθρώσεις. Δηλαδή δεν μεταφέρουν ροπή, αλλά μόνο δύναμη. Με την εφαρμογή δύναμης F σε κάποιο κόμβο, εμφανίζονται αντιδράσεις στα σημεία στήριξης και εσωτερικές δυνάμεις, αξονικές, στις ράβδους, που ονομάζονται τάσεις. Ο καθορισμός των τάσεων αποτελεί την «ανάλυση» του δικτυώματος.

Παραδοχές α) Οι ράβδοι συνδέονται με αρθρώσεις και δέχονται μόνο αξονικά φορτία. β) Τα φορτία επενεργούν μόνο στους κόμβους. γ) Οι κεντροβαρικοί άξονες των ράβδων διέρχονται από τους κόμβους.

Επίλυση δικτυωτού φορέα Επίλυση δικτυώματος Επίλυση δικτυωτού φορέα Απόδειξη ισοστατικότητας φορέα. Απόδειξη στερεότητας σχηματισμού φορέα. Σχεδιασμός διαγράμματος ελευθέρου σώματος (ΔΕΣ). Υπολογισμός αντιδράσεων. Υπολογισμός δυνάμεων (τάσεων) στις ράβδους.

Κριτήρια στερεότητας Στερεότητα: Κριτήρια ελέγχου: Αν ένα δικτύωμα είναι απλή παράθεση τριγώνων. Αν δύο στερεά συνδέονται μεταξύ τους με τρεις ράβδους που οι διευθύνσεις του δεν συντρέχουν. Αν τρία στερεά συνδέονται ανά δύο με ράβδους που τέμνονται σε σημεία μη συνευθειακά.

Κριτήρια ισοστατικότητας Ισοστατικότητα: ρεξ. + ρεσ. = 2k όπου ρεξ.= αριθμός ράβδων του δικτυώματος ρεσ= αριθμός αγνώστων αντιδράσεων ή αριθμός ράβδων στήριξης του δικτυώματος στο έδαφος , k= αριθμός κόμβων Υπερστατικό: ρεξ. + ρεσ. > 2k δικτυωτός φορέας (ρεξ. + ρεσ. - 2k) φορές υπερστατικός Υποστατικό: ρεξ. + ρεσ. < 2k δικτυωτός φορέας [2k- (ρεξ. + ρεσ.)] φορές υποστατικός και λέγεται μηχανισμός

Βασικές μέθοδοι ανάλυσης δικτυώματος α) Μέθοδος κόμβων β) Μέθοδος τομών –Ritter γ) Μέθοδος Bow-Cremona

Μέθοδος κόμβων

Βήματα μεθόδου κόμβων Βήμα 1ο Θέλουμε να βρούμε τις δυνάμεις που ασκούνται στις δοκούς του δικτυώματος. Θεωρούμε ότι κάθε δοκός φέρει μια άγνωστη δύναμη κατά τη διεύθυνσή της. Ο υπολογισμός των δυνάμεων των δοκών θα γίνει μέσω του υπολογισμού των δυνάμεων στους κόμβους. Βήμα 2ο Υπολογίζουμε τις εξωτερικές αντιδράσεις του δικτυώματος γράφοντας τις εξισώσεις ισορροπίας για ολόκληρο το δικτύωμα. Εφόσον το δικτύωμα είναι στερεό σώμα μπορούμε να γράψουμε εξισώσεις ισορροπίας για τον υπολογισμό αγνώστων αντιδράσεων.

Βήματα μεθόδου κόμβων Βήμα 3ο Απομονώνουμε από το δικτύωμα τις δοκούς και τους κόμβους. Γράφουμε τις εξισώσεις ισορροπίας για κάθε κόμβο. Ξεκινάμε τη μέθοδο υπολογισμού από τον κόμβο στον οποίο συντρέχουν το πολύ δύο άγνωστες δυνάμεις, δηλαδή το πολύ δύο δοκοί. Τυπικά σχεδιάζουμε τις άγνωστες δυνάμεις στον κόμβο ώστε η φορά τους να είναι από τον κόμβο προς τη δοκό. Βήμα 4ο Τελειώνοντας με έναν κόμβο προχωρούμε στο γειτονικό στον οποίο και πάλι πρέπει να συντρέχουν το πολύ δύο άγνωστες δυνάμεις. Βήμα 5ο Έχοντας βρει τις δυνάμεις στους κόμβους μεταφέρουμε τις δυνάμεις των κόμβων στις δοκούς και καταγράφουμε τις τιμές κάθε καταπόνησης σε ένα πίνακα.

Συμβάσεις μεθόδου κόμβων Θεωρούμε ότι όταν : Μια αξονική δύναμη πλησιάζει τον κόμβο είναι θλιπτική ενώ όταν μία αξονική δύναμη απομακρύνεται από τον κόμβο είναι εφελκυστική Αρχικά: θεωρούμε όλες τις άγνωστες εσωτερικές δυνάμεις θετικές. Στον κόμβο που αναλύουμε οι άγνωστες δυνάμεις όχι πάνω από δύο.

Παράδειγμα με μέθοδο κόμβων 5cm Να υπολογιστούν οι εσωτερικές αξονικές δυνάμεις των ράβδων του παρακάτω δικτυώματος. Δίνονται: P1=600N, P2=200N, φ=60° Α) ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ ΣPx = 0 : P2 - HB = 0 => HB=200N ΣΜΑ = 0: P1∙5 + P2(2,5 ∙tan60°) – VB∙10 = 0 => VB = 386,6N ΣΜΒ = 0: VΑ∙10 - P1∙5 + P2(2.5 ∙ tan60°) = 0 => VΑ = 213,4N Επαλήθευση: ΣPy = 0 : VΑ - P1 + VB = 0 => 213,4N – 600N + 386,6N = 0 => 0 = 0!

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ i) Κόμβος Α ΣPx = 0: +S1∙cosφ + S5=0 => S5 = - S1∙cosφ ΣPy = 0: VA + S1∙sinφ =0 => S1 = - VA/sinφ = -213,4Ν/sin60° => S1 = -246,4N (θλιπτική) S5 = 123,2Ν (εφελκυστική) S5 S1 φ VA A ii) Κόμβος Γ ΣPx = 0: -S1∙cosφ + S2∙cosφ =0 => S2 = S1 = - 246,4Ν (θλιπτική) ΣPy = 0: S1∙sinφ – S6 - S2∙sinφ =0 => S6 = (- 246,4N - 246,4N)sin60° => S6 = - 492,8 ∙sin60 °=> S6 = 426,8N (εφελκυστική) S2 S1 φ S6

ΣPy = 0: -P1 + S6 + S7∙sinφ =0 => S7 = (600N - (- 426,8N)/sin60° iii) Κόμβος Δ ΣPx = 0: -S5+ S7∙cosφ + S4 =0 => S4 = S5 - S7∙cosφ= 123,2Ν - S7∙cos60° ΣPy = 0: -P1 + S6 + S7∙sinφ =0 => S7 = (600N - (- 426,8N)/sin60° => S7 = 200N (εφελκυστική) , S4 = 23,2Ν (εφελκυστική) S4 S5 P1 S6 S7 φ iv) Κόμβος Ε S2 ΣPx = 0: - S7∙cosφ + S2∙cosφ + S3∙cosφ + P2 =0 => s7 S3 v) Κόμβος B => Επαλήθευση S4 VB HB S3sin60° S3 S3cos60° ΣPy = 0 => VB + S3sin60° = 0 => 386,6N -446,4∙0,866 = 386,6 – 386,6 = 0

Μέθοδος τομών RITTER

Έννοιες και βασικές παραδοχές Χρησιμοποιείται είτε για τον υπολογισμό των τάσεων των ράβδων ενός σύνθετου δικτυώματος, είτε για την ταχύτερη εύρεση της δύναμης μιας ράβδου. Συνίσταται στην πραγματοποίηση μίας ή και περισσότερων τομών, καθεμιά από τις οποίες τέμνει το μικρότερο δυνατό αριθμό ράβδων (max 3 ράβδοι με άγνωστες εσωτερικές τάσεις). Η τομή χωρίζει το δικτύωμα σε δύο ανεξάρτητα τμήματα τα οποία ισορροπούν. Θεωρώντας τις άγνωστες εσωτερικές τάσεις σαν εξωτερικές και χρησιμοποιώντας συνθήκες ισορροπίας τις υπολογίζουμε. Και σε αυτήν την περίπτωση δεχόμαστε αρχικά εφελκυστικές, δηλ. θετικές όλες τις άγνωστες τάσεις. Η τομή Ritter δεν διέρχεται ποτέ από κόμβο.

Βήματα μεθόδου τομών RITTER Βήμα 2ο Κάνουμε μια τομή σε το πολύ τρεις διαδοχικές δοκούς. Βήμα 3ο Χωρίζουμε το δικτύωμα σε δύο, ένα δεξιά και ένα αριστερά της τομής. Βήμα 4ο Στο σημείο της τομής αντικαθιστούμε κάθε μια από τις δοκούς που τέμνονται με μια άγνωστη δύναμη. Κατά σύμβαση σχεδιάζουμε τις δυνάμεις με φορά από τον κόμβο προς τη δοκό. Βήμα 5ο Μελετάμε το δικτύωμα ώς προς την ισοστατικότητα και την στερεότητα και γράφουμε τις εξισώσεις ισορροπίας για τον υπολογισμό αγνώστων δυνάμεων.

ΔΕΣ αριστερής και δεξιάς τομής Παράδειγμα τομής RITTER Δικτύωμα πρό τομών ΔΕΣ αριστερής και δεξιάς τομής

Υπολογισμός δυνάμεων Υπολογισμός Ν5 ΣΜ=0: ως προς τον κόμβο που οι ράβδοι 2 και 6 τέμνονται και δεν δίνουν ροπές => δηλαδή ο κόμβος Ι ΣΜΙ=0: VA∙5 – S5∙h=0 => VA∙5 - S5∙(5∙tan60°)=0 => S5= 123,5N (εφελκυστική) ii) Υπολογισμός Ν2 ΣΜΙΙ=0: P2∙h – S2∙λ - VB∙5=0 λ=sin60°∙5= 4,3m S2 = -246,4N (θλιπτική) iii) Υπολογισμός Ν6 ΣPy=0: VA – S6 – S2∙sin60° =0 => S6= 426,8N (εφελκυστική) Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε όλες τις τάσεις στις ράβδους με κατάλληλες τομές.

Παράδειγμα εφαρμογής μεθόδου τομής Ritter Παράδειγμα εφαρμογής μεθόδου τομής Ritter τ τ

Υπολογισμός αντιδράσεων Η αντίδραση Β στην κύλιση είναι κάθετη στην επιφάνεια ΕΚ. Άρα, tanθ=3/4=0,75 => θ=36,86° => sinθ=0,6 cosθ=0,8 Bx=Bsinθ By=Bcosθ ΣPx=0: -P2 – Bx + Ax= 0 => Ax – Bx = 20 (2) ΣPy=0: By +Ay – P1= 0 => Ay + By = 60 (3) ΣΜΑ=0: -By∙8 + P2∙3 + P1∙4 = 0 => By = 37,5Ν + (2) + (3) => Bx = 28,1Ν Ax = 48,1Ν, Ay = 22,5Ν

Εφαρμογή μεθόδου Ritter Χωρίζω το δικτύωμα σε δύο ανεξάρτητα μέρη με τομή (τ-τ) που τέμνει τον μικρότερο δυνατό αριθμό ράβδων (τουλάχιστον τρεις) έτσι ώστε και τα δυο τμήματα να είναι στερεά. Η τομή δεν διέρχεται από κόμβο! Εφαρμόζω δυνάμεις ισορροπίας στα δυο τμήματα. Ax Ay A Γ S5 S3 1 4 θ S1 P2 Αριστερό Τμήμα 2 Δ Β P1 5 3 Βx Βy Δεξί Τμήμα

Ανάλυση και υπολογισμώς δικτυώματος Κόμβος Β – Δεξί τμήμα ΣΜΒ=0: -P1∙4 – S5∙4 = 0 => S5 = -60kN Κόμβος Δ – Δεξί τμήμα ΣΜΔ=0: -Βy∙4 + S3∙sinθ∙4 = 0 => S3 = 62,5kN Κόμβος Γ – Αριστερό τμήμα ΣΜΓ=0: S1∙3 + Ay∙4 + Ax∙3 = 0=> S1 = -78,1kN Άγνωστες δυνάμεις → S1, S3 και S5. Απαιτούνται 3 εξισώσεις ισορροπίας! Επιλέγω έναν κόμβο έτσι ώστε οι δυο άγνωστες να περνούν από αυτόν και να μην δίνουν ροπές. Έστω κόμβος Β στο δεξί τμήμα.

Ανάλυση κόμβων Οι δυνάμεις των ράβδων 2 και 4, S2 και S4, υπολογίζονται απλά από ισορροπία κόμβων στα σημεία Δ και Γ. Δ S2 S5 S1 P1 Κόμβος Δ: ΣPx=0: S2 – S1 =0 => S2 – (-78,1kN) = 0 => S2 = -78,1kN ΣPy=0: -S5 –P1 = 0 => -S5 -60 = 0 => S5 = -60kN Γ S5 S3 P2 S4 Κόμβος Γ: ΣPx=0: S3∙cosθ – S4 ∙cosθ – P2 = 0 => S4 = 37,5kN

Σημείωμα χρήσης έργων τρίτων ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Δρ Π. Α. ΒΟΥΘΟΥΝΗΣ

Τέλος Ενότητας